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- 2021-06-24 发布
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2018届榆林市第二次高考模拟考试试题
理科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知,为虚数单位,的实部与虚部互为相反数,则( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.已知,,则( )
A. B. C. D.
4.若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍,则( )
A.2 B. C.1 D.
5.《九章算术》中的玉石问题:“今有玉方一寸,重上七两;石方一寸,重六两.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(即176两),问玉、石重各几何?”其意思为:“宝玉1立方寸重7两,石料1立方寸重6两,现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体,棱长是3寸,质量是11斤(即176两),问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法,运行该程序框图,则输出的,分别为( )
A.90,86 B.98,78 C.94,82 D.102,74
6.设,满足约束条件,则的最大值为( )
A.-1 B.3 C.9 D.12
7.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的最大值是( )
A.1 B. C. D.
8.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况,以及重要商品库存变化的动向,中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查,制定了中国仓储指数.由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数,绘制出如下的折线图.
根据该折线图,下列结论正确的是( )
A.2016年各月的合储指数最大值是在3月份
B.2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55
C.2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52
D.2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月,波动性更大
9.已知函数的最小正周期为,且其图象向右平移个单位后得到函数的图象,则( )
A. B. C. D.
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.4 B.6 C. D.
11.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,为虚轴的一个端点,且为钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,,若成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知单位向量,满足,则向量与的夹角为 .
14.如图,长方体的底面是边长为1的正方形,高为2,则异面直线与的夹角的余弦值是 .
15.两位同学分4本不同的书,每人至少分1本,4本书都分完,则不同的分发方式共有 种.
16.在中,角,,的对边分别是,,,,若,则的周长为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.已知正项数列满足,.数列的前项和满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况,采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查,各组人数统计如下:
小组
甲
乙
丙
丁
人数
9
12
6
3
(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名,求这两名学生来自同一个小组的概率;
(2)在参加问卷调查的10名学生中,从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名,用表示抽得甲组学生的人数,求的分布列和数学期望.
19.如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,平面平面,,,在棱上运动.
(1)当在何处时,平面;
(2)当平面时,求直线与平面所成角的弦值.
20.已知椭圆的左右焦点分别为和,上顶点为,若直线的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为,的周长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线(直线的斜率不为1)与椭圆交于,两点,点在点的上方,若,求直线的斜率.
21.已知函数,.
(1)若时,求函数的最小值;
(2)若函数既有极大值又有极小值,求实数的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,(为参数),曲线的参数方程为,(为参数).
(1)将,的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线的极坐标系方程为.若上的点对应的参数为,点在上,点为的中点,求点到直线距离的最小值.
23.[选修4-5:不等式选讲]
已知函数.
(1)证明:;
(2)若,求实数的取值范围.
榆林市2017~2018年第二次模拟考试试卷
高三数学参考答案(理科)
一、选择题
1-5: CDCAB 6-10: CDDAB 11、12:DB
二、填空题
13. (或) 14. 15. 14 16.
三、解答题
17.解:(1)∵,
∴,
∵,,∴,∴,
∴是以1为首项,1为公差的等差数列,
∴.
当时,,当时也满足,∴.
(2)由(1)可知:,
∴.
18. 解:(1)由已知得,问卷调查中,从四个小组中抽取的人数分别为3,4,2,1,
从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有种,
这两名学生来自同一小组的取法共有,
所以.
(2)由(1)知,在参加问卷调查的10名学生中,来自甲、丙两小组的学生人数分别为3,2,
的可能取值为0,1,2,
,,.
∴的分布列为:
0
1
2
.
19. 解:(1)当为中点时,平面.∵设,在中,为中位线,即,又平面,平面,∴平面.
(2)∵四边形是菱形,,,
∴,均为等边三角形.
取的中点,∵平面平面,∴平面.以为坐标原点,射线,,分别为,,轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,.
∴,,.
设平面的法向量为,则由,,
得,取,得.
记直线与平面所成角为,则
.
20. 解:(1)因为的周长为,所以,即.
由直线的斜率为1,得,
因为,所以,.
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题可得直线方程为,联立得,
所以.
因为,即,
所以.
当直线的斜率为0时,不符合题意,
故设直线的方程为,,,由点在点的上方,则.
联立得,所以.
消去得,所以,得,,
又由画图可知不符合题意,所以.
故直线的斜率为.
21. 解:(1)当时,,定义域为.
,令,可得.
列表:
-
0
+
极小值
所以,函数的最小值为.
(2),定义域为,.
记,,,
①当时,,在上单调递增,
故在上至多有一个零点,
此时,函数在上至多存在一个极小值,不存在极大值,不符题意;
②当时,令,可得,列表:
+
0
-
极大值
若,即,,即,
故函数在上单调递减,函数在上不存在极值,与题意不符,
若,即时,
由于,且,
故存在,使得,即,
且当时,,函数在上单调递减;
当时,,函数在上单调递增,函数在处取极小值.
由于,且(事实上,令,,故在上单调递增,所以).
故存在,使得,即,
且当时,,函数在上单调递增;
当时,,函数在上单调递减,函数在处取极大值.
综上所述,当时,函数在上既有极大值又有极小值.
22. 解:(1)的普通方程为,
它表示以为圆心,1为半径的圆,
的普通方程为,
它表示中心在原点,焦点在轴上的椭圆.
(2)由已知得,设,则,
直线:,
点到直线的距离,
所以,即到的距离的最小值为.
23.(1)证明:因为,
而,
所以.
(2)解:因为,
所以或,
解得,所以的取值范围是.
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