2020届上海市普陀区高三上学期质量调研（一模）数学试题 9页

普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研 ‎2019.12‎ 考生注意:‎ ‎1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.‎ ‎2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.‎ ‎3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. ‎ ‎1．若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为 . ‎ ‎2. .‎ ‎3. 不等式的解集为 .‎ ‎4. 已知为虚数单位，若复数是实数，则实数的值为 .‎ ‎5. 设函数（且），若其反函数的零点为，则_______.‎ ‎6. 展开式中含项的系数为__________（结果用数值表示）.‎ ‎7. 各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则 _ .‎ ‎8.设椭圆：，直线过的左顶点交轴于点，交于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于_________.‎ ‎9. 记为的任意一个排列，则为偶数的排列的个数共有________.‎ ‎10. 已知函数是偶函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围是___________.‎ ‎11. 设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是 该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为___________.‎ ‎12. 若、两点分别在函数与的图像上，且关于直线对称，则称、是与的一对“伴点”（、与、视为相同的一对）.‎ 已知，，若与存在两对“伴点”，则实数的取值范围为 .‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13. “”是“”成立的 ………………………（ ）‎ 充分非必要条件 必要非充分条件 ‎ 充要条件 既非充分也非必要条件 ‎14. 设集合，，若⊆，则对应的实数对有 …（ ）‎ ‎ 对 对 对 对 ‎15. 已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题中正确的是 ……（ ）‎ 若，，则 ‎ 若，在平面内，且，，则 若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交 若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交 ‎16. 若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为 ……（ ）‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 ‎17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 第17题图 如图所示的三棱锥的三条棱，，两两互相垂直，,点在棱上，且().‎ ‎（1）当时，求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）当三棱锥的体积为时，求的值.‎ ‎18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.‎ ‎19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 第19题图 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．‎ ‎（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；‎ ‎（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.‎ ‎20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ 已知双曲线：的焦距为，直线（）与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值. ‎ ‎21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 数列与满足，，是数列的前项和（）.‎ ‎（1）设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值；‎ ‎（2）设，若且对恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）设，，（，），若存在整数，，且，使得成立，求的所有可能值.‎ 普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）‎ 一、填空题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 二、选择题 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.（1）当时，，取棱的中点，连接、，‎ 则，即是异面直线与所成角或其补角，……………… 2分 又，，两两互相垂直，则,即是正三角形，‎ ‎17题图 则. ………………………… 5分 则异面直线与所成角的大小为.…………………… 6分 ‎ ‎ ‎（2）因为，，两两互相垂直，‎ 所以平面,…………… 3分 则，‎ 即, …………………………… 7分 又（），，则.………………… 8分 说明：利用空间向量求解请相应评分.‎ ‎18.（1）当时，由得，…………………2分 令，则，即，…………………4分 即，则所求的不等式的解为.……………………6分 ‎（2）任取，因为函数在区间上单调递增，‎ 所以在上恒成立， ………………2分 则恒成立，‎ 即，，…………………4分 又，则，‎ 即对恒成立，…………………………6分 又，即，‎ 则所求的实数的取值范围为.………………………………8分 ‎19.（1）由平行四边形得，在中，,,‎ 则，即，‎ 即，，……………………………4分 则停车场面积，‎ 即，其中.………………………6分 ‎（2）由（1）得，‎ 即，‎ ‎ ……………………4分 则. ……………………6分 因为，所以，‎ 则时，平方米.‎ 故当时，停车场最大面积为平方米. ……………………………8分 说明：（1）中过点作的垂线求平行四边形面积，请相应评分.‎ ‎20．（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则， …………………3分 解得，，则所求双曲线的方程为.……………………………4分 ‎（2）设，，由，得， ‎ 则，，且，‎ ‎………………………………………………………………2分 又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，‎ 即，即，‎ 则， ……………………………4分 即，则或，‎ 即实数的取值范围. …………………6分 ‎（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，‎ 又点是线段的中点，则点， ……………2分 直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，‎ 则直线的方程为，即，‎ 又直线的方程为，联立方程，‎ 消去化简整理，得，又，‎ 代入消去，得，‎ 即，则，‎ 即点的横坐标为， ……………5分 则. 故线段在轴上的射影长为定值. ……6分 说明：看作是在或方向上投影的绝对值，请相应评分.‎ ‎21.（1） 由条件得，，即，………………1分 则，，设等比数列的公比为，‎ 则，又，则. …………………………3分 当，时，，，‎ 则满足题意，‎ 故所求的的值为. ………………………………………4分 ‎（2）当时，， ，，，‎ 以上个式子相加得，， ………2分 ‎ 又，则，‎ 即. 由知数列是递增数列，………4分 又，要使得对恒成立，‎ 则只需，即，则. …………………6分 ‎（3） 由条件得数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ 则，，‎ 则. ………………………………2分 则，‎ 当时，，‎ 即时，，‎ 则当时，与矛盾. ………………………4分 又，即时，.‎ 当时，，‎ 又，‎ 即当，时，，与矛盾.‎ 又，则或，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ 综上得的所有可能值为和. …………………………………8分