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2012 高考真题分类汇编:三角函数
一、选择题
1.【2012 高考真题重庆理 5】设 是方程 的两个根,则
的值为
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3
【答案】A
【 解 析 】 因 为 是 方 程 的 两 个 根 , 所 以 ,
,所以 ,选 A.
2.【2012 高考真题浙江理 4】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍
(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是
【答案】A
【解析】根据题设条件得到变化后的函数为 ,结合函数图象可知选项A符合要求。
故选A.
3.【2012 高考真题新课标理 9】已知 ,函数 在 上单调递减.
则 的取值范围是( )
【答案】A
【 解 析 】 函 数 的 导 数 为 , 要 使 函 数
tan ,tanα β 2 3 2 0x x− + = tan( )α β+
βα tan,tan 2 3 2 0x x− + = 3tantan =+ βα
2tantan =βα 321
3
tantan1
tantan)tan( −=−=−
+=+ βα
βαβα
)1cos( += xy
0ω > ( ) sin( )4f x x
πω= + ( , )2
π π
ω
( )A 1 5[ , ]2 4 ( )B 1 3[ , ]2 4 ( )C 1(0, ]2 ( )D (0,2]
)4sin()(
πω += xxf )4cos()('
πωω += xxf
在 上单调递减,则有 恒成立,
则 , 即 , 所 以
,当 时, ,又 ,所以有
,解得 ,即 ,选 A.
4.【2012 高考真题四川理 4】如图,正方形 的边长为 ,延长 至 ,使 ,
连接 、 则 ( )
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】 ,
,
,
由正弦定理得 ,
所以 .
5.【2012 高考真题陕西理 9】在 中,角 所对边长分别为 ,若 ,
则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由余弦定理知 ,
故选C.
)4sin()(
πω += xxf ),2( ππ
0)4cos()(' ≤+= πωω xxf
πππωππ
kxk 22
3
422
+≤+≤+ ππωππ
kxk 24
524
+≤≤+
Zkkxk ∈+≤≤+ ,ω
π
ω
π
ω
π
ω
π 2
4
2
4 0=k ω
π
ω
π
4
5
4
≤≤ x ππ << x2
πω
ππ
ω
π ≥≤
4
5,24 4
5,2
1 ≤≥ ωω
4
5
2
1 ≤≤ ω
ABCD 1 BA E 1AE =
EC ED sin CED∠ =
3 10
10
10
10
5
10
5
15
2EB EA AB= + =
2 2 4 1 5EC EB BC= + = + =
3
4 2 4EDC EDA ADC
π π π∠ = ∠ + ∠ = + =
sin 1 5
sin 55
CED DC
EDC CE
∠ = = =∠
5 5 3 10sin sin sin5 5 4 10CED EDC
π∠ = ∠ = =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 22a b c+ =
cosC
3
2
2
2
1
2
1
2
−
2
1
4
2
42
)(2
1
2cos
22
2222
222
=≥+=
+−+
=−+=
ab
ab
ab
ba
ab
baba
ab
cbaC
6.【2012 高考真题山东理 7】若 , ,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【 解 析 】 因 为 , 所 以 , , 所 以
,又 ,所以 , ,
选 D.
7.【2012 高考真题辽宁理 7】已知 , (0,π),则 =
(A) 1 (B) (C) (D) 1
【答案】A
【解析一】
,故选 A
【解析二】
,故选 A
【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和
运算求解能力,难度适中。
8.【2012 高考真题江西理 4】若 tan + =4,则 sin2 =
A. B. C. D.
【答案】D
【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。
【解析】由 得, ,即 ,
所以 ,选 D.
