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  • 2021-06-23 发布

福建省龙岩市高级中学2018-2019学年高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)

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福建省龙岩高级中学2018-2019学年高三(上)第一次月考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ 1. 命题“‎∃x∈R,x‎2‎‎+ax+1<0‎”为假命题,则实数a的取值范围是‎(‎  ‎‎)‎ A. ‎[-2,2]‎ B. ‎(-2,2)‎ C. ‎(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ D. ‎‎(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】解:‎∵‎命题“‎∃x∈R,x‎2‎‎+ax+1<0‎”为假命题,‎⇔‎“‎∀x∈R,x‎2‎‎+ax+1≥0‎”是真命题. ‎∴‎令f(x)=x‎2‎+ax+1‎,则必有‎△=a‎2‎-4≤0‎, 解得‎-2≤a≤2‎. ‎∴‎实数a的取值范围是‎([-2,2]‎. 故选:A. 命题“‎∃x∈R,x‎2‎‎+ax+1<0‎”为假命题,转化为“‎∀x∈R,x‎2‎‎+ax+1≥0‎”是真命题‎⇔△=a‎2‎-4≤0‎,解出即可. 熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式‎△‎的关系、“三个二次”的关系是解题的关键. ‎ 2. 曲线y=1-‎‎2‎x+2‎在点‎(-1,-1)‎处的切线方程为‎(‎  ‎‎)‎ A. y=2x+1‎ B. y=2x-1‎ C. y=-2x-3‎ D. ‎y=-2x-2‎ ‎【答案】A ‎【解析】解:函数的导数为f'(x)=‎‎2‎‎(x+2‎‎)‎‎2‎, 则在点‎(-1,-1)‎处切线斜率k=f'(-1)=2‎, 则对应的切线方程为y+1=2(x+1)‎, 即y=2x+1‎, 故选:A. 求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出切线方程. 本题主要考查函数切线的求解,根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键. ‎ 3. 定义在R上的函数f(x)‎,满足f(x+5)=f(x)‎,当x∈(-3,0)‎时f(x)=-x-1‎,当x∈(0,2]‎时,f(x)=log‎2‎x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=(‎  ‎‎)‎ A. 403 B. 405 C. 806 D. 809‎ ‎【答案】B ‎【解析】解:根据题意,f(x+5)=f(x)‎,则f(x)‎是周期为5的周期函数, 又由当x∈(-3,0)‎时f(x)=-x-1‎,当x∈(0,2]‎时,f(x)=log‎2‎x, 则f(1)=log‎2‎1=0‎ ‎,f(2)=log‎2‎2=1‎, f(3)=f(-2)=1‎,f(4)=f(-1)=0‎,f(5)=f(0)=-1‎, 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1‎, 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)‎ ‎=403[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(1)+f(2)+f(3)=403+0+1+1=405‎. 故选:B. 根据题意,分析可得f(x)‎是周期为5的周期函数,结合函数的解析式以及周期性可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1‎,进而可得f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=403[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(1)+f(2)+f(3)‎,计算可得答案. 本题考查函数的周期性,关键是分析求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)‎的值. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ 1. 已知幂函数f(x)=(m-1‎‎)‎‎2‎xm‎2‎‎-4m+2‎在‎(0,+∞)‎上单调递减,则m=‎______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】解:依题意幂函数幂函数f(x)=(m-1‎‎)‎‎2‎xm‎2‎‎-4m+2‎在‎(0,+∞)‎上单调递减, ‎∴(m-1‎)‎‎2‎=1‎, 解得m=0‎或m=2‎, 当m=0‎时,f(x)=‎x‎2‎在‎(0,+∞)‎上单调递减,与题设矛盾,舍去 ‎∴m=2‎, 故答案为:2 根据幂函数的定义和性质即可求出m的值, 本题主要考查了幂函数的性质定义,属于基础题. ‎ 2. 若函数y=a‎2x+2ax-1(a>0‎,且a≠1)‎在‎[-1,1]‎上的最大值是14,则a=‎______.‎ ‎【答案】‎1‎‎3‎或3‎ ‎【解析】解:令t=‎ax,则y=t‎2‎+2t-1=(t+1‎)‎‎2‎-2‎, 当a>1‎时,‎∵x∈[-1,1]‎,则t∈[‎1‎a,a]‎, ‎∴‎函数在‎[‎1‎a,a]‎上是增函数, ‎∴‎当t=a时,函数取到最大值‎14=a‎2‎+2a-1‎, 解得a=3‎或‎-5‎,故a=3‎, 当‎00‎和‎01)‎在区间‎(-2,6]‎上恰有3个零点,则a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎‎(‎3‎‎4‎,2]‎ ‎【解析】解:‎∵‎函数f(x)‎是R上的偶函数,且‎∀x∈R,都有f(x+4)=f(x)-f(2)‎, 令x=-2‎,则f(2)=f(-2)-f(2)=f(2)-f(2)=0‎, 即f(x+4)=f(x)‎ ‎∴‎函数f(x)‎是一个周期函数,且 T=4‎‎ 又‎∵‎当x∈[-2,0]‎时,f(x)=(‎1‎‎2‎‎)‎x-1‎,且函数f(x)‎是定义在R上的偶函数, 故函数f(x)‎在区间‎(-2,6]‎上的图象如下图所示: 若在区间‎(-2,6]‎内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0‎恰有3个不同的实数解 则loga‎4<3‎,loga‎8≥3‎, 解得:‎4‎‎3‎‎0‎,得‎(x-a-1)(x-2a)<0‎, ‎∵a<1‎,‎∴a+1>2a.