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- 2021-06-23 发布
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2017-2018 学年度第一学期
高三级理科数学 11 月考试试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.若集合 , ,且 ,则实数 有( )个不同取值.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,所以 或 ,
解得: 或 或 ,
所以实数 的不同取值个数为 .
故选 .
考点:1.集合间的关系;2.一元二次方程.
2.复数 的共轭复数是( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,
共轭复数 .
故选 .
3.在 中,则“ ”是“ ”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】B
{ }1,1,3A = − { }21, 2B a a= − B A⊆ a
2 3 4 5
B A⊆ 2 2 1a a− = − 2 2 3a a− =
1a = 1a = − 3a =
a 3
B
2 i
iz
+=
2 i+ 2 i− 1 2i+ 1 2i−
2
2 i (2 i)i 2i 1 1 2ii i 1z
+ + −= = = = −−
1 2iz = +
C
ABC△ π
6A > 1sin 2A >
【解析】在 中,由 得: ,
因为“ ” “ ”,“ ” “ ”,
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选 .
考点:1.三角函数的性质;2.充分条件与必要条件.
4.下列命题中,错误的是( ).
A.平行于同一平面的两个不同平面平行
B.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交
C.若两个平面不垂直,则其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直
D.若直线不平行于平面,则此直线与这个平面内的直线都不 平行
【答案】D
【解析】解:由平面平行的判定定理知,平行于同一平面的两个不同平面平行,所以 选项是正确的;
由直线与平面相交的性质,知一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交,所以
选项是正确的;
由直线与平面垂直的性质定理,知如果平面 不垂直平面 ,
那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ,所以 选项是正确的;
若直线 不平行平面 ,则当 时,在平面 内存在与 平行的直线,故 不正确.
故选 .
5.为得到函数 的图象,只需把函数 的图象上所有的点( ).
A.向右平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度
C.向左平行移动 个单位长度 D.向左平行移动 个单位长度
【答案】D
ABC△ 1sin 2A > π 5π
6 6A< <
π
6A > ⇒ 1sin 2A > π
6A > ⇐ 1sin 2A >
π
6A > 1sin 2A >
B
A
B
α β
α β C
l α l α⊂ α l D
D
3cos2y x= π3sin 2 6y x = +
π
3
π
6
π
3
π
6
【解析】解:函数 ,
把函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度,
可得函数 的图象.
故选 .
6.若 , ,则( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 项.使用特殊值法,令 , , ,
得 ,故 项错误;
项,使用特殊值法,令 , , ,
得 ,故 项错误;
(由于 ,所以函数 在 上单调递减,所以 );
项,使用特殊值法,令 , , ,
得 , 项正确;
要比较 和 ,只需比较 和 ,
即只需比较 和 ,
所以比较 和 的大小即可,构造函数 ,
则 ,即 在 上单调递增,
因此 ,
π3cos2 3sin 2 2y x x = = +
π3sin 2 6y x = +
π
6
π π π3sin 2 3sin 26 6 2y x x
= + + = +
D
1a b> > 0 1c< <
c ca b< c cab ba< log logb aa c b c< log loga bc c<
A 3a = 2b = 1
2c =
1 1
2 23 2> A
B 3a = 2b = 1
2c =
1 1
2 23 2 2 3× > × B
1 1 0c− < − < 1cy x −= (1, )+∞ 1 11 c c c ca b a b ba ab− −> > ⇔ < ⇔ <
C 3a = 2b = 1
2c =
2 3
13log 2log 22
< C
logba c logab c ln
ln
a c
b
ln
ln
b c
a
ln
ln
c
b b
ln
ln
c
a a
lnb b lna a ( ) ln ( 1)f x x x x= >
( ) ln 1 0f x x′ = + > ( )f x (1, )+∞
( ) ( ) (1) 0f a f b f> > =
所以 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
故 项正确;
项,使用特殊值法,令 , , ,[来源:学#科#网]
得 ,
故 项错误,(要比较 和 ,只需要比较 和 即可,因为函数 在
上单调递增,所以 ,即 ,因为 ,所以 ,所以 ,即
).
故选 .
7.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 ,则正(主)视图的面积等于( ).