9.【2012 高考真题湖南理 6】函数 f(x)=sinx-cos(x+ )的值域为
4 2
π πθ ∈ , 3 7sin 2 = 8
θ sinθ =
3
5
4
5
7
4
3
4
]2,4[
ππθ ∈ ],2[2 ππθ ∈ 02cos <θ
8
12sin12cos 2 −=−−= θθ
8
1sin212cos 2 −=−= θθ
16
9sin 2 =θ
4
3sin =θ
sin cos 2α α− = α ∈ tanα
− 2
2
− 2
2
sin cos 2, 2 sin( ) 2, sin( ) 14 4
π πα α α α− = ∴ − = ∴ − =
3(0 ), , tan 14
πα π α α∈ ∴ = ∴ = − ,
2sin cos 2, (sin cos ) 2, sin 2 1,α α α α α− = ∴ − = ∴ = −
3 3(0, ), 2 (0,2 ), 2 , , tan 12 4
π πα π α π α α α∈ ∴ ∈ ∴ = ∴ = ∴ = −
θ 1
tanθ θ
1
5
1
4
1
3
1
2
4tan
1tan =+ θθ 4cossin
cossin
sin
cos
cos
sin 22
=+=+ θθ
θθ
θ
θ
θ
θ
4
2sin2
1
1 =
θ
2
12sin =θ
6
π
A. [ -2 ,2] B.[- , ] C.[-1,1 ] D.[- , ]
【答案】B
【解析】f(x)=sinx-cos(x+ ) ,
, 值域为[- , ].
【点评】利用三角恒等变换把 化成 的形式,利用 ,
求得 的值域.
10.【2012 高考真题上海理 16】在 中,若 ,则 的形状
是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【答案】C
【解析】根据正弦定理可知由 ,可知 ,在三角形中
,所以 为钝角,三角形为钝角三角形,选 C.
11.【2012 高考真题天津理 2】设 则“ ”是“ 为偶函
数”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分与不必要条件
【答案】A
【 解 析 】 函 数 若 为 偶 函 数 , 则 有 , 所 以 “ ” 是
“ 为偶函数”的充分不必要条件,选 A.
12.【2012 高考真题天津理 6】在 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 ,已知
8b=5c,C=2B,则 cosC=
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】因为 ,所以 ,根据正弦定理有 ,
,R∈ϕ 0=ϕ ))(cos()( Rxxxf ∈+= ϕ
ABC∆ cba ,,
25
7
25
7−
25
7±
25
24
3 3 3
2
3
2
6
π 3 1sin cos sin 3sin( )2 2 6x x x x
π= − + = −
[ ]sin( ) 1,16x
π− ∈ − ( )f x∴ 3 3
( )f x sin( )A xω ϕ+ [ ]sin( ) 1,1xω ϕ+ ∈ −
( )f x
ABC∆ CBA 222 sinsinsin <+ ABC∆
CBA 222 sinsinsin <+ 222 cba <+
02cos
222
<−+=
ab
cbaC C
)cos()( ϕ+= xxf Zkk ∈= ,πϕ 0=ϕ
)cos()( ϕ+= xxf
BC 2= BBBC cossin2)2sin(sin ==
B
b
C
c
sinsin
=
所 以 , 所 以 。 又
,所以 ,选 A.
13.【2012 高考真题全国卷理 7】已知α为第二象限角, ,则 cos2α=
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【 解 析 】 因 为 所 以 两 边 平 方 得 , 所 以
, 因 为 已 知 α 为 第 二 象 限 角 , 所 以 ,
, 所 以
= , 选 A.er
二、填空题
14.【2012 高考真题湖南理 15】函数 f(x)=sin ( )的导函数 的部分图像如
图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.
(1)若 ,点 P 的坐标为(0, ),则 ;
(2)若在曲线段 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为 .
5
8
sin
sin ==
B
C
b
c
5
4
5
8
2
1
sin2
sincos =×==
B
CB
1cos2)2cos(cos 2 −== BBC 25
7125
1621cos2cos 2 =−×=−= BC
3
3cossin =+ αα
5- 3
5- 9
5
9
5
3
3
3cossin =+ αα
3
1cossin21 =+ αα
03
2cossin2 <−=αα 0cos,0sin <> αα
3
15
3
5
3
21cossin21cossin ==+=−=− αααα
)sin)(cossin(cossincos2cos 22 ααααααα +−=−=
3
5
3
3
3
15 −=×−
xω ϕ+ ( )y f x′=
6
πϕ = 3 3
2
ω =
ABC
【答案】(1)3;(2)
【解析】(1) ,当 ,点 P 的坐标为(0, )时
;
(2)由图知 , ,设 的横坐标分别为 .
