专题56 定点、定值、探索性问题-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 40页

专题56定点、定值、探索性问题 最新考纲 ‎1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．‎ ‎2.了解圆锥曲线的简单应用．‎ ‎3.理解数形结合的思想.‎ 重点难点突破 ‎【题型一】定点问题 ‎【典型例题】‎ 已知双曲线T1：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线T1的渐近线的距离为．已知点E（2，0）为抛物线T2内一定点，过E作两条直线交抛物线T2于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线T2的方程；‎ ‎（Ⅱ）若kAB+kCD＝2，证明：直线MN过定点．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：双曲线T1的离心率为，即，则，得到．‎ ‎∴渐近线为y＝±x，‎ 又抛物线T2：y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），‎ 则焦点到y＝x的距离d，‎ 解得p＝1．‎ 可得抛物线的方程为y2＝2x．‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意知，kAB+kCD＝2，‎ 不妨设AB的斜率kAB＝k，则CD的斜率kCD＝2﹣k，‎ ‎∴AB的直线方程是：y＝k（x﹣2），CD的直线方程是y＝（2﹣k）（x﹣2），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2＝0，‎ 则x1+x2，x1x2＝4，‎ ‎∴y1+y2＝k（x1﹣2）+k（x2﹣2）＝k（4）﹣4k，‎ ‎∵M是AB的中点，∴点M（2，），‎ 同理可得，点N（2，），‎ ‎∴直线MN的方程是：y•（x﹣2），‎ 化简得，y，‎ ‎∴直线MN过定点（2，）． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与椭圆C2：1有一个相同的焦点，过点A ‎（2，0）且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M．‎ ‎（1）求抛物线C1的方程；‎ ‎（2）试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为（1，0），所以p＝2，‎ 故抛物线的方程为y2＝4x，‎ ‎（2）因为点P关于x轴的对称点为M，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，﹣y1），‎ 设直线PQ的方程为y＝k（x﹣2），‎ 代入y2＝4x得k2x2﹣4（k2+1）x+4k2＝0，‎ ‎∴x1x2＝4，‎ 设直线MQ的方程无y＝mx+n，‎ 代入y2＝4x得m2x2﹣（2mn﹣4）x+n2＝0，‎ ‎∴x1x24，‎ ‎∵x1＞0，x2＞0，‎ ‎∴2，即n＝‎2m，‎ ‎∴直线MQ的方程为y＝m（x+2），故过定点（﹣2，0）． ‎ 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 ‎(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．‎ ‎(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．‎ ‎【题型二】定值问题 ‎【典型例题】‎ 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMN•kOP（O为坐标原点）是否为定值？请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），∴椭圆C的半焦距为c＝1，‎ 又椭圆的离心率e，∴a＝2，则b．‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx+m，‎ 联立，得（3+4k2）x2+8kmx+‎4m2‎﹣12＝0．‎ ‎△＞0即只需n2＜4k2+3．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则，，‎ ‎∴P（），‎ ‎∴．‎ ‎∴． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与椭圆C：有相同的焦点F，且两曲线相交于点，过F作斜率为k（k≠0）的动直线l，交椭圆C于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E和椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若A为椭圆C的左顶点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：‎ 为定值，并求出该定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）两曲线相交于点，‎ 可得2p•，即p＝2，‎ 则抛物线的方程为y2＝4x；‎ 由两曲线有相同的焦点F（1，0），‎ 由椭圆的定义可得‎2a4，‎ 即有a＝2，b，‎ 则椭圆方程为1；‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意可得A（﹣2，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 设直线l的方程为y＝k（x﹣1），‎ 联立椭圆方程可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，‎ 可得x1+x2，x1x2，‎ 再由k（）‎ ‎4．‎ 可得为定值4． ‎ 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．‎ ‎(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．‎ ‎(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．‎ ‎【题型三】探索性问题 ‎【典型例题】‎ 已知圆A：x2+y2+2x﹣15＝0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP＝∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2＝16，圆心A（﹣1，0），由已知得|NM|＝|NB|，又|NM|+|NB|＝4，所以|NA|+|NB|＝4＞|AB|＝2，所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程C：，则‎2a＝4，‎2c＝2，‎ 所以a2＝4，b2＝3，所以曲线C：．