福建省龙岩市高级中学2018-2019学年高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版） 8页

福建省龙岩高级中学2018-2019学年高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 命题“‎∃x∈R，x‎2‎‎+ax+1<0‎”为假命题，则实数a的取值范围是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎[-2,2]‎ B. ‎(-2,2)‎ C. ‎(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ D. ‎‎(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：‎∵‎命题“‎∃x∈R，x‎2‎‎+ax+1<0‎”为假命题，‎⇔‎“‎∀x∈R，x‎2‎‎+ax+1≥0‎”是真命题． ‎∴‎令f(x)=x‎2‎+ax+1‎，则必有‎△=a‎2‎-4≤0‎， 解得‎-2≤a≤2‎． ‎∴‎实数a的取值范围是‎([-2,2]‎． 故选：A． 命题“‎∃x∈R，x‎2‎‎+ax+1<0‎”为假命题，转化为“‎∀x∈R，x‎2‎‎+ax+1≥0‎”是真命题‎⇔△=a‎2‎-4≤0‎，解出即可． 熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式‎△‎的关系、“三个二次”的关系是解题的关键． ‎ 2. 曲线y=1-‎‎2‎x+2‎在点‎(-1,-1)‎处的切线方程为‎(‎　　‎‎)‎ A. y=2x+1‎ B. y=2x-1‎ C. y=-2x-3‎ D. ‎y=-2x-2‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：函数的导数为f'(x)=‎‎2‎‎(x+2‎‎)‎‎2‎， 则在点‎(-1,-1)‎处切线斜率k=f'(-1)=2‎， 则对应的切线方程为y+1=2(x+1)‎， 即y=2x+1‎， 故选：A． 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程． 本题主要考查函数切线的求解，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键． ‎ 3. 定义在R上的函数f(x)‎，满足f(x+5)=f(x)‎，当x∈(-3,0)‎时f(x)=-x-1‎，当x∈(0,2]‎时，f(x)=log‎2‎x，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=(‎　　‎‎)‎ A. 403 B. 405 C. 806 D. 809‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：根据题意，f(x+5)=f(x)‎，则f(x)‎是周期为5的周期函数， 又由当x∈(-3,0)‎时f(x)=-x-1‎，当x∈(0,2]‎时，f(x)=log‎2‎x， 则f(1)=log‎2‎1=0‎ ‎，f(2)=log‎2‎2=1‎， f(3)=f(-2)=1‎，f(4)=f(-1)=0‎，f(5)=f(0)=-1‎， 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1‎， 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)‎ ‎=403[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(1)+f(2)+f(3)=403+0+1+1=405‎． 故选：B． 根据题意，分析可得f(x)‎是周期为5的周期函数，结合函数的解析式以及周期性可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=1‎，进而可得f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=403[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(1)+f(2)+f(3)‎，计算可得答案． 本题考查函数的周期性，关键是分析求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)‎的值． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知幂函数f(x)=(m-1‎‎)‎‎2‎xm‎2‎‎-4m+2‎在‎(0,+∞)‎上单调递减，则m=‎______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】解：依题意幂函数幂函数f(x)=(m-1‎‎)‎‎2‎xm‎2‎‎-4m+2‎在‎(0,+∞)‎上单调递减， ‎∴(m-1‎)‎‎2‎=1‎， 解得m=0‎或m=2‎， 当m=0‎时，f(x)=‎x‎2‎在‎(0,+∞)‎上单调递减，与题设矛盾，舍去 ‎∴m=2‎， 故答案为：2 根据幂函数的定义和性质即可求出m的值， 本题主要考查了幂函数的性质定义，属于基础题． ‎ 2. 若函数y=a‎2x+2ax-1(a>0‎，且a≠1)‎在‎[-1,1]‎上的最大值是14，则a=‎______．‎ ‎【答案】‎1‎‎3‎或3‎ ‎【解析】解：令t=‎ax，则y=t‎2‎+2t-1=(t+1‎)‎‎2‎-2‎， 当a>1‎时，‎∵x∈[-1,1]‎，则t∈[‎1‎a,a]‎， ‎∴‎函数在‎[‎1‎a,a]‎上是增函数， ‎∴‎当t=a时，函数取到最大值‎14=a‎2‎+2a-1‎， 解得a=3‎或‎-5‎，故a=3‎， 当‎00‎和‎01)‎在区间‎(-2,6]‎上恰有3个零点，则a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎‎(‎3‎‎4‎,2]‎ ‎【解析】解：‎∵‎函数f(x)‎是R上的偶函数，且‎∀x∈R，都有f(x+4)=f(x)-f(2)‎， 令x=-2‎，则f(2)=f(-2)-f(2)=f(2)-f(2)=0‎， 即f(x+4)=f(x)‎ ‎∴‎函数f(x)‎是一个周期函数，且 T=4‎‎ 又‎∵‎当x∈[-2,0]‎时，f(x)=(‎1‎‎2‎‎)‎x-1‎，且函数f(x)‎是定义在R上的偶函数， 故函数f(x)‎在区间‎(-2,6]‎上的图象如下图所示： 若在区间‎(-2,6]‎内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0‎恰有3个不同的实数解 则loga‎4<3‎，loga‎8≥3‎， 解得：‎4‎‎3‎‎0‎，得‎(x-a-1)(x-2a)<0‎， ‎∵a<1‎，‎∴a+1>2a.