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- 1 - 湖南省三湘名校教育联盟 2018 届高三第三次联考 数学（理）试卷(8) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设全集U R ，集合     1 1 , 2 0A x x B x x x       ，则  UA C B  （ ） A． 1 0x x   B． 1 2x x  C． 0 1x x  D． 0 1x x  2.已知 i 为虚数单位，复数 3 2 2 iz i   ，则以下为真命题的是（ ） A. z 的共轭复数为 7 4 5 5 i B. z 的虚部为 8 5 C. 3z  D. z 在复平面内对应的点在第一象限 3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤， 斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？” 意思是：“现有一根金箠，长 5 尺，一头粗，一 头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多 少斤？ ”设该金箠由粗到细是均匀变化的，则金箠的重量为（ ） A．15 斤 B．14 斤 C．13 斤 D．12 斤 4.与双曲线 2 2 12 x y  的渐近线平行，且距离为 6 的直线方程为（ ） A． 2 6 0x y   B． 2 2 6 0x y   C． 2 6 0x y   D． 2 2 6 0x y   5.若  f x 为偶函数，且在 0, 2      上满足任意 1 2x x ，    1 2 1 2 0f x f x x x   ，则  f x 可以为（ ） A． 5cos 2y x      B．  siny x  C． tany x  D． 21 2cos 2y x  6.执行如图所示的程序框图，当 7t  时，输出的 S 值为（ ） - 2 - A． 3 2  B．0 C． 3 2 D． 3 7.“中国梦”的英文翻译为“ China Dream ”，其中 China 又可以简写为 CN ，从“ CN Dream ” 中取 6 个不同的字母排成一排，含有“ ea ” 字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ） A．360 种 B．480 种 C．600 种 D．720 种 8.  42 3 1x x  的展开式中 x 的系数为（ ） A． 4 B． 8 C． 12 D． 16 9.随机变量 X 服从正态分布    210, , 12X N P X m   ，  8 10P X n   ，则 2 1 m n  的最 小值为（ ） A． 3 4 2 B． 6 2 2 C．8 2 2 D． 6 4 2 10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则 该几何休的表面积为（ ） A． 20 5 B． 24 5 C．  20 5 1   D．  24 5 1   11.已知抛物线  2 2 0y px p  的焦点为 F ，准线为l ，过点 F 的直线交拋物线于 ,A B 两点， - 3 - 过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 E ，当 A 点坐标为  03, y 时， AEF 为正三角形，则此时 OAB 的面积为（ ） A． 4 3 3 B． 3 C． 2 3 3 D． 3 3 12.已知函数     1 ln 1 , 1 2 1, 1x x x f x x       ，则方程      32 04f f x f x      的实根个数为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数   21 tan 32 2f x x x         在区间 3 ,13      上是单调函数，其中 是直线 l 的 倾斜角，则 的所可能取值范围为 ． 14.若 ABC 的三内角 , ,A B C 满足: sin :sin :sin 2:3:3A B C  ，则以 2B 为一内角且其对边长为 2 2 的三角形的外接圆的面积为 ． 15.已知实数 ,x y 满足 0 2 2 x y y x y         ，且  1, 1m ax   ，  1,n y a  ，若 m n  ，则实数 a 的 最大值是 ． 16. 已 知 函 数         22 , , 1 ln 1f x kx x g x x h x x x      ， 若 当  1,x e 时 ， 不 等 式 组        2 f x g x f x x h x     恒成立，则实数 k 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 nb 是首项为 1 的等差数列，数列 na 满足 1 3 1 0n na a    ，且 3 2 11 , 1b a a   . （1）求数列 na 的通项公式； （2）令 n n nc a b  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 18. 