A. B. C. D.
【答案】A
11
俯视图
侧视图主视图
1
2
x
ln ln 0a a b b> >
1 1
ln lna a b b
<
0 1c< <
ln 0c <
ln ln
ln ln
c c
a a b b
>
log logb aa c b c<
C
D 3a = 2b = 1
2c =
3 2
1 1log log2 2
>
D loga c logb c ln
ln
c
a
ln
ln
c
b
( ) ln ( 1)f x x x= > (1, )+∞
ln ln 0a b> > 1 1
ln lna b
< 0 1c< < ln 0c < ln ln
ln ln
c c
a b
>
log loga bc c>
C
2
3
2 3 2 9
2
【解析】解:该几何体为四棱锥,
其底面为直角梯形,面积 ,
则该几何体的体积 ,
故 .
8.如图给出的是计算 的值的程序框图,其中判断框内应填入的是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据流程图 ,可知,
第 次循环: , ;
第 次循环: , ;
第 次循环: , ,
否
是
输入S
S=S+
1
i
i=i+2
i=2,S=0
结束
开始
1 (1 2) 2 32S = × + × =
1 333 2V x= ⋅ ⋅ =
3
2x =
1 1 1 1
2 4 6 2016
+ + + +
2019i ≤ 2018i ≤ 2017i ≤ 2016i ≤
1 2i = 1
2S =
2 4i = 1 1
2 4S = +
3 6i = 1 1 1
2 4 6S = + +
第 次循环: , ;[来源:Zxxk.Com]
此时,设置条件退出循环,输出 的值.
故判断框内可填入 .
9.圆 的半径为 ,一条弦 , 为圆 上任意一点,则 的取值范围为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解:如图所示,连接 , .
过点 作 ,垂足为 ,
则 ,
∴ ,
∴ ,
,
.
∵ ,
∴ .
A BC
O
P
1008 2016i = 1 1 1 1
2 4 6 2016S = + + + +
S
2016i ≤
O 3 4AB = P O AB BP⋅
[ 16,0]− [0,16] [ 20,4]− [ 4,20]−
OA OB
O OC AB⊥ C
1 22BC AB= =
2cos 3OBA∠ =
( )AB BP AB OP OB AB OP AB OB⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅
| || | cos , | || | cosAB OP AB OP AB OB OBA= ⋅ − ⋅ ∠
24 3 cos , 4 3 12cos , 83AB OP AB OP= × × − × × = −
cos , [ 1,1]AB OP ∈ −
12cos , 8 [ 20,4]AB OP − ∈ −
10.平面上满足约束条件 的点 形成的区域为 ,区域 关于直线 对称的区
域为 ,则区域 和 中距离最近两点的距离为( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】先根据约束条件画出可行域,如图,
作出区域 关于直线 对称的区域,它们呈蝴蝶形,
由图可知,可行域内点 到 的距离最小,
最小值为 到直线 的距离的两倍,
∴最小值 ,故填 .
11.设 , ,若直线 与圆 相切,则 的取值范围
是( ).
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用.
5
5
A
A'
2
0
10 0
x
x y
x y
+
− −
≥
≤
≤
( , )x y D D 2y x=
E D E
12 5
5
6 5
5
4 5
5
8 5
5
D 2y x=
( 2,2)A − A′
A 2y x=
| 4 2 | 122 555
− −= × = 12 5
5
m n∈R ( 1) ( 1) 2 0m x n y+ + + − = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − = m n+
[1 3,1 3]− + ( ),1 3 1 3, −∞ − + +∞
[2 2 2,2 2 2]− + ( ),2 2 2 2 2 2, −∞ − + +∞
由直线与圆相切得 ,
两边平方并整理得 ,
显然 ,
故 ,
显然 ,
当 时,利用均值不等式得 ;
当 时,利用均值不等式得 ,
故 的取值范围是 .
故选 .