∴B=(2a,a+1)‎， ‎∵B⊆A，‎∴2a≥1‎或a+1≤-1‎，即a≥‎‎1‎‎2‎或a≤-2‎， ‎∵a<1‎，‎∴‎1‎‎2‎≤a<1‎或a≤-2‎， 故当B⊆A时，实数a的取值范围是‎(-∞,-2]∪[‎1‎‎2‎,1)‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎令被开方数大于等于零，列出不等式进行求解，最后需要用集合或区间的形式表示出来； ‎(2)‎先根据真数大于零，求出函数g(x)‎的定义域，再由B⊆A和a<1‎求出a的范围． 本题是有关集合和函数的综合题，涉及了集合子集的运算，函数定义域求法的法则，如：被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等． ‎ 1. p：实数x满足x‎2‎‎-4ax+3a‎2‎<0‎，其中a>0‎，q：实数x满足x‎2‎‎+2x-8>0‎x‎2‎‎-x-6≤0‎ ‎(1)‎若a=1‎，且p∧q为真，求实数x的取值范围； ‎(2)¬p是‎¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎由x‎2‎‎-4ax+3a‎2‎<0‎，得‎(x-3a)(x-a)<0.‎又a>0‎， 所以a0‎x‎2‎‎-x-6≤0‎得x>2或x<-4‎‎-2≤x≤3‎ 得‎23‎，解得‎10‎，‎∴f(x)=‎-2‎ex‎+1‎+1‎为单调递增函数． ‎(2)∵f(log‎2‎‎2‎x)+f(log‎2‎x-3)≤0‎， ‎∴f(log‎2‎‎2‎x)≤-f(log‎2‎x-3)‎，而f(x)‎为奇函数， ‎∴f(log‎2‎‎2‎x)≤f(-log‎2‎x+3) ‎‎∵f(x)‎为单调递增函数，‎∴log‎2‎‎2‎x≤-log‎2‎x+3‎， ‎∴log‎2‎‎2‎x+2log‎2‎x-3≤0‎， ‎∴-3≤log‎2‎x≤1‎， ‎∴x∈[‎1‎‎8‎,2]‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎运用奇函数的定义可得a，以及求出f(x)‎的导数，即可判断单调性； ‎(2)‎运用f(x)‎为奇函数且为R上的增函数，结合对数不等式的解法，即可得到所求解集． 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． ‎ 1. ‎“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高，经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每条鱼的平均生长速度V(‎单位：千克‎/‎年‎)‎是养殖密度x(‎单位：条‎/‎米‎ ‎‎3‎‎)‎的函数，当‎00‎，则 0'/>，从而f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增； 若x<0‎，则，从而f(x)‎在‎(-∞,0)‎上单调递减． ‎(ii)‎当a<0‎时，令f'(x)=0,得x(ax+2)=0,故x=0或x=-‎‎2‎a． 若x<0‎，则，从而f(x)‎在‎(-∞,0)‎上单调递减； 若‎00,从而f(x)在(0,-‎2‎a)‎上单调递增； 若x>-‎‎2‎a，则f'(x)<0,从而f(x)在(-‎2‎a,+∞)‎上单调递减． ‎(‎Ⅱ‎)(i)‎当a=0‎时，f(x)‎在区间‎[0,1]‎上的最大值是f(1)=1‎． ‎(ii)‎当‎-20‎和f'(x)<0‎即可． ‎(2)‎欲求函数f(x)‎在区间‎[0,1]‎上的最大值，先求f(x)‎在区间‎[0,1]‎上的单调性，讨论a的值，分别求出最大值． 本小题主要考查函数的导数，单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于基础题． ‎ 2. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-6sinθ直线l的参数方程为y=tsinθx=4+tcosθ‎(t为参数‎)‎． ‎(1)‎写出圆C的直角坐标方程，并求圆心坐标与半径； ‎(2)‎若直线l与圆C交于不同的两点P、Q且‎|PQ|=4‎，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】解：‎(1)‎圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-6sinθ， 转换为直角坐标方程为：x‎2‎‎+y‎2‎=4x-6y， 转化为标准式为：‎(x-2‎)‎‎2‎+(y+3‎)‎‎2‎=13‎． 所以：该圆心的坐标为‎(2,-3)‎，半径为‎13‎， ‎(2)‎直线l的参数方程为y=tsinθx=4+tcosθ‎(t为参数‎)‎． 转换为直角坐标的方程：yx-4‎‎=tanθ， 即：y=tanθ(x-4)‎， 设tanθ=k， 直线的方程为：kx-y-4k=0‎． 直线l与圆C交于不同的两点P、Q且‎|PQ|=4‎， 设圆心到直线的距离为d， 所以：d‎2‎‎+‎2‎‎2‎=13‎， 解得：‎ d=3‎‎． 所以‎|2k+3-4k|‎‎1+‎k‎2‎‎=3‎， 解得：k=0‎或‎-‎‎12‎‎5‎．‎ ‎【解析】‎(1)‎直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． ‎(2)‎利用‎(1)‎的结论，进一步利用垂径定理和点到直线的距离公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，垂径定理的应用． ‎