2015宁德5月份质检理数试卷 15页

‎2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查 数学（理科）试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），第II卷第（21）题为选考题，其它题为必考题．满分150分，考试时间120分钟．‎ 注意事项:‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 锥体体积公式 其中为底面面积，为高 球的表面积、体积公式 ‎，‎ 其中为球的半径 样本数据，，，的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式 其中为底面面积，为高 ‎ ‎ 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知向量，．若，则实数的值为 ‎ A． B． C．2 D．6‎ ‎2．若集合，集合，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若等比数列的第项是二项式展开式中的常数项，则 ‎ A． B． C． D． ‎ 开始 ‎ 输入 否 是 结束 输出 ‎4．若函数是定义在上的偶函数，‎ 则该函数的最大值为 A．5 B．‎4 C．3 D．2‎ ‎5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．‎ 若该程序运行后输出的结果不大于16，则输入 的整数的最大值为 A．3 B．‎4 C．5 D．6 ‎ ‎6．已知某市第一、二次的数学测试成绩和分别 服从正态分布和，‎ 则以下结论正确的是 A．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定 B．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定 C．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定 D．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定 ‎7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线轴交双曲线的渐近线于点．若以为直径的圆过点，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每天1人，每人4天．‎ 甲说：我在1日和3日都有值班; ‎ 乙说：我在8日和9日都有值班；‎ 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．‎ 若他们所述均正确，据此可推断丙必定值班的日期是 A． 2日和5日 B． 5日和6日 C． 6日和11日 D． 2日和11日 侧视图 ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ 正视图 ‎9．若关于的方程有三个实根 ‎，，，且满足，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎10．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体 体积的所有可能取值的集合是 ‎ A． B． C． D． ‎ 第II卷 （非选择题共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎11．复数（为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________．‎ ‎12．设是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有两个不等实根的概率 为 ．‎ ‎13．若关于x，y的不等式组 表示的平面区域是一个直角三角形，则实数k的值为 ．‎ ‎14．若在圆上有且仅有两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15．已知面积为的中，．若点为边上的一点，且满足，则当取最小时，的长为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．(本小题满分13分)‎ 将射线绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点．‎ ‎（Ⅰ）求点的坐标； ‎ ‎（Ⅱ）若向量，，求函数　的值域．‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ A１‎ O A By Car De B１‎ Ｃ１‎ D１‎ Oar 如图，在四棱柱中，底面是矩形．，，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角 的大小为？若存在，求的长；‎ 若不存在，请说明理由．‎ ‎18． (本小题满分13分)‎ 某校为选拔参加“CCTV1中国谜语大会”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成频率分布直方图(如下图所示)．‎ ‎（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪一队？‎ ‎19． (本小题满分13分)‎ 如图，已知点，直线，动直线于，连结，作线段的垂直平分线交直线于点．设点的轨迹为曲线． ‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程;‎ ‎（Ⅱ）过点作曲线的两条切线，切点分别为，‎ ‎（ⅰ）求证:直线过定点;‎ P x y O F H ‎•‎ x y O ‎（ⅱ）若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．(本小题满分14分)‎ 已知函数在点处的切线斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）设，若对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知数列满足，，‎ 求证：当且时，．‎ ‎（为自然对数的底数，)‎ ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 在平面直角坐标系中，矩阵对应的变换将平面上任意一点变换为点．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵； ‎ ‎（Ⅱ）求曲线在矩阵的变换作用后得到的曲线的方程．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与轴的非负半轴重合，直线的参数方程为为参数, 圆的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆上的点到直线的最大距离为，求的值．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数（）的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若正实数满足，求证：.‎ ‎2015年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．‎ ‎1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B 10．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．‎ ‎11． 12． 13．或 14． 15．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，满分13分．‎ 解: （Ⅰ）设射线的倾斜角为，则，．……………1分 ‎∴，……………………………………………4分 ‎∴由解得……………………………………………6分 ‎∴点的坐标为．