‎ ‎（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y＝k（x﹣1）与椭圆方程消y得 ‎（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）＝0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则由韦达定理得①，②，‎ 由题设知OR平分∠PRQ⇔直线RP与直RQ的倾斜角互补，即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，‎ 即，即x1y2+x2y1﹣t（y1+y2）＝0，‎ 即2kx1x2﹣（1+t）k（x1+x2）+2tk＝0③，‎ 把①、②代入③并化简得，即（t﹣4）k＝0④，‎ 所以当k变化时④成立，只要t＝4即可，‎ 所以存在定点R（4，0）满足题设． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由得a＝‎2c，|AF1|＝2，|AF2|＝‎2a﹣2，‎ 由余弦定理得，，‎ 解得c＝1，a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），‎ 由F2（1，0），设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），‎ 由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，‎ 由韦达定理得，故，‎ 又点N在直线PQ上，，所以．‎ 因为MN⊥PQ，所以，整理得，‎ 所以存在实数m，且m的取值范围为． ‎ 思维升华 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．‎ ‎(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；‎ ‎(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；‎ ‎(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．‎ 基础知识训练 ‎1．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月高考冲刺模拟】椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明 为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）将代入中，由可得，‎ 所以弦长为， ‎ 故有，解得，‎ 所以椭圆的方程为：． ‎ ‎（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。‎ 设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0.‎ 所以直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：‎ 消去y得:,‎ 设，则，‎ ‎,‎ 把代入上式，得 ‎，命题得证.‎ ‎2．【北京市昌平区2019年高三年级第二次统一练习】已知椭圆的离心率为，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知：，解得．‎ ‎∴椭圆G的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，则，可知．‎ 若使的面积是的面积的3倍，只需使得，‎ 即，即．‎ 由 ，∴直线的方程为．‎ ‎∵点在线段上，∴，整理得，①‎ ‎∵点在椭圆上，∴，②把①式代入②式可得，‎ ‎∵判别式小于零，该方程无解．∴不存在直线，使得的面积是的面积的3倍．‎ ‎3．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线与轨迹交于两点，、，且 (，且为常数)，过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点，连接、.试判断的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，即，‎ 所以动点的轨迹的方程.‎ ‎（2）联立方程组消去，得，‎ 依题意，，且，，‎ 由得，‎ 即，‎ 整理得：，所以，①‎ 因为的中点，所以点，依题意，‎ ‎，‎ 由方程中的判别式，得，所以，‎ 由①知，‎ 所以，又为常数，故的面积为定值.‎ ‎4．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)】如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由题意可知：,，又，‎ 有，故椭圆的方程为：．‎ ‎（2）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，用的横坐标表示的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去得，利用韦达定理化简的纵坐标后可得所求的定值.‎ 设（），‎ 联立直线方程和椭圆方程得，消去得，‎ ‎,，且有，‎ 又，，‎ 由得，‎ 故，整理得到 ‎，故 ‎．‎ 故点的纵坐标为3．‎ ‎5．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，点在第一象限，且，．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∵．即，‎ ‎∴是等腰直角三角形，‎ ‎∵，∴，‎ 而点在椭圆上，∴，，∴，‎ ‎∴所求椭圆方程为．‎ ‎（2）对于椭圆上两点，，‎ ‎∵的平分线总是垂直于轴，‎ ‎∴与所在直线关于对称，‎ ‎，则，‎ ‎∵，∴的直线方程为，①‎ 的直线方程为，②‎ 将①代入，得，③‎ ‎∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，‎ ‎∴，‎ 以替换，得到．‎ ‎∴，‎ ‎∵，，，弦过椭圆的中心，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴存在实数，使得，‎ ‎，‎ 当时，即时取等号，‎ ‎，‎ 又， ，‎ ‎∴取得最大值时的的长为．‎ ‎6．