12.已知函数 的两个极值点分别为 , ,且 , .点
表示的平面区域为 ,若函数 的图象上存在区域 内的点,则实数 的取
值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解: ,依题意知,
方程 有两个根 , ,且 , ,
由二次方程根的分布,则有 , ,
则 ,
点 表示的平面区域为 ,画出二元一次不等式组:
2 2
| 1 1 2 | 1
( 1) ( 1)
m n
m n
+ + + − =
+ + +
1m n mn+ + =
1n ≠
1
1
nm n
+= −
1 1 2 2( 1) 21 1 1
n nm n n n nn n n
+ − ++ = + = + = − + +− − −
1 0n − > 2 2( 1) 2 2 ( 1) 2 2 2 21 1m n n nn n
+ = − + + − × + = +− −≥
1 0n − < 22 ( 1) 2 2 21m n n n
+ = − − − − − − ≤
m n+ ( ),2 2 2 2 2 2, −∞ − + +∞
D
21 ( ) 1( ) 3 2
mx m n xf x x3 + + += + 1x 2x 1 (0,1)x ∈ 2 (1, )x ∈ +∞
( , )P m n D log ( 4)( 1)ay x a= + > D a
[ )3,+∞ (3, )+∞ ( ]1,3 (1,3)
2 1( ) ( )2f x x mx m n′ = + + +
( ) 0f x′ = 1x 2x 1 (0,1)x ∈ 2 (1, )x ∈ +∞
1(0) ( ) 02f m n′ = + > 1(1) 1 ( ) 02f m m n′ = + + + <
0
3 20
m n
m n
+
+ +
( , )P m n D
表示的平面区域,
如图所示:
因为直线 , 的交点坐标为 ,
所以要使函数 , 的图象上存在区域 内的点,
则必须满足 ,
所以 ,解得 .
又因为 ,
所以 .
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.函数 的值域为__________.
【答案】
【解析】解:∵ ,
∴ 时, 最大,
,
因此,本题正确答案是: .
m+n=0
2+3m+n=0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2 3 4 512345 x
y
O
0
3 20
m n
m n
+
+ +
0m n+ = 2 3 0m n+ + = ( 1,1)−
log ( 4)ay x= + ( 1)a > D
1 log ( 1 4)a
< − +
log 3 1a
> 3a <
1a >
1 3a< <
2
2( ) log ( 2 2)f x x= − +
3, 2
−∞
20 2 2 2 2x< − + ≤
0x = ( )f x
2 2
2
3( ) (0) log 2f x f= = =最大值
3, 2
−∞
14. 设 为锐角,若 ,则 的值为__________.
【答案】
【解析】设 , 为锐角,
,
∵ ,可得 为锐角,
可求 , ,
,
∴ ,
,
.
15.《九章算术》中,将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直
角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 为鳖臑, 平面 , ,
,三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上,则球 的表面积为__________.
【答案】
【解析】本题主要考查空间几何体.
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形,且 平面 ,
, , , .
因为 为直角三角形,
因此 或 (舍).
α π 3cos 6 5
α + =
πsin 2 12
α +
31 250
π
6
β α= + α
π π 2, π6 6 3P α = + ∈
3 3 2πsin sin5 2 3
β = < = β
4cos 5
β = 24sin 2 2sin cos 25
β β β= =
2 7cos2 1 2sin 25
β β= − =
π π π πcos 2 cos 2 cos 212 3 4 4
α α β + = + − = −
π πcos2 cos sin 2 sin4 4Pβ= +
31 250
=
P ABC− PA ⊥ ABC 2PA AB= =
4AC = P ABC− O O
20π
PA ⊥ ABC
2PA AB= = 4AC = 2 5PC = 2 2PB =
PBC△
2 3BC = 2 7BC =
所以只可能是 ,
此时 ,因此 ,
所以平面 所在小圆的半径即为 ,
又因为 ,
所以外接球 的半径 ,
所以球 的表面积为 .
16.抛物线 的焦点为 ,设 、 是抛物线上的两个动点,若 ,
则 的最大值为__________.[来源:学科网 ZXXK]
【答案】
【解析】解:由抛物线定义得 , ,
所以由 ,得 ,
因此,
,
,
所以 ,
填 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 分)四边形 如图所示,已知 , .
2 3BC =
PB BC⊥ AB BC⊥
ABC 22
ACr = =
2PA =
O
2
2 22 1 52
PAR r = + = + =
O 24π 20πS R= =
2 8y x= F 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2
2 34 | |3x x AB+ + =
AFB∠
2 π3
1 2AF x= + 2 2BF x= +
1 2
2 34 | |3x x AB+ + = 2 3 | |3AF BF AB+ =
2 2
2 2 2
1 1 3| | | | | || || | | | | | 4 4 2cos 2 | | | | 2| | | |
AF BF AF BFAF BF ABAFB AF BF AF BF
+ − ⋅+ −∠ = =⋅ ⋅
1 32 | | | | | | | | 14 2
2 | | | | 2
AF BF AF BF
AF BF
× ⋅ − ⋅
= −⋅≥
20 π3AFB< ∠ ≤
2 π3
12 ABCD 2AB BC CD= = = 2 3AD =
( )求 的值.
