2012年高考真题汇编-文科数学（解析版）6：立体几何 29页

‎2 012高考试题分类汇编:6：立体几何 ‎ 一、选择题 ‎1.【2012高考新课标文7】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】选由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为，所以几何体的体积为,选B.‎ ‎2.【2012高考新课标文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 ‎ ‎（A）π （B）4π （C）4π （D）6π ‎【答案】B ‎【解析】球半径，所以球的体积为，选B.‎ ‎3.【2012高考全国文8】已知正四棱柱中 ，，，为的中点，则直线与平面的距离为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,,,所以利用等积法得，选D. ‎ ‎4.【2012高考陕西文8】将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）‎ ‎8.【答案】B.‎ ‎ 【解析】根据.空间几何体的三视图的概念易知左视图是实线是虚线，故选B.‎ ‎5.【2012高考江西文7】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 A． B‎.5 C.4 D. ‎ ‎【答案】D ‎ 【解析】由三视图可知这是一个高为1的直六棱柱。底面为六边形的面积为，所以直六棱柱的体积为，选D.‎ 易错提示：本题容易把底面六边形看成是边长为1的正六边形，其实只有上下两个边长是1.‎ ‎6.【2012高考湖南文4】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ‎【答案】D ‎【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.‎ ‎【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.‎ ‎7.【2012高考广东文7】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 图1‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎3‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积 ‎.‎ ‎8.【2102高考福建文4】‎ 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是 ‎ A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC，故选Ｄ．‎ ‎9.【2012高考重庆文9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎ 【答案】A ‎ ‎【解析】因为则，，选A，‎ ‎10.【2012高考浙江文3】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是 A‎.1cm3 B‎.2cm3 C.3cm3 D‎.6cm3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为.‎ ‎11.【2012高考浙江文5】 设是直线，a，β是两个不同的平面 A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β ‎【答案】B ‎ 【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵∥a，⊥β，则a⊥β．如选项A：∥a，∥β时，a⊥β或a∥β；选项C：若a⊥β，⊥a，∥β或；选项D：若若a⊥β, ⊥a，∥β或⊥β．‎ ‎12.【2012高考四川文6】下列命题正确的是（ ）‎ A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎ 【答案】C ‎【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.‎ ‎13.【2012高考四川文10】如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）‎ A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎ 【解析】根据题意，易知平面AOB⊥平面CBD,‎ ‎,，由弧长公式易得，、两点间的球面距离为.‎ ‎14.【2102高考北京文7】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 ‎（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，，，，因此该几何体表面积，故选B。‎ 二、填空题 ‎15.【2012高考四川文14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。‎ ‎【答案】‎ ‎ 【解析】本题有两种方法，一、几何法：连接，则,又，易知，所以与所成角的大小是 ‎；二、坐标法：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算得异面直线与所成角的大小是.‎ ‎16.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】底面圆的周长，所以圆柱的底面半径，所以圆柱的侧面积为 两个底面积为。，所以圆柱的表面积为。‎ ‎17.【2012高考湖北文15】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是.‎ ‎【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积.‎ ‎18.【2012高考辽宁文13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.‎ ‎【答案】12+π ‎【解析】‎ 由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为 ‎【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。‎ ‎19.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】正方形的性质，棱锥的体积。‎ ‎【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。‎ ‎ ∴四棱锥的体积为。‎ ‎20.【2012高考辽宁文16】已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则△OAB的面积为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点 ‎【点评】‎ 本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。‎ ‎21.【2012高考天津文科10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体 积 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为，五棱柱的体积是，所以几何体的总体积为。‎ ‎22.【2012高考安徽文12】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于______。 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，几何体的的体积是。‎ ‎23.【2012高考山东文13】如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为点在线段上，‎ 所以，又因为点在线段上，所以点到平面的距离为1,即，所以.‎ ‎24.【2012高考安徽文15】若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则______(写出所有正确结论编号)。 ‎ ‎①四面体每组对棱相互垂直 ‎②四面体每个面的面积相等 ‎③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于 ‎④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分 ‎⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 ‎【答案】②④⑤‎ ‎【解析】②四面体每个面是全等三角形，面积相等；‎ ‎③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于；‎ ‎④连接四面体每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分；‎ ‎⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长。‎ ‎25.【2012高考全国文16】已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】如图连接，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则，在三角形中.‎ 三、解答题 ‎26.【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎27.【2012高考安徽文19】（本小题满分 12分）‎ 如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）如果=2，=，,，求 的长。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎28.【2012高考四川文19】(本小题满分12分) ‎ 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内的射影在上。