【湖南省桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.‎ ‎（1）求曲线的方程.‎ ‎（2）是否存在过的直线，使得与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，且的面积等于4？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设为曲线上任意一点，已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.‎ 所以点到的距离与它到直线的距离相等，根据抛物线的定义得 曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，得，消去，得.‎ 设，，恒成立，则，.‎ ‎，‎ 解得，则直线为 .‎ ‎7．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】已知椭圆：离心率为，直线被椭圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设直线交椭圆于，两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）由直线被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，即，‎ 又，得，‎ 所以，，即椭圆方程为.‎ ‎（2）由得，‎ 由，‎ 得.‎ 由，‎ 设的中点为，‎ 得，即，‎ ‎∴.‎ ‎∴的中垂线方程为.‎ 即，故的中垂线恒过点.‎ ‎8．【晋冀鲁豫中原名校2019年高三第三次联考】已知椭圆，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1，焦点F到抛物线C的准线的距离为d2，且。‎ ‎(1)抛物线C的标准方程;‎ ‎(2)若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知，焦点的坐标为，则，，‎ 又，解得：.故抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）设点的坐标为，设点，的坐标分别为，，‎ 显然直线的斜率不为0.设直线的方程为.‎ 联立方程消去，并整理得，‎ 则且，.‎ 由，.‎ 有.‎ ‎ ‎ 若为定值，必有.‎ 所以当为定值时，点的坐标为.‎ ‎9．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】已知离心率为的椭圆过点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，点 在椭圆上且不与四个顶点重合．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与轴交于，直线与轴交于，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）是定值，定值为：‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得：，解得：‎ 椭圆的标准方程为：‎ ‎（2）点不与四个顶点重合 直线的斜率存在且不为 设，且，‎ 直线的方程为： ‎ 直线的方程为： ‎ 在椭圆上 ‎ ‎，为定值 ‎10．【天津市红桥区2019届高三一模】设、分别是椭圆C：‎ 的左、右焦点，，直线1过且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、，所组成的三角形为等边三角形。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过右焦点的直线m与椭圆C相交于M、N两点，试问：椭圆C上是否存在点P，使成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）椭圆；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎ 由可得 ，  ‎ 等边三角形中：，， ‎ 则，得， ‎ 又因为，所以， ‎ 则椭圆； ‎ ‎（2）设、,‎ 则由题意知的斜率为一定不为,故不妨设, 代入椭圆的方程中,‎ 整理得, 显然. 由韦达定理有:,① 且② 假设存在点,使成立,则其充要条件为:‎ 点, 点在椭圆上,即. 整理得 又在椭圆上,即,， 故由①②代入：，解得, ‎ ‎ 则。‎ ‎11．【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（5月三模)】如图，椭圆：的离心率为，设，分别为椭圆的右顶点，下顶点，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知不经过点的直线：交椭圆于，两点，线段的中点为，若，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知，，，可得，‎ 又因为，即，所以，即，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意知，因为，‎ 所以，所以线段为外接圆的直径，即，‎ 联立，得，‎ ‎，设，，则 ‎，， ①又因为，‎ 即，‎ 又，，，‎ 即， ②‎ 把①代入②得：‎ 得或，‎ 所以直线的方程为或，‎ 所以直线过定点或（舍去），‎ 综上所述直线过定点.‎ ‎12．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷)】已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）因为椭圆的离心率，所以，即． ‎ 因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，‎ 所以，所以．所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）（i）当直线的斜率不存在时．‎ 因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为．‎ 由，不妨设，，‎ 则以为直径的圆的方程为．‎ ‎（ii）当直线的斜率为零时．‎ 因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为．‎ 由，不妨设，，‎ 则以为直径的圆的方程为．‎ 显然以上两圆都经过点．‎ ‎（iii）当直线的斜率存在且不为零时．‎ 设直线的方程为．‎ 由消去，得，‎ 所以设，，则，．‎ 所以．‎ 所以．①‎ 因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，‎ 整理，得， ②‎ 将②代入①，得，显然以为直径的圆经过定点，‎ 综上可知，以为直径的圆过定点．