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  • 2021-06-21 发布

2012年高考真题汇编-理科数学(解析版)5:三角函数

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‎2012高考真题分类汇编:三角函数 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理5】设是方程的两个根,则的值为 ‎(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎【解析】因为是方程的两个根,所以,,所以,选A.‎ ‎2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是 ‎【答案】A ‎【解析】根据题设条件得到变化后的函数为,结合函数图象可知选项A符合要求。故选A.‎ ‎3.【2012高考真题新课标理9】已知,函数在上单调递减.则的取值范围是( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数为,要使函数 在上单调递减,则有恒成立,‎ 则,即,所以,当时,,又,所以有,解得,即,选A.‎ ‎4.【2012高考真题四川理4】如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,‎ ‎,‎ ‎,‎ 由正弦定理得,‎ 所以.‎ ‎5.【2012高考真题陕西理9】在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由余弦定理知,故选C.‎ ‎6.【2012高考真题山东理7】若,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D.‎ ‎7.【2012高考真题辽宁理7】已知,(0,π),则=‎ ‎(A) 1 (B) (C) (D) 1‎ ‎【答案】A ‎【解析一】‎ ‎,故选A ‎【解析二】‎ ‎,故选A ‎【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中。‎ ‎8.【2012高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。‎ ‎【解析】由得, ,即,所以,选D.‎ ‎9.【2012高考真题湖南理6】函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为 ‎ A. [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]‎ ‎【答案】B ‎【解析】f(x)=sinx-cos(x+),‎ ‎,值域为[-,].‎ ‎【点评】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域.‎ ‎10.【2012高考真题上海理16】在中,若,则的形状是( )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦定理可知由,可知,在三角形中,所以为钝角,三角形为钝角三角形,选C.‎ ‎11.【2012高考真题天津理2】设则“”是“为偶函数”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分与不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】函数若为偶函数,则有,所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件,选A.‎ ‎12.【2012高考真题天津理6】在中,内角A,B,C所对的边分别是,已知8b=‎5c,C=2B,则cosC=‎ ‎(A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以,根据正弦定理有 ‎,所以,所以。又,所以,选A.‎ ‎13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角,,则cos2α=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为所以两边平方得,所以,因为已知α为第二象限角,所以,,所以=,选A.er二、填空题 ‎14.【2012高考真题湖南理15】函数f(x)=sin ()的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.‎ ‎(1)若,点P的坐标为(0,),则 ;‎ ‎(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为 .‎ ‎【答案】(1)3;(2)‎ ‎【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时 ‎;‎ ‎(2)由图知,,设的横坐标分别为.‎ 设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则,由几何概型知该点在△ABC内的概率为.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点P在图像上求,‎ ‎(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.‎ ‎15.【2012高考真题湖北理11】设△的内角,,所对的边分别为,,. 若,则角 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎16.【2012高考真题北京理11】在△ABC中,若=2,b+c=7,cosB=,则b=_______。‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】在△ABC中,利用余弦定理 ,化简得:,与题目条件联立,可解得.‎ ‎17.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为;则下列命题正确的是 ①若;则 ②若;则 ‎ ③若;则 ④若;则 ⑤若;则 ‎【答案】①②③‎ ‎【命题立意】本题解三角形的知识,主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。‎ ‎【解析】正确的是 ①‎ ②‎ ③当时,与矛盾 ④取满足得:‎ ⑤取满足得:‎ ‎18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识,难度适中.‎ ‎【解析】设最小边长为,则另两边为.‎ 所以最大角余弦 ‎19.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为,且,,则 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,,所以,,‎ ‎,根据正弦定理得,解得.‎ ‎20.【2012高考真题上海理4】若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小 为 (结果用反三角函数值表示)。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设倾斜角为,由题意可知,直线的一个方向向量为(1,2),则,‎ ‎∴=。‎ ‎21.【2012高考真题全国卷理14】当函数取得最大值时,x=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数为,当时,,由三角函数图象可知,当,即时取得最大值,所以.‎ ‎22.【2012高考江苏11】(5分)设为锐角,若,则的值为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。