设 曲 线 段 与 x 轴 所 围 成 的 区 域 的 面 积 为 则
,由几何概型知该点在△ABC 内
的概率为 .
【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点 P 在图像上求 ,
(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.
15.【2012 高考真题湖北理 11】设△ 的内角 , , 所对的边分别为 , , . 若
,则角 .
【答案】
【解析】
16.【2012 高考真题北京理 11】在△ABC 中,若 =2,b+c=7,cosB= ,则 b=_______。
【答案】4
【 解 析 】 在 △ ABC 中 , 利 用 余 弦 定 理
,化简得: ,与题目条件 联立,可解得 .
17.【2012 高考真题安徽理 15】设 的内角 所对的边为 ;则下列命题正确
的是
ABC A B C a b c
( )( )a b c a b c ab+ − + + = C =
2 2 2
2 2 2
a =-a
-ab 1 2cos = ,2 2 2 3
a b c b
a b cC Cab ab
π
+ −
+ −= = − ∠ =
由( +b-c)(a+b-c)=ab, 得到
根据余弦定理 故
4
π
( )y f x′= cos( )xω ω ϕ= +
6
πϕ = 3 3
2
3 3cos , 36 2
πω ω= ∴ =
2
2 2
TAC
π
πω
ω= = = 1
2 2ABCS AC
πω= ⋅ =
,A B ,a b
ABC S
( ) ( ) sin( ) sin( ) 2b b
aa
S f x dx f x a bω ϕ ω ϕ′= = = + − + =∫
2
2 4
ABCSP S
π
π= = =
ω
3
2π
a 4
1−
c
bcbc
ac
bcaB 4
))((4
4
1
2cos
222 −++=−⇒−+=
c
bc
4
)(74 −+= 0478 =+− bc 7=+ cb
=
=
=
2
4
3
a
b
c
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
_____
①若 ;则 ②若 ;则
③若 ;则 ④若 ;则
⑤若 ;则
【答案】①②③
【命题立意】本题解三角形的知识,主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。
【解析】正确的是
①
②
③当 时, 与 矛盾
④取 满足 得:
⑤取 满足 得:
18.【2012 高考真题福建理 13】已知△ABC 得三边长成公比为 的等比数列,则其最大角的
余弦值为_________.
【答案】 .
【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识,难度适中.
【解析】设最小边长为 ,则另两边为 .
所以最大角余弦
19.【2012 高考真题重庆理 13】设 的内角 的对边分别为 ,且 ,
, 则
【答案】
【 解 析 】 因 为 , , 所 以 , ,
2ab c>
3C
π< 2a b c+ >
3C
π<
3 3 3a b c+ =
2C
π< ( ) 2a b c ab+ <
2C
π>
2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ <
3C
π>
_____
2 2 2
2 2 1cos 2 2 2 3
a b c ab abab c C Cab ab
π+ − −> ⇒ = > = ⇒ <
2 2 2 2 2 24( ) ( ) 12 cos 2 8 2 3
a b c a b a ba b c C Cab ab
π+ − + − ++ > ⇒ = > ≥ ⇒ <
2C
π≥ 2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b≥ + ⇒ ≥ + > + 3 3 3a b c+ =
2, 1a b c= = = ( ) 2a b c ab+ <
2C
π<
2, 1a b c= = = 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b+ <
3C
π<
2
4
2−
a aa 2,2
4
2
22
42cos
222
−=
⋅
−+=
aa
aaaα
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 5
3cos =A
13
5cos =B 3=b c =
5
14
5
3cos =A 13
5cos =B 5
4sin =A 13
12sin =B
,根据正弦定理 得 ,解得
.
20.【2012 高考真题上海理 4】若 是直线 的一个法向量,则 的倾斜角的大小
为 (结果用反三角函数值表示)。
【答案】
【解析】设倾斜角为 ,由题意可知,直线的一个方向向量为(1,2),则 ,
∴ = 。
21. 【 2012 高 考 真 题 全 国 卷 理 14 】 当 函 数 取 得 最 大 值 时 ,
x=___________.