‎ ‎13．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】已知椭圆过点，右焦点是抛物线的焦点. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）因为椭圆过点，所以，‎ 又抛物线的焦点为，所以.‎ 所以，解得（舍去）或.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设在轴上存在定点，使得.‎ ‎①当直线的斜率不存在时，则，，，，‎ 由，解得或；‎ ‎②当直线的斜率为0时，则，，，，‎ 由，解得或.‎ 由①②可得，即点的坐标为.‎ 下面证明当时，恒成立.‎ 当直线的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.‎ 当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，，.直线与椭圆联立得，‎ 直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，.‎ ‎，‎ 所以 恒成立 综上所述，在轴上存在点，使得恒成立.‎ ‎14．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于点，，点为椭圆的左焦点，的周长为..‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与直线的倾斜角互补，且交椭圆于点、，，求证：直线与直线的交点在定直线上.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）由已知，得，，，‎ 椭圆的标准方程.‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的斜率也不存在，这与直线与直线相交于点矛盾，所以直线的斜率存在.‎ 令，，，，，.‎ 将直线的方程代入椭圆方程得：，‎ ‎，，‎ 同理，.‎ 由得，此时，，‎ 直线，‎ ‎，即点的定直线上.‎ ‎15．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴】已知是平面直角坐标系中两个定点，过动点的直线的斜率分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作相互垂直的两条直线与轨迹交于两点，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意，知，得，整理得，‎ 故的方程为.（也可以写作）.‎ ‎（Ⅱ）显然两条过点的直线斜率都存在，设过点的直线方程，‎ 联立，解得，‎ 设直线的方程为：，将，‎ 代入得，整理得：，‎ 由于两直线垂直，斜率乘积为-1，根据韦达定理，即，‎ 故直线过定点.‎ 能力提升训练 ‎1．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一)】已知椭圆的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知P为直角坐标平面内一定点，动直线l：与椭圆交于A、B两点，当直线PA与直线PB的斜率均存在时，若直线PA与PB的斜率之和为与t无关的常数，求出所有满足条件的定点P的坐标.‎ ‎【答案】(1) .(2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设椭圆的半焦距为，则，且.‎ 由，解得.‎ 依题意，，求得c=1，，，于是椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，，将：代入椭圆方程得.‎ ‎，，‎ 则有，.‎ 直线，的斜率之和 ‎，‎ 当，时斜率的和恒为0，‎ 解得或.‎ 综上所述，所有满足条件的定点的坐标为或.‎ ‎2．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二)】已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）存在常数使得恒成立.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题知解得 所以求椭圆E的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1．‎ 由解得或 得或；均有．‎ 猜测存在．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），C（x1，y1），D（x2，y2）．‎ 由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．‎ 则 故 ‎0．‎ 所以存在常数使得恒成立．‎ ‎3．【江西省新八校2019届高三第二次联考】已知椭圆， ，左、右焦点为，点在椭圆上，且点关于原点对称，直线的斜率的乘积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线经过点，且与椭圆交于不同的两点，若，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线的斜率为定值 ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知：，又，‎ 可得：，，‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）设直线的方程为：‎ 将其代入，整理可得：‎ 则，得：‎ 设，‎ 则，‎ 又，且 ‎ 又，‎ 所以 又，‎ 化简得：，解得：‎ ‎ ‎ 直线的斜率为定值 ‎4．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟（5月)】已知椭圆C:的焦距为，且C过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设、分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于、的任意一点，过点P作轴于M，N为线段PM的中点，直线与直线交于点D，E为线段的中点，O为坐标原点，则是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎(1)由题意各焦距为，∴，又∵椭圆过点，‎ ‎∴代入椭圆方程得，∵，解得，，‎ 故所求椭圆C的方程是；‎ ‎(2)证明：设，，则，，‎ ‎∵点P在椭圆C上，，即，‎ 又，∴直线的方程为，‎ 令，得，∴，‎ 又，E为线段的中点，∴，‎ ‎∴，，‎ 因 ‎.