2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（文）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 5页

‎2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（文）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 函数f(x)=|sinx+cosx|‎的最小正周期是（ ）‎ A.π‎4‎ B.π‎2‎ C.π D.‎‎2π ‎2. 正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，P，Q，R分别是AB，AD，B‎1‎C‎1‎的中点．那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是‎(‎        ‎‎)‎ A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 ‎3. 函数y=x‎2‎-1(x≥0)‎的反函数是（ ）‎ A.y=x+1‎(x≥-1)‎ B.y=-x+1‎(x≥0)‎ C.y=x-1‎(x≥-1)‎ D.‎y=x+1‎(x≥0)‎ ‎4. 已知函数y=tanωx在‎(-π‎2‎，π‎2‎)‎上是减函数，则（ ）‎ A.‎0<ω≤1‎ B.‎-1≤ω<0‎ C.ω≥1‎ D.‎ω≤-1‎ ‎5. 抛物线x‎2‎‎=4y上一点A的纵坐标为‎4‎，则点A与抛物线焦点的距离为（ ）‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎5‎ ‎6. 双曲线x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎‎9‎=1‎的渐近线方程是（ ）‎ A.y=±‎2‎‎3‎x B.y=±‎4‎‎9‎x C.y=±‎3‎‎2‎x D.‎y=±‎9‎‎4‎x ‎7. 如果数列‎{an}‎是等差数列，则（ ）‎ A.a‎1‎‎+a‎8‎>a‎4‎+‎a‎5‎ B.a‎1‎‎+a‎8‎=a‎4‎+‎a‎5‎ C.a‎1‎‎+a‎8‎0}‎，则M∩N为（ ）‎ A.‎{x|-4≤x<-2或33}‎ D.‎‎{x|x<-2或x≥3}‎ ‎11. 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v‎→‎‎=(4, -3)‎（即点P的运动方向与v‎→‎相同，且每秒移动的距离为‎|v‎→‎|‎个单位．设开始时点P的坐标为‎(-10, 10)‎，则‎5‎秒后点P的坐标为（         ）‎ A.‎(-2, 4)‎ B.‎(-30, 25)‎ C.‎(10, -5)‎ D.‎‎(5, -10)‎ ‎12. ‎△ABC的顶点在平面α内，A、C在α的同一侧，AB、BC与α所成的角分别是‎30‎‎∘‎和‎45‎‎∘‎．若AB=3‎，BC=4‎‎2‎，AC=5‎，则AC与α所成的角为（ ）‎ A.‎60‎‎∘‎ B.‎45‎‎∘‎ C.‎30‎‎∘‎ D.‎‎15‎‎∘‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. 在‎8‎‎3‎和‎27‎‎2‎之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．‎ ‎14. 圆心为‎(1, 2)‎且与直线‎5x-12y-7=0‎相切的圆的方程为________．‎ ‎15. 在由数字‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎所组成的没有重复数字的四位数中，不能被‎5‎整除的数共有________个．‎ ‎16. 下面是关于三棱锥的四个命题：‎ ‎①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．‎ ‎④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．