【答案】
【 解 析 】 函 数 为 , 当 时 ,
,由三角函数图象可知,当 ,即 时取得最大值,所以
.
22.【2012 高考江苏 11】(5 分)设 为锐角,若 ,则 的值为
▲ .
【答案】 。
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。
【解析】∵ 为锐角,即 ,∴ 。
∵ ,∴ 。∴
。
∴ 。
∴
65
56
5
3
13
12
13
5
5
4)sin(sin =×+×=+= BAC C
c
B
b
sinsin
=
65
56
13
12
3 c=
5
14=c
)1,2(−=n l l
2arctan
α 2tan =α
α 2arctan
6
5π=x
)3sin(2cos3sin
π−=−= xxxy π20 <≤ x
3
5
33
πππ <−≤− x 23
ππ =−x 6
5π=x
6
5π=x
α 4cos 6 5
α π + = )122sin(
π+a
17 250
α 0 2< <
πα 2=6 6 2 6 3< <
π π π π πα + +
4cos 6 5
α π + =
3sin 6 5
α π + =
3 4 24sin 2 2sin cos =2 =3 6 6 5 5 25
α α απ π π + = + +
7cos 2 3 25
α π + =
sin(2 )=sin(2 )=sin 2 cos cos 2 sin12 3 4 3 4 3 4a a a a
π π π π π π π + + − + − +
。
三、解答题
23.【2012 高考真题新课标理 17】(本小题满分 12 分)
已知 分别为 三个内角 的对边,
(1)求 (2)若 , 的面积为 ;求 .
【答案】(1)由正弦定理得:
(2)
24.【2012 高考真题湖北理 17】(本小题满分 12 分)
已 知 向 量 , , 设 函 数
的图象关于直线 对称,其中 , 为常数,且 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期;
(Ⅱ)若 的图象经过点 ,求函数 在区间 上的取值范围.
【答案】(Ⅰ)因为
.
由直线 是 图象的一条对称轴,可得 ,
所以 ,即 .
又 , ,所以 ,故 .
所以 的最小正周期是 .
(Ⅱ)由 的图象过点 ,得 ,
即 ,即 .
(cos sin , sin )x x xω ω ω= −a ( cos sin , 2 3cos )x x xω ω ω= − −b
( )f x λ= ⋅ +a b ( )x∈R πx = ω λ 1( , 1)2
ω ∈
( )f x
( )y f x= π( ,0)4 ( )f x 3π[0, ]5
2 2( ) sin cos 2 3sin cosf x x x x xω ω ω ω λ= − + ⋅ +
cos2 3sin 2x xω ω λ= − + + π2sin(2 )6xω λ= − +
πx = ( )y f x= πsin(2 π ) 16
ω − = ±
π π2 π π ( )6 2k kω − = + ∈Z 1 ( )2 3
k kω = + ∈Z
1( , 1)2
ω ∈ k ∈Z 1k = 5
6
ω =
( )f x 6π
5
( )y f x= π( ,0)4
π( ) 04f =
5 π π π2sin( ) 2sin 26 2 6 4
λ = − × − = − = − 2λ = −
24 2 7 2 17= = 225 2 25 2 50
−
, ,a b c ABC∆ , ,A B C cos 3 sin 0a C a C b c+ − − =
A 2a = ABC∆ 3 ,b c
cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sina C a C b c A C A C B C+ − − = ⇔ − = +
sin cos 3sin sin sin( ) sin
13sin cos 1 sin( 30 ) 2
30 30 60
A C A C a C C
A A A
A A
°
° ° °
⇔ + = + +
⇔ − = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ =
1 sin 3 42S bc A bc= = ⇔ =
2 2 2 2 cos 4a b c bc A b c= + − ⇔ + =
故 ,
由 ,有 ,
所以 ,得 ,
故函数 在 上的取值范围为 .