∴B=(2a,a+1)‎, ‎∵B⊆A,‎∴2a≥1‎或a+1≤-1‎,即a≥‎‎1‎‎2‎或a≤-2‎, ‎∵a<1‎,‎∴‎1‎‎2‎≤a<1‎或a≤-2‎, 故当B⊆A时,实数a的取值范围是‎(-∞,-2]∪[‎1‎‎2‎,1)‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎令被开方数大于等于零,列出不等式进行求解,最后需要用集合或区间的形式表示出来; ‎(2)‎先根据真数大于零,求出函数g(x)‎的定义域,再由B⊆A和a<1‎求出a的范围. 本题是有关集合和函数的综合题,涉及了集合子集的运算,函数定义域求法的法则,如:被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等. ‎ 1. p:实数x满足x‎2‎‎-4ax+3a‎2‎<0‎,其中a>0‎,q:实数x满足x‎2‎‎+2x-8>0‎x‎2‎‎-x-6≤0‎ ‎(1)‎若a=1‎,且p∧q为真,求实数x的取值范围; ‎(2)¬p是‎¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】解:‎(1)‎由x‎2‎‎-4ax+3a‎2‎<0‎,得‎(x-3a)(x-a)<0.‎又a>0‎, 所以a0‎x‎2‎‎-x-6≤0‎得x>2或x<-4‎‎-2≤x≤3‎ 得‎23‎,解得‎10‎,‎∴f(x)=‎-2‎ex‎+1‎+1‎为单调递增函数. ‎(2)∵f(log‎2‎‎2‎x)+f(log‎2‎x-3)≤0‎, ‎∴f(log‎2‎‎2‎x)≤-f(log‎2‎x-3)‎,而f(x)‎为奇函数, ‎∴f(log‎2‎‎2‎x)≤f(-log‎2‎x+3) ‎‎∵f(x)‎为单调递增函数,‎∴log‎2‎‎2‎x≤-log‎2‎x+3‎, ‎∴log‎2‎‎2‎x+2log‎2‎x-3≤0‎, ‎∴-3≤log‎2‎x≤1‎, ‎∴x∈[‎1‎‎8‎,2]‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎运用奇函数的定义可得a,以及求出f(x)‎的导数,即可判断单调性; ‎(2)‎运用f(x)‎为奇函数且为R上的增函数,结合对数不等式的解法,即可得到所求解集. 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用:解不等式,考查化简整理的运算能力,属于中档题. ‎ 1. ‎“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高,经济效益好的特点,研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定条件下,每条鱼的平均生长速度V(‎单位:千克‎/‎年‎)‎是养殖密度x(‎单位:条‎/‎米‎ ‎‎3‎‎)‎的函数,当‎00‎,则 0'/>,从而f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增; 若x<0‎,则,从而f(x)‎在‎(-∞,0)‎上单调递减. ‎(ii)‎当a<0‎时,令f'(x)=0,得x(ax+2)=0,故x=0或x=-‎‎2‎a. 若x<0‎,则,从而f(x)‎在‎(-∞,0)‎上单调递减; 若‎00,从而f(x)在(0,-‎2‎a)‎上单调递增; 若x>-‎‎2‎a,则f'(x)<0,从而f(x)在(-‎2‎a,+∞)‎上单调递减. ‎(‎Ⅱ‎)(i)‎当a=0‎时,f(x)‎在区间‎[0,1]‎上的最大值是f(1)=1‎. ‎(ii)‎当‎-20‎和f'(x)<0‎即可. ‎(2)‎欲求函数f(x)‎在区间‎[0,1]‎上的最大值,先求f(x)‎在区间‎[0,1]‎上的单调性,讨论a的值,分别求出最大值. 本小题主要考查函数的导数,单调性等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力,属于基础题. ‎ 2. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-6sinθ直线l的参数方程为y=tsinθx=4+tcosθ‎(t为参数‎)‎. ‎(1)‎写出圆C的直角坐标方程,并求圆心坐标与半径; ‎(2)‎若直线l与圆C交于不同的两点P、Q且‎|PQ|=4‎,求直线l的斜率.‎ ‎【答案】解:‎(1)‎圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-6sinθ, 转换为直角坐标方程为:x‎2‎‎+y‎2‎=4x-6y, 转化为标准式为:‎(x-2‎)‎‎2‎+(y+3‎)‎‎2‎=13‎. 所以:该圆心的坐标为‎(2,-3)‎,半径为‎13‎, ‎(2)‎直线l的参数方程为y=tsinθx=4+tcosθ‎(t为参数‎)‎. 转换为直角坐标的方程:yx-4‎‎=tanθ, 即:y=tanθ(x-4)‎, 设tanθ=k, 直线的方程为:kx-y-4k=0‎. 直线l与圆C交于不同的两点P、Q且‎|PQ|=4‎, 设圆心到直线的距离为d, 所以:d‎2‎‎+‎2‎‎2‎=13‎, 解得:‎ d=3‎‎. 所以‎|2k+3-4k|‎‎1+‎k‎2‎‎=3‎, 解得:k=0‎或‎-‎‎12‎‎5‎.‎ ‎【解析】‎(1)‎直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换. ‎(2)‎利用‎(1)‎的结论,进一步利用垂径定理和点到直线的距离公式的应用求出结果. 本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,垂径定理的应用. ‎