‎ ‎∴，即.‎ ‎5．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试】已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是 ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点引直线交曲线于两点，设，点关于轴的对称点为，证明直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）设，，，‎ 则，，‎ 由于，‎ 即，设，，‎ 则，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，‎ 故，，，‎ 所以，动点的轨迹的方程为：．‎ 如图所示，‎ 先探究特殊性，当点Q为椭圆的上顶点（0，）时，直线l:,‎ 联立直线和椭圆方程得,‎ 直线RN:令y=0,得x=4,‎ 所以直线RN过定点P(4,0).‎ 下面证明一般情形：‎ 设直线l:‎ 联立，‎ 判别式 所以 即，‎ 设，于是，‎ ‎，‎ 又，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以点R,N,P三点共线，因此直线RN经过定点P(4,0).‎ 综上，直线RN经过定点P(4,0).‎ ‎6．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知是圆：上任意一点，，线段的垂直平分线与半径交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）记曲线与轴交于两点，是直线上任意一点，直线，与曲线的另一个交点分别为，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）由线段的垂直平分线与半径交于点，得， ‎ 所以点的轨迹为以焦点，长轴长为的椭圆， 故 ， ， ‎ 曲线的方程为 ‎ ‎（2）由（1）得 ,设点的坐标为 ，直线的方程为: ，‎ 将与联立整理得： ，‎ 设点的坐标为 ，则 ，故，则 ，‎ 直线的方程为:，将与联立整理得：，‎ 设点的坐标为 ，则 ，故，则， ‎ 的斜率为 ‎ 的斜率为 因为 ，所以直线经过定点.‎ ‎7．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知曲线C上的任意一点到直线l：x=的距离与到点F（）的距离相等．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）若过P（1，0）的直线与曲线C相交于A，B两点，Q（1，0）为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：为定值．‎ ‎【答案】（1）y2=2x；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，，p=1．‎ ‎∴抛物线的方程为y2=2x；‎ ‎（2）根据已知，设直线AB的方程为y=k（x1）（k≠0），‎ 由，可得ky22y2k=0．‎ 设A（），B（），则，y1y2=2．‎ ‎∵，．‎ ‎∴=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．∴．‎ ‎8．【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ 解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值 所以，解得，故椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 将代入，得；‎ 设，线段的中点为，‎ ‎，‎ 即 因为，所以直线为线段的垂直平分线，‎ 所以，则，即，‎ 所以，‎ 当时，因为，所以，‎ 当时，因为，所以.‎ 综上，存在点，使得，且的取值范围为.‎ ‎9．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模)】已知椭圆的离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上的定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）解：由题意可得, 解得，‎ 所以椭圆C的方程为 ．‎ ‎（2）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）．证明如下 ‎（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，‎ 不妨设A（1，），B（1，），D（3，）．‎ 此时，直线BD的方程为：y=（x-2），所以直线BD过点（2，0）．‎ ‎（b）当直线l的斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB为y=k（x-1），D（3，y1）．‎ 由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．‎ 所以x1+x2=，x1x2=．……（*）‎ 直线BD：y-y1=（x-3），只需证明直线BD过点（2，0）即可.‎ 令y=0，得x-3=，所以x===‎ 即证，即证.‎ 将（*）代入可得.‎ 所以直线BD过点（2，0）‎ 综上所述，直线BD恒过x轴上的定点（2，0）．‎ ‎10．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】已知抛物线，圆.‎ ‎（Ⅰ）是抛物线的焦点，是抛物线上的定点，，求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点的直线与圆相切，设直线交抛物线于，两点，则在轴上是否存在点使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）抛物线C的焦点为,‎ 由 代入抛物线方程得p=2,故抛物线C的方程为： ‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时,过点 的直线不可能与圆E相切；‎ 所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,‎ 设直线斜率为k,则所求的直线方程为,‎ 所以圆心到直线l的距离为 当直线l与圆相切时,有 所以所求的切线方程为或 不妨设直线l：,交抛物线于两点,‎ 联立方程组 得.‎ 所以,, ‎ 假设存在点使，则. 所以 即t=-1故存在点 符合条件 当直线l：时,‎ 由对称性易知点也符合条件 综上存在点使