‎ 其中，真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 已知α为第二象限的角，sinα=‎‎3‎‎5‎，β为第一象限的角，cosβ=‎‎5‎‎13‎．求tan(2α-β)‎的值．‎ ‎ 5 / 5‎ ‎18. 甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为‎0.60‎，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．‎ ‎(I)‎前三局比赛甲队领先的概率；‎ ‎(II)‎本场比赛乙队以‎3:2‎取胜的概率．（精确到‎0.001‎）‎ ‎19. 已知‎{an}‎是各项均为正数的等差数列，lga‎1‎，lga‎2‎，lga‎4‎成等差数列．又bn‎=‎‎1‎a‎2‎n，n=1‎，‎2‎，‎3‎，…．‎ ‎(I)‎证明‎{bn}‎为等比数列；‎ ‎(II)‎如果数列‎{bn}‎前‎3‎项的和等于‎7‎‎24‎，求数列‎{an}‎的首项a‎1‎和公差d．‎ ‎20. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥‎底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．‎ ‎（1）求证：EF⊥‎面PAB；‎ ‎（2）若AB=‎2‎BC，求AC与面AEF所成的角．‎ ‎21. 设a为实数，函数f(x)=x‎3‎-x‎2‎-x+a．‎ ‎(I)‎求f(x)‎的极值；‎ ‎(II)‎当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)‎与x轴仅有一个交点．‎ ‎22. P，Q，M，N四点都在椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF‎→‎与FQ‎→‎共线，MF‎→‎与FN‎→‎共线，且PF‎→‎‎⋅MF‎→‎=0‎．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．‎ ‎ 5 / 5‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年黑龙江省高考数学试卷Ⅱ（文）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.D ‎3.A ‎4.B ‎5.D ‎6.C ‎7.B ‎8.A ‎9.C ‎10.A ‎11.C ‎12.C 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎216‎ ‎14.‎‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=4‎ ‎15.‎‎192‎ ‎16.①，④‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.解：∵ α为第二象限角，sinα=‎‎3‎‎5‎，∴ cosα=-‎‎4‎‎5‎，tanα=-‎‎3‎‎4‎，tan2α=-‎‎24‎‎7‎，‎ 又∵ β为第一象限角，cosβ=‎‎5‎‎13‎，∴ sinβ=‎‎12‎‎13‎，tanβ=‎‎12‎‎5‎，‎ ‎∴ ‎tan(2α-β)=tan2α-tanβ‎1+tan2α⋅tanβ=‎-‎24‎‎7‎-‎‎12‎‎5‎‎1-‎24‎‎7‎×‎‎12‎‎5‎=‎‎204‎‎253‎ ‎18.解：‎(1)‎∵ 前三局比赛甲队领先分为两种情况，这两种情况是互斥的，‎ ‎①前三局比赛中甲队全部获胜，其概率为P‎1‎‎=C‎3‎‎3‎(0.6‎)‎‎3‎×(0.4‎)‎‎0‎=0.216‎；‎ ‎②前三局比赛中甲队两局获胜、一局失败，其概率为P‎2‎‎=C‎3‎‎2‎(0.6‎)‎‎2‎×(0.4‎)‎‎1‎=0.432‎；‎ ‎∴ 前三局比赛甲队领先的概率为：‎P=P‎1‎+P‎2‎=0.648‎ ‎(2)‎本场比赛乙队以‎3:2‎取胜，则乙队在前四局比赛中乙队获胜两局、在第五局比赛中获胜，‎ 其概率为P=C‎4‎‎2‎(0.6‎)‎‎2‎×(0.4‎)‎‎2‎×0.4=0.13824≈0.138‎ ‎19.