( )记 , 的面积分别为 , ,求 的最大值.
【答案】见解析.
【解析】( )在 中,
,
在 中, ,
所以 .
( )根据题意 ,
,
所以 ,
,
,
因为 ,
所以 ,
计算出 ,
所以 ,
当 时,取等号,
即 最大值为 .
D
B
C
1 3cos cosA C−
2 ABD△ BCD△ 1S 2S 2 2
1 2S S+
1 ABD△
16 8 3cosDB A= −
BCD△ 8 8cosDB C= −
3cos cos 1A C− =
2 2 2
1 12 12cosS A= −
2 2
2 4 4cosS C= −
2 2 2 2
1 2 12 12cos 4 4cosS S A C+ = − + −
28cos 8cos 12C C= − − +
218 cos 142C = − + +
2 3 2 4BD− < <
8cos (16 8 3,16)C− ∈ −
1 cos 3 1C− < < −
2 2
1 2 14S S+ ≤
1cos 2C = −
2 2
1 2S S+ 14
18. (本小题满分 分)为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系,新苗
中学数学教师对新入学的 名学生进行了跟踪调查,其中每周自主做数学题的时间不少于 小时的有
人,余下的人中,在高三模拟考试中数学成绩不足 分的占 ,统计成绩后,得到如下的 列
联表:
分数大于等于 分 分数不足 分 合计
周做题时间不少于 小时
周做题时间不足 小时
合计
( )请完成上面的 列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为“高中生的数学
成绩与学生自主学习时间有关”.
( )(i)按照分层抽样的方法,在上述样本中,从分数大于等于 分和分数不足 分的两组学生
中抽取 名学生,设抽到的不足 分且周做题时间不足 小时的人数为 ,求 的分布列(概率用
组合 数算式表示).
(ii)若将频率视为概率,从全校大于等于 分的学生中随机抽取 人,求这些人中周做题时间不少
于 小时的人数的期望和方差.
附:
【答案】见解析.
【解析】( )
分数大于等于 分 分数不足 分 合计
周做题时间不少于 小时
周做题时间不足 小时
合计
∵ .
∴能在犯错误的概率不超过 的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”.
12
45 15
19 120 8
13 2 2×
120 120
15
15
1 2 2× 0.01
2 120 120
9 120 15 X X
120 20
15
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2
0( )P k k≥ 0.050 0.010 0.001
0k 3.841 6.635 10.828
1
120 120
15 15
15 10 16 26
25 20
2
2 45(15 16 10 4) 7.287 6.63525 20 19 26K
× − ×= >× × × ≈
0.01
( )(i)由分层抽样知大于等于 分的有 人,不足 分的有 人, 的可能取值为 , , ,
, .
,
,
,[来源:Z.xx.k.Com]
,
.
(ii)设从全校大于等于 分的学生中随机抽取 人,这些人中周做题时间不少于 小时的人数为
随机变量 ,
由题意可知 ,
故 , .
19.(本小题满分 分)如图所示的几何体是由棱台 和棱锥 拼接而成的组合体,
其底面四边形 是边长为 的菱形,且 , 平面 , .
( )求证:平面 平面 .
( )求二面角 的余弦值.
【答案】见解析.
【解析】解:( )∵ 平面 ,
D
A B
C
C1B1
A1
2 120 5 120 4 X 0 1 2
3 4
4
16
4
20
C( 0) CP X = =
3 3
4 16
4
20
C C( 1) CP X
⋅= =
2 2
4 16
4
20
C C( 2) CP X
⋅= =
3 1
4 16
4
20
C C( 3) CP X
⋅= =
4
4
4
20
C( 4) CP X = =
120 20 15
Y
(20,0.6)Y B
( ) 12E Y = ( ) 4.8D Y =
12 1 1 1ABC A B C− 1 1D AAC C−
ABCD 2 60BAD∠ = ° 1BB ⊥ ABCD 1 1 12 2BB A B= =
1 1AB C ⊥ 1BB D
2 1 1A BD C− −
1 1BB ⊥ ABCD
∴ ,
在菱形 中, ,
又 ,
∴ 平面 ,
∵ 平面 ,
∴平面 平面 .
