2014届高三理科数学一轮复习试题选编13：等比数列（教师版） 11页

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编13：等比数列 一、选择题 ．（2013届北京丰台区一模理科）设为等比数列的前项和，，则 （　　）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎【答案】B ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列.对于函数,若数列为等差数列,则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数:‎ ‎①, ②, ③, ④,‎ 则为“保比差数列函数”的所有序号为 （　　）‎ A．①② B．③④ C.①②④ D．②③④‎ ‎【答案】C ‎ ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知数列为等比数列,,,则的值为 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D【解析】在等比数列中,,所以公比,又,解得或.由,解得,此时.由,解得,此时,综上,选 D． ‎ ．（2010年高考（北京理））在等比数列中,,公比.若,则m= （　　）‎ A．9 B．‎10 ‎C．11 D．12‎ ‎【答案】C ;解:由题意,=q10=a11,选 C． ‎ ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知数列中,,等比数列的公比满足,且,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 B．‎ ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知数列的前项和为,,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 C．‎ ．（2013届北京西城区一模理科）等比数列中，，则“”是“”的 （　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）已知数列是公比为的等比数列,且,,则的值为 （　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】 D．‎ ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知数列是各项均为正数的等比数列,若,则等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ 二、填空题 ．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）正项等比数列中,若,则等于______.‎ ‎【答案】16 【解析】在等比数列中,,所以由,得,即. ‎ ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在等比数列中，，则公比 ， ‎ ‎【答案】‎ 解：在等比数列中，所以，即。所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。‎ ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）在等比数列中,,则______,为等差数列,且,则数列的前5项和等于_______. ‎ ‎【答案】2,10 ‎ ．（2011年高考（北京理））在等比数列中,若,,则公比____________;_____________.‎ ‎【答案】-2, ‎ ‎【命题立意】本题考查了等比数列的定义,通项公式和前项和公式,考查了等价转化思想和基本运算. ‎ ‎【解析】在等比数列中,因为,,所以,所以,所以,所以,所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以 ‎ ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则______． ‎ ‎【答案】6‎ 解：设公比为，因为，所以，则，所以，又，即，所以。‎ ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知数列是等差数列，数列是 等比数列，则的值为 .‎ ‎【答案】‎ 解：因为是等差数列，所以。是等比数列，所以，因为，所以，所以。‎ ．（2013北京高考数学（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________.‎ ‎【答案】2, 代入可得, ‎ 再根据,得用求和公式可得 ‎ ．（2013北京东城高三二模数学理科）各项均为正数的等比数列的前项和为,若,,则的值为___,的值为___. ‎ ‎【答案】 ,; ‎ ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）.数列满足且对任意的，都有，则的前项和_____.‎ ‎【答案】‎ 解：由可得，所以。所以。由得，令，得，即数列是公比为2的等比数列，所以。‎ 三、解答题 ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知数列是等差数列,是等比数列,且,,.‎ ‎(1)求数列和的通项公式 ‎(2)数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)设的公差为,的公比为 ‎ 由,得,从而 ‎ 因此 ‎ 又, ‎ 从而,故 ‎ ‎(Ⅱ) ‎ 令 ‎ ‎ ‎ 两式相减得 ‎ ‎ ‎ ‎,又 ‎ ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知为等比数列，其前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）当时，.………………………………………1分 当时，.…………………………………………………3分 因为是等比数列，‎ 所以，即..……………………………………5分 所以数列的通项公式为.…………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得.‎ 则. ①‎ ‎. ②‎ ‎①-②得 …………………9分 ‎ ‎ ‎.…………………………………………………12分 所以.……………………………………………………………13分 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）在单调递增数列中，，不等式对任意都成立.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设，，‎ 求证：对任意的，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）解：因为是单调递增数列，‎ 所以，.‎ 令，，，‎ 所以. ………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）证明：数列不能为等比数列.‎ 用反证法证明：‎ 假设数列是公比为的等比数列，，.‎ 因为单调递增，所以.‎ 因为，都成立.‎ 所以， ①‎ 因为，所以，使得当时，.‎ 因为.‎ 所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立.………9分 ‎（Ⅲ）证明：观察： ，，，…，猜想：.‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎（1）当时，成立；‎ ‎（2）假设当时，成立；‎ 当时，‎ ‎ ‎ 所以.‎ 根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.‎ 由已知得，.‎ 所以.‎ 所以当时，.‎ 因为.‎ 所以对任意，.‎ 对任意，存在，使得，‎ 因为数列{}单调递增，‎ 所以，.‎ 因为，‎ 所以. ………………14分 ．（2009高考(北京理)）已知数集具有性质;对任意的 ‎,与两数中至少有一个属于.‎ ‎(Ⅰ)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)证明:,且;‎ ‎(Ⅲ)证明:当时,成等比数列..k.s.5. ‎ ‎【答案】【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.‎ ‎(Ⅰ)由于与均不属于数集,∴该数集不具有性质P.‎ 由于都属于数集,‎ ‎∴该数集具有性质P.‎ ‎(Ⅱ)∵具有性质P,∴与中至少有一个属于A,‎ 由于,∴,故.‎ 从而,∴‎ ‎∵, ∴,故.‎ 由A具有性质P可知.‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ 从而,‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有,即,‎ ‎∵,∴,∴,‎ 由A具有性质P可知.‎ 由,得,且,∴,‎ ‎∴,即是首项为1,公比为成等比数列.‎ ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）已知数列的前项和为,数列满足,‎ ‎.‎ ‎(1)求数列的通项公式; ‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】解(1) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎++3 , ‎ ‎++3, ‎ 两式作差:3-=2 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2) = ‎ ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知为等差数列,且.‎ ‎(I)求数列的前项和;‎ ‎(II)求数列的前项和.‎ ‎【答案】解:(I)设等差数列的公差为, ‎ 因为, ‎ 所以 ‎ 解得, ‎ 所以, ‎ 因此 ‎ 记数列的前项和为, ‎ 当时,, ‎ 当时,, ‎ 当时, ‎ ‎ ‎ ‎=, ‎ 又当时满足此式, ‎ 综上, ‎ ‎(II)记数列的前项和为. ‎ 则, ‎ ‎, ‎ 所以. ‎ 由(I)可知,, ‎ 所以, ‎ 故 ‎ ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）(本小题满分14分)‎ 设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(Ⅰ)写出的值,并求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记为数列的前项和,求; ‎ ‎(Ⅲ)若数列满足,,求数列的通项公式.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得,, ‎ 由题意,,则当时,. ‎ 两式相减,得() ‎ 又因为,,, ‎ 所以数列是以首项为,公比为的等比数列, ‎ 所以数列的通项公式是() ‎ ‎(Ⅱ)因为, ‎ 所以, ‎ 两式相减得,, ‎ 整理得, () ‎ ‎(Ⅲ) 当时,依题意得,, , . ‎ 相加得,. 12分 ‎ 依题意. ‎ 因为,所以(). ‎ 显然当时,符合. ‎ 所以(). ‎