‎(1)‎证明：设‎{an}‎中首项为a‎1‎，公差为d．‎ ‎∵ lga‎1‎，lga‎2‎，lga‎4‎成等差数列 ‎∴ ‎2lga‎2‎=lga‎1‎+lga‎4‎∴ a‎2‎‎2‎‎=a‎1‎⋅‎a‎4‎，即‎(a‎1‎+d‎)‎‎2‎=a‎1‎(a‎1‎+3d)‎ ‎∴ d=0‎或d=‎a‎1‎ 当d=0‎时，an‎=‎a‎1‎，bn‎=‎1‎a‎2‎n=‎‎1‎a‎1‎，‎ ‎∴ bn+1‎bn‎=1‎，‎ ‎∴ ‎{bn}‎为等比数列；‎ 当d=‎a‎1‎时，an‎=na‎1‎，bn‎=‎1‎a‎2‎n=‎‎1‎‎2‎na‎1‎，‎ ‎∴ bn+1‎bn‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴ ‎{bn}‎为等比数列 综上可知‎{bn}‎为等比数列 ‎(2)‎当d=0‎时，bn‎=‎1‎a‎2‎n=‎‎1‎a‎1‎，‎ ‎∴ ‎b‎1‎‎+b‎2‎+b‎3‎=‎3‎a‎1‎=‎‎7‎‎24‎ ‎∴ a‎1‎‎=‎‎72‎‎7‎；‎ 当d=‎a‎1‎时，‎bn‎=‎1‎a‎2‎n=‎‎1‎‎2‎na‎1‎ ‎∴ ‎b‎1‎‎+b‎2‎+b‎3‎=‎1‎‎2‎a‎1‎+‎1‎‎4‎a‎1‎+‎1‎‎8‎a‎1‎=‎7‎‎8‎a‎1‎=‎‎7‎‎24‎ ‎ 5 / 5‎ ‎∴ ‎a‎1‎‎=3‎ 综上可知a‎1‎‎=‎‎72‎‎7‎d=0‎或a‎1‎‎=3‎d=3‎ ‎20.解：方法一：（1）取PA中点G，连接FG，‎DG ‎  ‎BF=FP⇒FG‎=‎‎ // ‎‎1‎‎2‎ABCE=ED⇒DE‎=‎‎ // ‎‎1‎‎2‎AB‎⇒FG‎=‎‎ // ‎DE ‎⇒‎四边形DEFG为平行四边形‎⇒EF‎=‎‎ // ‎DG ‎⇒‎平面PAB⊥‎平面PAD 又PD=AD，‎PG=GA⇒DG⊥PA ‎⇒DG⊥‎平面PABDE，又FE // DG ‎⇒EF⊥‎平面PAB．‎ ‎（2）设AC，BD交于O，连接FO．‎ 由PF=BF，BO=OD得FO‎=‎‎ // ‎‎1‎‎2‎PD，又PD⊥‎平面ABCD ‎∴ FO⊥‎平面ABCD 设BC=a，则AB=‎2‎a，∴ PA=‎2‎a，‎ DG=‎2‎‎2‎a=EF‎，∴ PB=2a，AF=a．‎ 设C到平面AEF的距离为h．‎ ‎∵ VC-AEF‎=‎VF-ACE，∴ ‎‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎EF⋅AF⋅h=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎CE⋅AD⋅FO 即‎2‎‎2‎a⋅a⋅h=‎2‎‎2‎a⋅a⋅‎a‎2‎∴ ‎h=‎a‎2‎ ‎∴ AC与平面AEF所成角的正弦值为hAC‎=a/2‎‎3‎a=‎‎3‎‎6‎．‎ 即AC与平面AEF所成角为arcsin‎3‎‎6‎ 方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，‎ ‎（1）证明：‎ 设E(a, 0, 0)‎，其中a>0‎，则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,‎1‎‎2‎，‎1‎‎2‎)‎，EF‎→‎‎=(0,‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)，PB‎→‎=(2a,1,-1)，AB‎→‎=(2a,0,0)，EF‎→‎⋅PB‎→‎=0‎，∴ EF⊥PB，AB‎→‎‎⋅EF‎→‎=0‎，∴ ‎AB⊥EF 又PB⊂‎平面PAB，AB⊂‎平面PAB，PB∩AB=B，∴ EF⊥⊂‎平面PAB ‎（2）解：由AB=‎2‎BC，得a=‎‎2‎‎2‎，‎ 可得AC‎→‎‎=(‎2‎,-1,0)，PB‎→‎=(‎2‎,1,-1)‎ cos⟨AC‎→‎，PB‎→‎>=‎|AC‎→‎|⋅|PB‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎6‎‎，‎ 则异面直线AC，PB所成的角为arccos‎3‎‎6‎，‎ AF‎→‎‎=(‎2‎‎2‎,-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎‎，∴ AF‎→‎‎⋅PB‎→‎=0，AF⊥PB，‎ 又PB⊥EF，AF为平面AEF内两条相交直线，‎ ‎∴ PB⊥‎平面AEF，∴ AC与平面AEF所成的角为π‎2‎‎-arccos‎3‎‎6‎(=arcsin‎3‎‎6‎)‎，‎ 即AC与平面AEF所成的角为arcsin‎3‎‎6‎．