( )连接 , 交于点 ,
以 为坐标原点,以 为 轴,以 为 轴,
如图建立空间直角坐标系,
, , , ,
,同理 ,
, , ,
设平面 的法向量 ,
∴ ,
则 ,
设平面 的法向量 ,
z
x y
O
A1
B1 C1
C
BA
D
1BB AC⊥
ABCD BD AC⊥
1BD BB B=
AC ⊥ 1BB D
AC ⊂ 1AB C
1AB C ⊥ 1BB D
2 BD AC O
O OA x OD y
(0, 1,0)B − (0,1,0)D 1(0, 1,2)B − ( 3,0,0)A
1 1 1
1 3 1, ,22 2 2B A BA A
= ⇒ −
1
3 1, ,22 2C
− −
1
3 1, ,22 2BA
=
(0,2,0)BD =
1
3 1, ,22 2BC
= −
1A BD ( , , )n x y z=
1 0
0
BA n
BD n
⋅ =
⋅ =
( 4,0, 3)n = −
DCF ( , , )m x y z=
,
则 ,
设二面角 为 , .
20. (本小题满分 分)已知椭圆 的左、右顶点分别为 , ,左、右焦
点分别为 , ,离心率为 ,点 , 为线段 的中点.
( )求椭圆 的方程.
( )若过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 交于 、 两点,已知直线 与 相交于点 ,
试判断点 是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理由.
【答案 】见解析.
【解析】( )设点 , ,
由题意可知: ,即 ①,
又因为椭圆的离心率 ,即 ②,
联立方程①②可得: , ,则 ,
所以椭圆 的方程为 .
( )方法一:根据椭圆的对称性猜测点 是与 轴平行的直线 上,
解设当点 为椭圆的上顶点时,直线 的方程为 ,
G
F1 F2
M
NA1 A2 x
y
O
1
0
0
BD m
BC m
⋅ = ⋅ =
(4,0, 3)m =
1 1A BD C− − θ | | 13cos 19| || |
m n
m n
θ ⋅= =
12
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1A 2A
1F 2F 1
2
(4,0)B 2F 1A B
1 C
2 B 0 l C M N 1A M 2A N G
G
1 1( ,0)A a− 2 ( ,0)F c
4
2
ac
− += 4 2a c= −
1
2
ce a
= = 2a c=
2a = 1c = 2 2 2 3b a c= − =
C
2 2
14 3
x y+ =
2 G y 0x x=
M l 3 4 4 3 0x y+ − =
此时点 ,
则联立直线 和直线 可得点 ,
据此猜想点 在直线 上,下面对猜想给予证明:
设 , ,联立方程 ,
可得: , ,
由韦达定理可得 , (*),
因为直线 , .
联立两直线方程得 (其中 为 点的横坐标),
即证: ,
即 ,
即证 ,
将(*)代入上式可得 ,
此式明显成立 ,原命题得证.
所以点 在定直线上 上.
21.(本小题满分 分)已知函数 , .
( )若函数 的最小值为 ,求 的值.
( )证明: .[来源:学科网]
【答案】见解析.
8 3 3,5 5N
1
: 3 2 2 3 0A Ml x y− + =
1
:3 3 2 6 3 0A Nl x y+ − = 3 31, 2G
G 1x =
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 2
( 4)
13
y k x
x y
x
= − + =
2 2 2 2(3 4 ) 32 64 12 0k x k x k+ − + − = 0∆ >
2
1 2 2
32
3 4
kx x k
+ = +
2
1 2 2
64 12
3 4
kx x k
−= +
1
1
1
: ( 2)2A M
yl y xx
= ++ 2
2
2
: ( 2)2A N
yl y xx
= −−
1 2 2
1 2 2
( 2) ( 2)2 2 2
y y yx xx x x
+ = = −+ − − x G
1 2
1 2
3
2 2
y y
x x
−=+ −
1 2 2 13 ( 4) ( 2) ( 4)( 2)k x x k x x− ⋅ − = − − +
1 2 1 24 10( ) 16 0x x x x− + + =
2 2
2 2 2
2 2
4 (64 12) 10 32 16 0 16 3 20 3 4 03 4 3 4
k k k k kk k
⋅ − ×− + = ⇔ − − + + =+ +
G 1x =
12 ( ) ln 1af x x x
= + − a∈R
1 ( )f x 0 a
2 e (ln 1)sin 0x x x+ − >
【解析】( ) 的定义域为 ,
且 .
若 ,则 ,于是 在 上单调递增,
故 无最小值,不合题意.
若 ,则当 时, ;
当 时, .
故 在 上单调递减,在 上单调递增.
于是当 时, 取得最小值 .