25.【2012 高考真题安徽理 16】)(本小题满分 12 分)
设函数 。
(I)求函数 的最小正周期;
( II ) 设 函 数 对 任 意 , 有 , 且 当 时 ,
,求函数 在 上的解析式。
【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段
函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力。
【解析】
,
(I)函数 的最小正周期
(2)当 时,
当 时,
当 时,
得函数 在 上的解析式为 。
26.【2012 高考真题四川理 18】(本小题满分 12 分)
函数 在一个周期内的图象如图所示, 为图
象的最高点, 、 为图象与 轴的交点,且 为正三角形。
(Ⅰ)求 的值及函数 的值域;
5 π( ) 2sin( ) 23 6f x x= − −
3π0 5x≤ ≤ π 5 π 5π
6 3 6 6x− ≤ − ≤
1 5 πsin( ) 12 3 6x− ≤ − ≤ 5 π1 2 2sin( ) 2 2 23 6x− − ≤ − − ≤ −
( )f x 3π[0, ]5 [ 1 2, 2 2]− − −
22( ) cos(2 ) sin2 4f x x x
π= + +
( )f x
( )g x x R∈ ( ) ( )2g x g x
π+ = [0, ]2x
π∈
1( ) ( )2g x f x= − ( )g x [ ,0]π−
22 1 1 1( ) cos(2 ) sin cos2 sin 2 (1 cos2 )2 4 2 2 2f x x x x x x
π= + + = − + −
1 1 sin 22 2 x= −
( )f x 2
2T
π π= =
[0, ]2x
π∈ 1 1( ) ( ) sin 22 2g x f x x= − =
[ ,0]2x
π∈ − ( ) [0, ]2 2x
π π+ ∈ 1 1( ) ( ) sin 2( ) sin 22 2 2 2g x g x x x
π π= + = + = −
[ , )2x
ππ∈ − − ( ) [0, )2x
ππ+ ∈ 1 1( ) ( ) sin 2( ) sin 22 2g x g x x xπ π= + = + =
( )g x [ ,0]π−
1 sin 2 ( 0)2 2( ) 1 sin 2 ( )2 2
x x
g x
x x
π
ππ
− − ≤ ≤=
− ≤ <
2( ) 6cos 3 cos 3( 0)2
xf x x
ω ω ω= + − > A
B C x ABC∆
ω ( )f x
(Ⅱ)若 ,且 ,求 的值。
【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍角
公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想.
27.【2012 高考真题陕西理 16】(本小题满分 12 分)
函数 ( )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间
的距离为 ,
(1)求函数 的解析式;
(2)设 ,则 ,求 的值。
【答案】
0
8 3( ) 5f x = 0
10 2( , )3 3x ∈ − 0( 1)f x +
( ) sin( ) 16f x A x
πω= − + 0, 0A ω> >
2
π
( )f x
(0, )2
πα ∈ ( ) 22f
α = α
28.【2012 高考真题广东理 16】(本小题满分 12 分)
已知函数 ,(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π.
(1)求ω的值;
(2)设 , , ,求 cos(α+β)的
值.
【答案】本题考查三角函数求值,三角恒等变换,利用诱导公式化简三角函数式与两角和的
余弦公式求值,难度较低。
【解析】
(1)
29.【2012 高考真题山东理 17】(本小题满分 12 分)
已知向量 ,函数 的最大值为
6.
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)将函数 的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来
)6cos(2)(
πω += xxf
]2,0[, πβα ∈
5
6)3
55( −=+ παf 17
16)6
55( =− πβf
05
1,210 >=== ωω
ππT
(sin ,1), ( 3 cos , cos2 )( 0)3
Am x n A x x A= = > ( )f x m n= ⋅
A
( )y f x=
12
π
的 倍,纵坐标不变,得到函数 的图象.求 在 上的值域.
【答案】
解 析 : ( Ⅰ )
,
则 ;
(Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移 个单位得到函数 的图象,
再 将 所 得 图 象 各 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 倍 , 纵 坐 标 不 变 , 得 到 函 数
.
当 时, , .
故函数 g(x)在 上的值域为 .
另解:由 可得 ,令 ,
则 ,而 ,则 ,
于是 ,
故 ,即函数 g(x)在 上的值域为 .
