江苏省常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学试题 含解析 10页

常州市教育学会学业水平监测 高三数学 2020.1‎ 一、填空题：‎ ‎1、已知集合，则A∩B＝ ‎ 答案：｛－1，1｝‎ 解析：B＝｛x｜x＜0或x＞0｝，所以，A∩B＝｛－1，1｝‎ ‎2、若复数满足则的实部为 ‎ 答案：－1‎ 解析：，所以，实部为－1。‎ ‎3、右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ‎ 答案.10‎ 解析：第1步：S＝1，i＝3；第2步：S＝1＋32＝10，i＝4＞3，退出循环，输出S＝10。‎ ‎4、函数的定义域是 ‎ 答案：［0，＋∞）‎ 解析：由二次根式的意义，有：，‎ 即，所以，‎ ‎5、已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是 ‎ 答案：2‎ 解析：平均数为：19，‎ 方差为：＝2‎ ‎6、某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 ‎ 答案：‎ 解析：该同学“选到文科类选修课程”的可能有：＝7，‎ 任选2门课程，所有可能为：＝10，‎ 所以，所求概率为：‎ ‎7、已知函数 则 ‎ 答案：－‎ 解析：＝＝－4，‎ ‎＝－‎ ‎8、函数取得最大值时自变量的值为 ‎ 答案：‎ 解析：因为，‎ 所以，，则，‎ 当，即时，函数y取得最大值。‎ ‎9、等比数列中，若成等差数列，则 ‎ 答案：64‎ 解析：设等比数列的公比为q，‎ 成等差数列，‎ 所以，，即 ‎，解得：＝2，‎ 所以，＝64‎ ‎10、已知，则 ‎ 答案：－2‎ 解析：，即＝‎ ‎＝－2‎ ‎11、在平面直角坐标系中，双曲线的右顶点为A,过A做轴的垂线与C的一条渐近线交于点B,若，则C的离心率为 ‎ 答案：2‎ 解析：显然OA＝，‎ 双曲线的渐近线为，不妨设过A做轴的垂线与交于B，‎ 则B点坐标为（，b），即AB＝b，‎ 在直角三角形OAB中，OB2＝OA2＋AB2，‎ 即42＝2＋b2，解得：，‎ 所以，离心率为：＝2‎ ‎12、已知函数互不相等的实数满足，则的最小值为 ‎ 答案：14‎ 解析：如下图，由，－＝，‎ 即＝0，‎ 所以，，‎ ‎＝＝14，‎ 当时取等号。‎ ‎13、在平面直角坐标系中，圆上存在点P到点（0,1）的距离为2，则实数a的取值范围是 ‎ 答案：‎ 解析：设点P（x，y），‎ 点P到点（0,1）的距离为2，所以，点P的轨迹为＝4，‎ 又点P在圆上，‎ 所以，，解得：‎ ‎14、在中，点D满足，且对任意恒成立，则 ‎ 答案：‎ 解析：‎ ‎ ‎ 二、解答题：‎ ‎15、在中，角的对边分别是，已知。‎ （1） 若，求的值；‎ （2） 若，求的值.‎ ‎16、如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形是矩形，，点分别是线段的中点。求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）‎ ‎17、如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，椭圆右顶点为，点在圆上。‎ （1） 求椭圆C的标准方程；‎ （2） 点在椭圆C上，且位于第四象限，点N在圆A上，且位于第一象限，已知，求直线的斜率。‎ ‎18、请你设计一个包装盒，是边长为的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得 四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P-EFGH的底面边长为 （cm）.‎ (1) 若要求包装盒侧面积S不小于75，求的取值范围；‎ (2) 若要求包装盒容积最大，试问应取何值?并求出此时包装盒的容积。‎ ‎19、已知函数 （1） 若曲线在处的切线的斜率为2，求函数的单调区间；‎ （2） 若函数在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围。‎ ‎20、设为正整数，若两个项数都不小于的数列，满足：存在正数L,当 时，都有，则称数列，是“接近的”。‎ 已知无穷数列满足，无穷数列的前n项和为，且 （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 求证：对任意正整数m,数列，是“接近的”；‎ （3） 给定正整数m(m5),数列，（其中）是“接近的”，求L的最小值，并求出此时的k(均用m表示)。（参考数据）‎ 附加题 ‎21-1．已知点在矩阵对应的变换作用下得到点（4,6）.‎ ‎（1）写出矩阵A的逆矩阵；‎ ‎（2）求a+b的值。‎ ‎21-2.求圆心在极轴上，且过极点与点的圆的极坐标方程。‎ ‎22.批量较大的一批产品中有30％的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X表示这3个样品中的优等品的个数.‎ ‎（1）求取出的3个样品中有优等品的概率；‎ ‎（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X).‎ ‎23.设集合,‎ ‎(1)求中的所有元素的和，并写出集合中元素的个数；（2）求证：能将集合分成两个没有公共元素的子集和，使得成立.‎