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- 2021-06-21 发布
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2012高考真题分类汇编:三角函数
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理5】设是方程的两个根,则的值为
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3
【答案】A
【解析】因为是方程的两个根,所以,,所以,选A.
2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是
【答案】A
【解析】根据题设条件得到变化后的函数为,结合函数图象可知选项A符合要求。故选A.
3.【2012高考真题新课标理9】已知,函数在上单调递减.则的取值范围是( )
【答案】A
【解析】函数的导数为,要使函数
在上单调递减,则有恒成立,
则,即,所以,当时,,又,所以有,解得,即,选A.
4.【2012高考真题四川理4】如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则( )
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】,
,
,
由正弦定理得,
所以.
5.【2012高考真题陕西理9】在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由余弦定理知,故选C.
6.【2012高考真题山东理7】若,,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D.
7.【2012高考真题辽宁理7】已知,(0,π),则=
(A) 1 (B) (C) (D) 1
【答案】A
【解析一】
,故选A
【解析二】
,故选A
【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中。
8.【2012高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=
A. B. C. D.
【答案】D
【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。
【解析】由得, ,即,所以,选D.
9.【2012高考真题湖南理6】函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为
A. [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]
【答案】B
【解析】f(x)=sinx-cos(x+),
,值域为[-,].
【点评】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域.
10.【2012高考真题上海理16】在中,若,则的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【答案】C
【解析】根据正弦定理可知由,可知,在三角形中,所以为钝角,三角形为钝角三角形,选C.
11.【2012高考真题天津理2】设则“”是“为偶函数”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分与不必要条件
【答案】A
【解析】函数若为偶函数,则有,所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件,选A.
12.【2012高考真题天津理6】在中,内角A,B,C所对的边分别是,已知8b=5c,C=2B,则cosC=
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】因为,所以,根据正弦定理有
,所以,所以。又,所以,选A.
13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角,,则cos2α=
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】因为所以两边平方得,所以,因为已知α为第二象限角,所以,,所以=,选A.er二、填空题
14.【2012高考真题湖南理15】函数f(x)=sin ()的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.
(1)若,点P的坐标为(0,),则 ;
(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为 .
【答案】(1)3;(2)
【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时
;
(2)由图知,,设的横坐标分别为.
设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则,由几何概型知该点在△ABC内的概率为.
【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点P在图像上求,
(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.
15.【2012高考真题湖北理11】设△的内角,,所对的边分别为,,. 若,则角 .
【答案】
【解析】
16.【2012高考真题北京理11】在△ABC中,若=2,b+c=7,cosB=,则b=_______。
【答案】4
【解析】在△ABC中,利用余弦定理 ,化简得:,与题目条件联立,可解得.
17.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为;则下列命题正确的是
①若;则 ②若;则
③若;则 ④若;则
⑤若;则
【答案】①②③
【命题立意】本题解三角形的知识,主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。
【解析】正确的是
①
②
③当时,与矛盾
④取满足得:
⑤取满足得:
18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
【答案】.
【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识,难度适中.
【解析】设最小边长为,则另两边为.
所以最大角余弦
19.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为,且,,则
【答案】
【解析】因为,,所以,,
,根据正弦定理得,解得.
20.【2012高考真题上海理4】若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小
为 (结果用反三角函数值表示)。
【答案】
【解析】设倾斜角为,由题意可知,直线的一个方向向量为(1,2),则,
∴=。
21.【2012高考真题全国卷理14】当函数取得最大值时,x=___________.
【答案】
【解析】函数为,当时,,由三角函数图象可知,当,即时取得最大值,所以.
22.【2012高考江苏11】(5分)设为锐角,若,则的值为 ▲ .
【答案】。
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。
【解析】∵为锐角,即,∴。
∵,∴。∴。
∴。
∴
。
三、解答题
23.【2012高考真题新课标理17】(本小题满分12分)
已知分别为三个内角的对边,
(1)求 (2)若,的面积为;求.
【答案】(1)由正弦定理得:
(2)
24.【2012高考真题湖北理17】(本小题满分12分)
已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.
【答案】(Ⅰ)因为
.
由直线是图象的一条对称轴,可得,
所以,即.
又,,所以,故.
所以的最小正周期是.
(Ⅱ)由的图象过点,得,
即,即.
故,
由,有,
所以,得,
故函数在上的取值范围为.
25.【2012高考真题安徽理16】)(本小题满分12分)
设函数。
(I)求函数的最小正周期;
(II)设函数对任意,有,且当时, ,求函数在上的解析式。
【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力。
【解析】
,
(I)函数的最小正周期
(2)当时,
当时,
当时,
得函数在上的解析式为。
26.【2012高考真题四川理18】(本小题满分12分)
函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形。
(Ⅰ)求的值及函数的值域;
(Ⅱ)若,且,求的值。
【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍角公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想.
27.【2012高考真题陕西理16】(本小题满分12分)
函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值。
【答案】
28.【2012高考真题广东理16】(本小题满分12分)
已知函数,(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设,,,求cos(α+β)的值.
【答案】本题考查三角函数求值,三角恒等变换,利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值,难度较低。
【解析】
(1)
29.【2012高考真题山东理17】(本小题满分12分)
已知向量,函数的最大值为6.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.
【答案】
解析:(Ⅰ),
则;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,
再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.
当时,,.
故函数g(x)在上的值域为.
另解:由可得,令,
则,而,则,
于是,
故,即函数g(x)在上的值域为.
30.【2012高考真题北京理15】(本小题共13分)已知函数。
(1)求的定义域及最小正周期;
(2)求的单调递减区间。
【答案】
31.【2012高考真题重庆理18】(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)
设,其中
(Ⅰ)求函数 的值域
(Ⅱ)若在区间上为增函数,求 的最大值.
【答案】
32.【2012高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.
(Ⅰ)求tanC的值;
(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.
【答案】本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(Ⅰ)∵cosA=>0,∴sinA=,
又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA
=cosC+sinC.
整理得:tanC=.
(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=.
又由正弦定理知:,
故. (1)
对角A运用余弦定理:cosA=. (2)
解(1) (2)得: or b=(舍去).
∴ABC的面积为:S=.
33.【2012高考真题辽宁理17】(本小题满分12分)
在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c。角A,B,C成等差数列。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值。
【答案】
【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。
34.【2012高考真题江西理18】(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知,。
(1)求证:
(2)若,求△ABC的面积。
【答案】
【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.
35.【2012高考真题全国卷理17】(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效)
三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c.
【答案】
36.【2012高考真题天津理15】(本小题满分13分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】
37.【2012高考江苏15】(14分)在中,已知.
(1)求证:;
(2)若求A的值.
【答案】解:(1)∵,∴,即。
由正弦定理,得,∴。
又∵,∴。∴即。
(2)∵ ,∴。∴。
∴,即。∴。
由 (1) ,得,解得。
∵,∴。∴。
【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。
【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
(2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。
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