‎ ‎21.解：‎(1)‎令f‎'‎‎(x)=3x‎2‎-2x-1=0‎得：x‎1‎‎=-‎1‎‎3‎，x‎2‎=1‎．‎ ‎ 5 / 5‎ 又∵ 当x∈(-∞, -‎1‎‎3‎)‎时，f‎'‎‎(x)>0‎；‎ 当x∈(-‎1‎‎3‎, 1)‎时，f‎'‎‎(x)<0‎；‎ 当x∈(1, +∞)‎时，f‎'‎‎(x)>0‎；‎ ‎∴ x‎1‎‎=-‎‎1‎‎3‎与x‎2‎‎=1‎分别为f(x)‎的极大值与极小值点．‎ ‎∴ f(x‎)‎极大值=f(-‎1‎‎3‎)=a+‎‎5‎‎27‎；‎f(x‎)‎极小值=a-1‎ ‎(2)‎‎∵ f(x)‎在‎(-∞, -‎1‎‎3‎)‎上单调递增，‎ ‎∴ 当x→-∞‎时，f(x)→-∞‎；‎ 又f(x)‎在‎(1, +∞)‎单调递增，当x→+∞‎时，‎f(x)→+∞‎ ‎∴ 当f(x‎)‎极大值<0‎或f(x‎)‎极小值>0‎时，曲线f(x)‎与x轴仅有一个交点．‎ 即a+‎5‎‎27‎<0‎或a-1>0‎，‎ ‎∴ ‎a∈(-∞, -‎5‎‎27‎)∪(1, +∞)‎ ‎22.解：∵ PF‎→‎‎⋅MF‎→‎=0⇒PF‎→‎⊥‎MF‎→‎．即MN⊥PQ．‎ 当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．‎ 不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，‎ ‎∵ ‎F(0, 1)‎ ‎∴ MN的方程为：y=1‎，PQ的方程为：‎x=0‎ 分别代入椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎中得：‎|MN|=‎‎2‎，‎|PQ|=2‎‎2‎．‎ S四边形PMQN‎=‎1‎‎2‎|MN|⋅|PQ|=‎1‎‎2‎×‎2‎×2‎2‎=2‎ 当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，‎ 设MN的方程为y=kx+1(k≠0)‎，‎ 代入椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎中得：‎(k‎2‎+2)x‎2‎+2kx-1=0‎，‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎2kk‎2‎‎+2‎，‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=-‎‎1‎k‎2‎‎+2‎ ‎∴ ‎‎|MN|=‎(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎(1+k‎2‎)[(‎2kk‎2‎‎+2‎‎)‎‎2‎+‎4‎k‎2‎‎+2‎]‎=‎‎2‎2‎(1+k‎2‎)‎k‎2‎‎+2‎ 同理可得：‎|PQ|=‎‎2‎2‎(1+k‎2‎)‎‎2k‎2‎+1‎，‎ S四边形PMQN‎=‎1‎‎2‎|MN|⋅|PQ|=2×‎2k‎4‎+4k‎2‎+2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎=2(1-k‎2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎)=2(1-‎1‎‎2(k‎2‎+1/k‎2‎)+5‎)≥‎‎16‎‎9‎ ‎（当且仅当k‎2‎‎=‎‎1‎k‎2‎即k=±1‎时，取等号）．‎ 又S四边形PMQN‎=2(1-k‎2‎‎2k‎4‎+5k‎2‎+2‎)<2‎，∴ 此时‎16‎‎9‎‎≤S四边形PMQN<2‎．‎ 综上可知：‎(S四边形PMQN‎)‎max=2‎，‎(S四边形PMQN‎)‎min=‎‎16‎‎9‎．‎ ‎ 5 / 5‎