30.【2012 高考真题北京理 15】(本小题共 13 分)已知函数 。
(1)求 的定义域及最小正周期;
(2)求 的单调递减区间。
【答案】
+=+=+=⋅=
62sin2cos22sin2
32cos2sincos3)(
π
xAxAxAxAxxAnmxf
6=A
12
π
]6)12(2sin[6
ππ ++= xy
1
2
)34sin(6)(
π+= xxg
]24
5,0[
π∈x ]1,2
1[)34sin(],6
7,3[34 −∈+∈+ ππππ
xx ]6,3[)( −∈xg
]6,3[−
)34sin(6)(
π+= xxg )34cos(24)(
π+=′ xxg 0)( =′ xg
)(234 Zkkx ∈+=+ πππ
]24
5,0[
π∈x 24
π=x
36
7sin6)24
5(,62sin6)24(,333sin6)0( −====== πππππ
ggg
6)(3 ≤≤− xg ]6,3[−
1
2 ( )y g x= ( )g x 5[0, ]24
π
x
xxxxf sin
2sin)cos(sin)(
−=
)(xf
)(xf
31.【2012 高考真题重庆理 18】(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分)
设 ,其中
(Ⅰ)求函数 的值域
(Ⅱ)若 在区间 上为增函数,求 的最大值.
【答案】
32.【2012 高考真题浙江理 18】(本小题满分 14 分)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别
为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= cosC.
(Ⅰ)求 tanC 的值;
)2cos(sin)6cos(4)( xxxxxf +−−= ωωπω .0>ω
)(xfy =
)(xfy =
−
2,2
3 πx ω
∆
2
3 5
(Ⅱ)若 a= ,求 ABC 的面积.
【答案】本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= ,
又 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA
= cosC+ sinC.
整理得:tanC= .
(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= .
又由正弦定理知: ,
故 . (1)
对角 A 运用余弦定理:cosA= . (2)
解(1) (2)得: or b= (舍去).
∴ ABC 的面积为:S= .
33.【2012 高考真题辽宁理 17】(本小题满分 12 分)
在 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 的值。
【答案】
2 ∆
2
3
2 51 cos 3A− =
5
5
3
2
3
5
5
6
sin sin
a c
A C
=
3c =
2 2 2 2
2 3
b c a
bc
+ − =
3b = 3
3
∆ 5
2
ABC∆
cos B
sin sinA C
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列
的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的
关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。
34.【2012 高考真题江西理 18】(本小题满分 12 分)
在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a , b , c 。 已 知 ,
。
(1)求证:
(2)若 ,求△ABC 的面积。
【答案】
【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的
应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边
长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,
辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来
年需要注意第二种题型的考查.
35.【2012 高考真题全国卷理 17】(本小题满分 10 分)(注意:在试卷上作答无效)
三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求 c.
【答案】
a= 2
36.【2012 高考真题天津理 15】(本小题满分 13 分)
已知函数
(Ⅰ)求函数 的最小正周期;
(Ⅱ)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】
37.【2012 高考江苏 15】(14 分)在 中,已知 .
(1)求证: ;
(2)若 求 A 的值.
【 答 案 】 解 : ( 1 ) ∵ , ∴ , 即
。
由正弦定理,得 ,∴ 。
又∵ ,∴ 。∴ 即 。
.,1cos2)32sin()32sin()( 2 Rxxxxxf ∈−+−++= ππ
)(xf
)(xf ]4,4[
ππ−
ABC∆ 3AB AC BA BC=
tan 3tanB A=
5cos 5C = ,
3AB AC BA BC=
cos =3 cosAB AC A BA BC B
cos =3 cosAC A BC B
=sin sin
AC BC
B A sin cos =3sin cosB A A B
0< A B <π+ cos 0 cos 0A> B >, sin sin=3cos cos
B A
B A tan 3tanB A=
(2)∵ ,∴ 。∴ 。
∴ ,即 。∴ 。
由 (1) ,得 ,解得 。
∵ ,∴ 。∴ 。
【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。
【解析】(1)先将 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式
证明。
(2)由 可求 ,由三角形三角关系,得到 ,从而
根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。
5cos 05C tan =1A = 4A
π
3AB AC BA BC=
5cos 5C = , tanC ( )tan A Bπ − +
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