由已知得 ,解得 ,
综上, .
( )①下面先证明当 时,
,
设 ,
则 ,
于是当 时, ,
所以 在 上单调递减,
所以当 时, ,
所以 .
由( )可知 ,
即 ,
所以当 时,
,
1 ( ) ln 1af x x x
= + − (0, )+∞
2 2
1( ) a x af x x x x
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
( )f x
0a > 0 x a< < ( ) 0f x′ <
x a> ( ) 0f x′ >
( )f x (0, )a ( , )a +∞
x a= ( )f x ln a
ln 0a = 1a =
1a =
2 (0,π)x∈
e (ln 1)sin 0x x x+ − >
( ) sing x x x= −
( ) cos 1g x x′ = −
0 πx< < ( ) 0g x′ <
( )g x [ )0,π
0 πx< < ( ) (0) 0g x g< =
sin 1x
x
− > −
1 1ln 1 0x x
+ − ≥
1ln 1x x
− −≥
0 πx< <
sin(ln 1)sin 1xx x x
− − > −≥
于是 ,
即 .
②当 时, ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
设 ,则 ,
所以 在 上单调递增,
故 ,
所以 ,
综上,不等式 恒成立.
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,已知圆 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .
( )求 的极坐标方程与 的直角坐标方程.
( )若直线 的极坐标方程为 ,设 与 的交点为 , , 为 上的一点,且
的面积等于 ,求 点的直角坐标.
【答案】见解析.
【解析】解:( ) 的普通方程为 ,即 ,
因为 , ,
所以 的极坐标方程为 ,
的直角坐标方程为 .
0e (ln 1)sin e 1 e 1 0x xx x+ − > − > − =
e (ln 1)sin 0x x x+ − >
[ )π,x∈ +∞ sin 1x −≥
ln 1 0x − >
(ln 1)sin (ln 1)x x x− − −≥
e (ln 1)sin e (ln 1)x xx x x+ − − −≥
( ) e ln 1xh x x= − + π1 1( ) e e 0π
xh x x
′ = − − >≥
( )h x [ )π,+∞
π( ) (π) e ln π 1 0h x h = − + >≥
e (ln 1)sin e (ln 1) 0x xx x x+ − − − >≥
e (ln 1)sin 0x x x+ − >
xOy 1C 1 cos
2 sin
x
y
φ
φ
= +
= +
φ x
2C cos 2 0ρ θ + =
1 1C 2C
2 3C π ( )4
θ ρ= ∈R 3C 1C M N P 2C
PMN△ 1 P
1 1C 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = 2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + =
cosx ρ θ= siny ρ θ=
1C 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
2C 2x = −
( )将 代入 ,
得 得 , ,
所以 ,
因为 的面积等于 ,所以 点到直线 即 距离为 .
设 ,则 , , 或 .
点坐标为 或 .
23.(本小题满分 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 , .
( )解不等式 .
( )若对于 , ,有 , ,求证: .
【答案】见解析.
【解析】( )解:不等式化为 .
①当 时,不等式为 ,解得 ,故 ;
②当 时,不等式为 ,解得 ,故 ;
③当 时,不等式为 ,解得 ,故 ,
综上,原不等式的解集为 或 .
( ) ,
所以 .
2 π
4
θ = 2 2 cos 4 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − + =
2 3 2 4 0ρ ρ− + = 1 2 2ρ = 2 2ρ =
| | 2MN =
PMN△ 1 P π
4
θ = 0x y− = 2
( 2, )P y− | 2 | 2
2
y− − = | 2 | 2y + = 0y = 4−
P ( 2,0)− ( 2, 4)− −
10
( ) | 2 1|f x x= − x∈R
1 ( ) 2 | 1|f x x− +≥
2 x y ∈R 1| 1| 3x y− − ≤ 1| 2 1| 6y + ≤ ( ) 1f x <
1 | 1| | 2 1| 2x x+ + − ≥
1
2x≥ 3 2x≥ 2
3x≥ 2
3x≥
11 2x− <≤ 2 2x− ≥ 0x ≤ 1 0x− ≤ ≤
1x < − 3 2x− ≥ 2
3x −≤ 1x < −
{ | 0x x ≤ 2
3x ≥
2 2 1 5| 2 1| | 2( 1) 2 1| 2 | 1| | 2 1| 13 6 6x x y y x y y− = − − + + − − + + + = <≤ ≤
( ) 1f x <
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