‎ ‎【解析】∵为锐角,即,∴。‎ ‎ ∵,∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ 三、解答题 ‎23.【2012高考真题新课标理17】(本小题满分12分)‎ 已知分别为三个内角的对边,‎ ‎(1)求 (2)若,的面积为;求.‎ ‎【答案】(1)由正弦定理得:‎ ‎ ‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎24.【2012高考真题湖北理17】(本小题满分12分)‎ 已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且. ‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)因为 ‎. ‎ 由直线是图象的一条对称轴,可得, ‎ 所以,即. ‎ 又,,所以,故. ‎ 所以的最小正周期是. ‎ ‎(Ⅱ)由的图象过点,得,‎ 即,即. ‎ 故, ‎ 由,有,‎ 所以,得,‎ 故函数在上的取值范围为. ‎ ‎25.【2012高考真题安徽理16】)(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数。‎ ‎(I)求函数的最小正周期;‎ ‎(II)设函数对任意,有,且当时, ,求函数在上的解析式。‎ ‎【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力。‎ ‎【解析】 ‎ ‎,‎ ‎(I)函数的最小正周期 ‎(2)当时,‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 得函数在上的解析式为。‎ ‎26.【2012高考真题四川理18】(本小题满分12分) ‎ ‎ 函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形。‎ ‎(Ⅰ)求的值及函数的值域;‎ ‎(Ⅱ)若,且,求的值。‎ ‎【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍角公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想.‎ ‎ ‎ ‎27.【2012高考真题陕西理16】(本小题满分12分)‎ 函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)设,则,求的值。‎ ‎ 【答案】‎ ‎28.【2012高考真题广东理16】(本小题满分12分)‎ 已知函数,(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)设,,,求cos(α+β)的值.‎ ‎【答案】本题考查三角函数求值,三角恒等变换,利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值,难度较低。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)‎ ‎29.【2012高考真题山东理17】(本小题满分12分)‎ 已知向量,函数的最大值为6.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)将函数的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.‎ ‎ 【答案】‎ 解析:(Ⅰ),‎ 则;‎ ‎(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,‎ 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.‎ 当时,,.‎ 故函数g(x)在上的值域为.‎ 另解:由可得,令, ‎ 则,而,则,‎ 于是,‎ 故,即函数g(x)在上的值域为.‎ ‎30.【2012高考真题北京理15】(本小题共13分)已知函数。‎ ‎(1)求的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求的单调递减区间。‎ ‎【答案】‎ ‎31.【2012高考真题重庆理18】(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)‎ 设,其中 ‎(Ⅰ)求函数 的值域 ‎(Ⅱ)若在区间上为增函数,求 的最大值.‎ ‎【答案】‎ ‎32.【2012高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.‎ ‎(Ⅰ)求tanC的值;‎ ‎(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.‎ ‎【答案】本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。‎ ‎(Ⅰ)∵cosA=>0,∴sinA=,‎ 又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA ‎=cosC+sinC.‎ 整理得:tanC=.‎ ‎(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=.‎ 又由正弦定理知:,‎ 故. (1)‎ 对角A运用余弦定理:cosA=. (2)‎ 解(1) (2)得: or b=(舍去).‎ ‎∴ABC的面积为:S=.‎ ‎33.【2012高考真题辽宁理17】(本小题满分12分)‎ ‎ 在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c。角A,B,C成等差数列。‎ ‎ (Ⅰ)求的值;‎ ‎ (Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。‎ ‎34.【2012高考真题江西理18】(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知,。‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)若,求△ABC的面积。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.‎ ‎35.【2012高考真题全国卷理17】(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效)‎ 三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=‎2c,求c.‎ ‎【答案】‎ ‎36.【2012高考真题天津理15】(本小题满分13分)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎37.【2012高考江苏15】(14分)在中,已知.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若求A的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵,∴,即。‎ ‎ 由正弦定理,得,∴。‎ ‎ 又∵,∴。∴即。‎ ‎ (2)∵ ,∴。∴。‎ ‎ ∴,即。∴。‎ ‎ 由 (1) ,得,解得。‎ ‎ ∵,∴。∴。‎ ‎【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。‎ ‎【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ (2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。‎ ‎ ‎