【数学】2018届一轮复习苏教版几何概型学案 13页

第 56 课 几何概型 [最新考纲] 内容 要求 A B C 几何概型 √ 1．几何概型的概念 设 D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为 从区域 D 内随机地取一点，区域 D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件 A 的发生可以 视为恰好取到区域 D 内的某个指定区域 d 中的点．这时，事件 A 发生的概率与 d 的测度(长 度、面积、体积等)成正比，与 d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为 几何概型． 2．几何概型的概率计算公式 一般地，在几何区域 D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事 件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)＝d 的测度 D 的测度 . 3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率 的近似值的方法就是模拟方法． (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计 算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义 的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N；③计算频率 fn(A)＝M N 作为所求概率的近似值． 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 1 10 .( ) (3)概率为 0 的事件一定是不可能事件．( ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落 在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是________．(填序号) 图 561 ① [P(①)＝3 8 ，P(②)＝2 8 ，P(③)＝2 6 ，P(④)＝1 3 ， ∴P(①)>P(③)＝P(④)>P(②)．] 3．(2016·全国卷Ⅱ改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续 时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 ________． 5 8 [如图，若该行人在时间段 AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待 15 秒才出现 绿灯．AB 长度为 40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的 概率为40－15 40 ＝5 8 .] 4．如图 562 所示，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部 分，据此估计阴影部分的面积为________． 图 562 0．18 [由题意知， S 阴 S 正 ＝ 180 1 000 ＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.] 5．设不等式组 0≤x≤2， 0≤y≤2 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点 到坐标原点的距离大于 2 的概率是________． 1－π 4 [如图所示，区域 D 为正方形 OABC 及其内部，且区域 D 的面积 S＝4.又阴影部 分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域．易知该阴影部分的面积 S 阴＝4－π， ∴所求事件的概率 P＝4－π 4 ＝1－π 4 .] 与长度(角度)有关的几何概型 (1)(2016·全国卷Ⅰ改编)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7： 50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超 过 10 分钟的概率是________． 图 563 (2)如图 563 所示，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1，在∠DAB 内作射线 AP，则 射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为________． (1)1 2 (2)1 3 [(1)如图，7：50 至 8：30 之间的时间长度为 40 分钟，而小明等车时间 不超过 10 分钟是指小明在 7：50 至 8：00 之间或 8：20 至 8：30 之间到达发车站，此两种 情况下的时间长度之和为 20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为 P＝20 40 ＝1 2 . (2)以 A 为圆心，以 AD＝1 为半径作圆弧 交 AC，AP，AB 分别为 C′，P′，B′. 依题意，点 P′在 上任何位置是等可能的，且射线 AP 与线段 BC 有公共点，则事件 “点 P′在 上发生”． 又在 Rt△ABC 中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝π 6 . 故所求事件的概率 P＝ ＝ π 6 ·1 π 2 ·1 ＝1 3 .] [规律方法] 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围， 当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核 心是确定点的边界位置． 2．(1)第(2)题易出现“以线段 BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求 P＝1 2 . (2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区 域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数 之比． [变式训练 1] (1)设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连结，则弦长 超过半径 2倍的概率是________. 【导学号：62172308】 (2)(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y＝kx 与圆(x－5)2 ＋y2＝9 相交”发生的概率为________． (1)1 2 (2)3 4 [(1)作等腰直角△AOC 和△AMC，B 为圆上任一点，则当点 B 在 上运 动时，弦长|AB|＞ 2R， ∴P＝ ＝1 2 . (2)由直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交，得 |5k| k2＋1 <3， 即 16k2<9，解得－3 4 0， 解得2 3 1 2 ，则 p1<1 2