…………………………………………………………7分 ‎（Ⅱ）……………………………………8分 ‎…………………………………………………10分 ‎ 由，可得，‎ ‎∴，………………………………………………………12分 ‎∴函数的值域为．……………………………………………13分 ‎17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分．‎ ‎（Ⅰ）证明：在平行四边形中，，且，‎ ‎∴为等边三角形．‎ 又为的中点，‎ ‎∴．…………………………………………2分 ‎∵底面是矩形，‎ ‎∴．‎ 又，且，‎ ‎∴平面．…………………………………………4分 ‎∵平面,‎ ‎∴，…………………………………………5分 又，‎ ‎∴平面．…………………………………………6分 z O x y A By Car De B１‎ Ｃ１‎ A１‎ Oar Par ‎（Ⅱ）解：过作，由四边形为矩形，‎ D１‎ ‎∴以为原点，建立空间直角坐标系（如图），‎ 则，，……………………… 7分 设，‎ 平面的法向量为=，‎ ‎∵，，‎ 且 取，得=．……………………………9分 由（Ⅰ）知，平面，‎ 故可得平面的一个法向量为=．………………………10分 由题意得，……………………12分 解得或（舍去）．‎ ‎∴当的长为时，二面角的大小为．………………………13分 ‎18．本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、‎ 运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．‎ 解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为，由频率分布直方图得，‎ ‎ ，‎ 解得：．……………………………2分 ‎∴测试成绩中位数为．‎ 进入第二阶段比赛的学生人数为人．……………4分 ‎（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，‎ 则，……………………………6分 ‎∴．……………………………7分 ‎∴最后抢答阶段甲队得分的期望为，………………………8分 ‎∵，，‎ ‎，， ‎ ‎∴， …………………………………………11分 ‎∴最后抢答阶段乙队得分的期望为．……………………12分 ‎∵，‎ ‎∴支持票投给甲队．．……………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分 ‎（Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为，‎ 则所有可能的取值为，，，．‎ ‎， ，‎ ‎，．‎ ‎∴．……………………………8分 设最后抢答阶段乙队获得的分数为，则所有可能的取值为，，，．‎ ‎∵，，‎ ‎，，‎ ‎∴，……………………………12分 ‎∵， ‎ ‎∴支持票投给甲队．…………………………………………13分 ‎19．本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分13分．‎ 解法一: （Ⅰ）由题意可知，， ‎ ‎∴点到点的距离与到直线的距离相等，……………………2分 ‎∴点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，…………3分 ‎∴点的轨迹方程为．…………………………………………4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）证明:设，切点．‎ 由，得．‎ ‎∴直线，…………………………………………5分 又过点，，‎ ‎∴， ‎ ‎∴，即．……………………………………6分 同理，‎ ‎∴直线的方程为，…………………………………………7分 ‎∴直线过定点．…………………………………………8分 ‎（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）得,直线的方程为.‎ 设，‎ 与方程联立，求得．……………………………………9分 设，联立与，得 ‎，由根与系数的关系，得 ‎．…………………………………………10分 ‎∵同号，‎ ‎∴‎ ‎…………………………………………11分 ‎，‎ ‎∴为定值，定值为2．…………………………………………13分 解法二: （Ⅰ）设，由题意可知， ， ‎ ‎∴， ………………………………2分 ‎∴化简得， ‎ ‎∴点的轨迹方程为．…………………………………………4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）证明:设切点，直线的方程为．‎ 联立与得，由根与系数的关系，得 ‎．…………………………………………5分 由，得．‎ ‎∴直线，又，‎ 所以．‎ 同理．…………………………………………6分 联立两直线方程，解得，‎ ‎∴，即直线过定点．…………………………………………8分 ‎（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ），解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线的方程为．‎ 以下同解法一．‎ ‎20．本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．‎ 解: （Ⅰ），…………………1分 由，得．…………………………………………3分 ‎（Ⅱ）．‎ 由，得，．‎ 当时，该不等式成立; …………………………………………4分 当，不等式对恒成立， ‎ 即对恒成立，．…………………………5分 设，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴在单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴在单调递增， …………………………………………………7分 ‎∴，‎ ‎∴．‎ 综上所述,的取值范围是．……………………………………………… 8分 ‎（Ⅲ）∵，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴时，，对也成立，‎ ‎∴．……………………………10分 ‎∵当时，，‎ ‎∴在上单调递增，．‎ 又∵表示长为，宽为的小矩形的面积，‎ ‎∴，‎ ‎∴． 12分 又由（Ⅱ），取，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．…………………………………14分 ‎21．（1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）设点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，‎ 则即，‎ ‎∴．…………………………………………1分 又，‎ ‎∴．…………………………………………3分 ‎（Ⅱ）设点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，‎ 则，‎ 即…………………………………………5分 ‎∴代入，得，‎ 即变换后的曲线方程为．…………………………7分 ‎（2）本题主要考查直线的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）直线的普通方程为，………………………………………2分 圆的直角坐标方程为．………………………… 4分 ‎（Ⅱ）∵圆心，半径为，………………………………………5分 圆心到直线的距离为，……………………6分 又∵圆上的点到直线的最大距离为3，即，‎ ‎∴．………………………………………7分 ‎(3)本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）∵，…………………………2分 又，‎ ‎,即．…………………………………4分 ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎∴．.…………………………………………7分