‎ ‎（Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小。‎ 命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎229.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ ‎）小问8分）已知直三棱柱中，，，为的中点。（Ⅰ）求异面直线和的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD AB。又直三棱柱中， 面 ，故 ，所以异面直线 和AB的距离为 ‎（Ⅱ）：由故 面 ，从而 ，故 为所求的二面角的平面角。‎ 因是在面上的射影，又已知 由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以≌，因此得 从而 所以在中，由余弦定理得 ‎【2012高考上海文19】本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：‎ ‎（1）三棱锥的体积 ‎（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．‎ ‎30.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.‎ ‎（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；‎ ‎（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；‎ ‎（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。‎ ‎【答案】‎ ‎31.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点 ‎(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC ‎（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.‎ C B A D C1‎ A1‎ ‎【答案】‎ ‎32.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）‎ ‎ 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎ [中国^教*~育出#版%‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为 又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，‎ 而平面PAC，所以.‎ ‎（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，‎ 所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.‎ 由BD平面PAC，平面PAC，知.‎ 在中，由，得PD=2OD.‎ 因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，‎ 从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形ＡＯＤ中，‎ 所以 故四棱锥的体积为.‎ ‎【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积.‎ ‎33.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)‎ 如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，‎ 求证：∥平面.‎ ‎【答案】(19)(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知 ，，‎ 又已知，所以平面OCE.‎ 所以，即OE是BD的垂直平分线，‎ 所以.‎ ‎(II)取AB中点N，连接，‎ ‎∵M是AE的中点，∴∥，‎ ‎∵△是等边三角形，∴.‎ 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，‎ 所以ND∥BC，‎ 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.‎ ‎34.【2012高考湖北文19】（本小题满分12分）‎ 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B‎1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B‎2C2D2。‎ A． 证明：直线B1D1⊥平面ACC‎2A2；‎ B． 现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直线面垂直面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查.‎ ‎35.【2012高考广东文18】本小题满分13分）‎ 如图5所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，，求三棱 锥的体积；‎ ‎（3）证明：平面.‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）证明：因为平面，‎ 所以。‎ 因为为△中边上的高，‎ 所以。‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以平面。‎ ‎（2）连结，取中点，连结。‎ ‎ 因为是的中点，‎ ‎ 所以。‎ ‎ 因为平面，‎ 所以平面。‎ 则，‎ ‎ 。‎ ‎（3）证明：取中点，连结，。‎ ‎ 因为是的中点，‎ 所以。‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以。‎ 因为，‎ ‎ 所以。‎ 因为平面，‎ ‎ 所以。‎ ‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 所以平面。‎ ‎36.【2102高考北京文16】（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1F⊥CD，如图2。‎ ‎(I)求证：DE∥平面A1CB；‎ ‎(II)求证：A‎1F⊥BE；‎ ‎(III)线段A1B上是否存在点Q，使A‎1C⊥平面DEQ？说明理由。‎ ‎ 【答案】‎ ‎37.【2012高考浙江文20】（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B‎1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=。AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B‎1C1E与直线AA1的交点。‎ ‎（1）证明：（i）EF∥A1D1；‎ ‎（ii）BA1⊥平面B‎1C1EF；‎ ‎（2）求BC1与平面B‎1C1EF所成的角的正弦值。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】（1）（i）因为， 平面ADD‎1 A1，所以平面ADD‎1 A1.‎ 又因为平面平面ADD‎1 A1=，所以.所以.‎ （ii） 因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 在矩形中，F是AA的中点，即.即 ‎，故.‎ 所以平面.‎ ‎(2) 设与交点为H，连结.‎ 由（1）知，所以是与平面所成的角. 在矩形中，，，得，在直角中，，，得 ‎，所以BC与平面所成角的正弦值是.‎ ‎38.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）‎ 直三棱柱ABC- A1B‎1C1中，AB=A A1 ，=‎ ‎（Ⅰ）证明;‎ ‎（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥 的体积 ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎39.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分) ‎ 如图，直三棱柱，，AA′=1，点M，N分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明：∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的体积。‎ ‎（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。‎ ‎40.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面。‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴。‎ ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面，∴直线平面 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。‎ ‎【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。‎ ‎ （2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。‎ ‎41.【2102高考福建文19】（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点。‎ （1） 求三棱锥A-MCC1的体积；‎ （2） 当A‎1M+MC取得最小值时，求证：B‎1M⊥平面MAC。‎ ‎42.【2012高考江西文19】（本小题满分12分）‎ 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.‎ （1） 求证：平面DEG⊥平面CFG；‎ （2） 求多面体CDEFG的体积。‎ ‎ 【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