2020届江苏省宿迁市重点中学高三上学期一模全真模拟数学试题（解析版） 14页

‎2020届江苏省宿迁市重点中学高三上学期一模全真模拟数学（理）试题（解析版）‎ ‎2020．01‎ ‎(总分160分，考试时间120分钟)‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{1，3}，则A(B)＝ ．‎ 答案：{2}‎ 考点：集合的交集、补集 解析：∵全集U＝{1，2，3，4}，B＝{1，3}，‎ ‎ ∴B＝{2，4}，‎ ‎ ∵集合A＝{1，2}，‎ ‎ ∴A(B)＝{2}‎ ‎2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：复数 解析：由题意得，所以．‎ ‎3．函数(＞0)的最小正周期为 ．‎ 答案：π 考点：三角函数的周期 解析：．‎ ‎4．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为1，则输入x的值为 ．‎ ‎ ‎ 答案：﹣1‎ 考点：伪代码 解析：根据伪代码可得，又输出y的值为1，‎ ‎ 即或，解得x＝﹣1．‎ ‎5．已知锥体的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为 ．‎ 答案：‎ 考点：圆锥的表面积与体积 解析：设圆锥底面半径为r，又母线与底面所成角为，则母线R＝2r，‎ ‎ 求得圆锥的高为h＝，则，解得r＝1．‎ ‎ 故圆锥的表面积S＝．‎ ‎6．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则＝ ．‎ 答案：4‎ 考点：等比数列的通项公式及性质 解析：依题意知， ①‎ 因为，‎ 即 因为等比数列的各项为正数，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得或（舍去），‎ 故或（舍去）‎ 将代入①式得，‎ 所以．‎ ‎7．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡上的数字大于第二张卡片上的数的概率为 ．‎ 答案：‎ 考点：等可能事件的概率 解析：从4张卡片中随机先后抽取2张，共有16种可能，满足第一张卡上的数字大于第二张卡片上的数有6种情况，故概率P＝．‎ ‎8．在等差数列中，设k，l，p，r，则k＋l＞p＋r是的 条件．（填“充分⽽不必要”、“必要⽽不充分”、“充要条件”或“既不充分也不必要”中的一个）‎ 答案：既不充分也不必要 考点：充要条件的判断 解析：在等差数0，0，0，0，……，中，3＋4＞1＋2，则不成立，即充分性不成立；‎ ‎ 在等差数列中，设公差为d，则，‎ ‎，由，‎ 得＞，即＞，‎ 当d＜0时，＜，即k＋l＜p＋r，即必要性不成立 所以k＋l＞p＋r是的既不充分也不必要条件 ‎9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：(a＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为 ．‎ 答案：‎ 考点：双曲线的性质 解析：双曲线C：(a＞0)的右顶点为(a，0)，设右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为d，其中渐近线方程为，化为一般式为，‎ 则d＝，解得a＝3（负值已舍去），∴，c＝5，‎ 故离心率e＝．‎ ‎10．已知(0，)，，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：二倍角公式，同角三角函数关系式 解析：∵，‎ ‎ ∴4sincos＝2cos2，‎ ‎ ∵(0，)，故cos＞0，sin＞0，‎ ‎ ∴cos＝2sin，又sin2＋cos2＝1，且sin＞0，‎ ‎ 故求得＝．‎ ‎11．若实数a，b满足，则的取值范围是 ．‎ 答案：[，0]‎ 考点：线性规划 解析：‎ ‎12．已知函数，，＝{，}，其中max{a，b}表示a，b中最大的数．若＞e对xR恒成立，则实数t的取值范围是 ．‎ 答案：t＜﹣1‎ 考点：函数与不等式 解析：‎ ‎ ‎ 由图可知，‎ ‎ ‎ ‎13．已知圆O1：(x＋2)2＋y2＝1，圆O2：(x﹣2)2＋y2＝1，若在圆O1上存在点M、圆O2上存在点N使得点P(，3)满足：PM＝PN．则实数的取值范围是 ．‎ 答案：‎ 考点：圆的方程 解析：由题意得：，故PO1≤PO2＋2，‎ ‎ ，‎ ‎ ，．‎ ‎14．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA＝，I为△ABC内部的一点，且．若，则x＋y的最大值为 ．‎ 答案：‎ 考点：平面向量 解析：‎ ‎ ‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2﹣b2 ﹣c2)．‎ ‎（1）求cosA的值；‎ ‎（2）求sin(2B﹣A)的值．‎ 解：（1）由及得，‎ 由及余弦定理，‎ 可得．‎ ‎（2）由（1）可得，代入，‎ 可得．‎ 由（1）知，为钝角，所以，‎ 所以，，‎ 故．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 如图，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面四边形ABCD是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面C1DE；‎ ‎（2）求三棱锥A1—AMD的体积．‎ ‎（2）．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ交于P、Q 两点．‎ ‎（1）求△FPQ的周长；‎ ‎（2）设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴的对称点，直线QR与x轴交于点N．求△QF2N面积的最大值．‎ 解：‎ ‎（2）‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 如图，长途车站P与地铁站O的距离为千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量 l1，l2的夹角为，OP与l1夹角满足tan＝（其中0＜＜），现要经过P修一条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在点A，B处设立公共自行车停放点．‎ ‎（1）已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；‎ ‎（2）考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点A，B的位置．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 已知数列与满足：，，且，．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）设，，证明：是等比数列；‎ ‎（3）设，，证明：()．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求函数的零点个数；‎ ‎（3）若函数在[1，)上是增函数，求证：．‎ 解：（1）函数的定义域为，‎ 对函数 求导可得：‎ ‎ ，‎ 当 时， ，‎ 且 ，‎ 则曲线在的切线方程为，‎ 即 。‎ ‎（2）设，‎ 则恒成立，‎ 则函数在上单调递增，‎ 因为，‎ 则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 因此函数在上单调递增，‎ 又因为，，‎ 则函数在上只有一个零点，且该零点存在于范围内。‎ ‎（3）因为函数在上是增函数，且定义域为 ，‎ 对函数求导可得：在上恒成立，‎ 对不等式变形化简可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 在上恒成立。‎ 当时，成立；‎ 当时，恒成立，‎ 即满足 。‎ 令（），‎ 则，‎ 由（2）可知，存在一个，使，‎ 即，则。‎ 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增，‎ 则 ‎ ‎ ‎，‎ 因此。‎ 在内取和 ，‎ 且，，‎ 因此 。‎ 又因为，‎ 当时，恒成立，‎ 则在上单调递增，‎ 则，‎ 则 ，‎ 故。‎