2016 年 1 月 1 日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求. 某城市实行网格化管理，该市妇联在网格 1 与网格 2 两个区域内随机抽取 12 个刚满 8 个月的 婴儿的体重信息，休重分布数据的茎叶图如图所示(中位：斤，2 斤  1 千克）.体重不超过 9.8 kg 的为合格. - 4 - （1）从网格 1 与网格 2 分别随机抽取 2 个婴儿，求网格 1 至少一个 婴儿体重合格且网格 2 至少一个婴儿体重合格的概率； （2）妇联从网格 1 内 8 个婴儿中随机抽取 4 个进行抽检，若至少 2 个 婴儿合格，则抽检通 过，若至少 3 个合格，则抽检为良好.求网格 1 在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率； （3）若从网格 1 与网格 2 内 12 个婴儿中随机抽取 2 个，用 X 表示网格 2 内婴儿的个数，求 X 的分布列与数学期望. 19. 如图所示，四边形 ABCD 为菱形，且 120 , 2 / /ABC AB BE DF    ， ，且 3BE DF  ， DF  平面 ABCD . （1）求证：平面 ABE  平面 ABCD ； （2）求平面 AEF 与平面 ABE 所成锐二面角的正弦值. 20.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 3 2 ， ,4 aM b     为焦点是 1 ,02      的抛物线上一 点，H 为直线 y a  上任一点， ,A B 分别为椭圆 C 的上，下顶点，且 , ,A B H 三点的连线可以 构成三角形. （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 ,HA HB 与椭圆 C 的另一交点分别交于点 ,D E ，求证：直线 DE 过定点. 21. 已知函数   ln , xef x a x ax a Rx      . （1）当 0a  时，讨论  f x 的单调性； （2）设      g x f x xf x  ，若关于 x 的不等式     2 12 x xg x e a x     在 1,2 上有解，求 a 的取值范围. - 5 - 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 sin 2 24       ，现以极点 O 为原点，极轴为 x 轴 的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线 1C 的参数方程为 1 2cos 2 2sin x y          （ 为参数). （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 1C 的普通方程； （2）若曲线 2C 为曲线 1C 关于直线 l 的对称曲线，点 ,A B 分别为曲线 1C 、曲线 2C 上的动点， 点 P 坐标为  2,2 ，求 AP BP 的最小值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数   1 2 ,f x x x m m R      . （1）若 5m  ，求不等式   0f x  的解集； （2）若对于任意 x R ，不等式   2f x  恒成立，求 m 的取值范围. - 6 - 试卷答案(8) 一、选择题 1-5: ADABB 6-10: DCCDD 11、12：AC 二、填空题 13. 3, ,6 2 2 4             14. 81 16  15. 1 2 16. 2,2e  三、解答题 17. （1）∵ 1 3 1 0n na a    ，∴ 1 3 1n na a   ，∴ 1 1 132 2n na a       ， ∴ 1 2na    是首项为 3 2 ，公比为 3 的等比数列， ∴ 11 3 32 2 n na    ，即 3 1 2 n na  . （2）由（1）知， 2 3 2 3 11 1 32b a      ，∴ 3 3nb n n    ，则 3 2 2 n n n nc   ， ∴    2 11 1 3 2 3 32 4 n n n nT n         ， 令 21 3 2 3 3n nS n       ，① 2 3 13 1 3 2 3 3n nS n        ，② ①  ②得 1 2 1 1 13 3 1 32 3 3 3 3 3 32 2 2 n n n n n nS n n n                     ∴   12 1 3 3 4 n n nS    .∴    12 1 3 3 2 1 8 n n n n nT      . 18.（1）由茎叶图知，网格 1 内体重合格的婴儿数为 4，网格 2 内体重合格的婴儿数为 2，则 所求概率 2 2 4 2 2 2 8 4 551 1 84 C CP C C            . （2）设事件 A 表示“2 个合格，2 个不合格”；事件 B 表示“3 个合格，1 个不合格”； 事 件C 表示“4 个全合格”；事件 D 表示“抽检通过”；事件 E 表示“抽检良好”. ∴         2 2 3 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 8 8 53 70 C C C C CP D P A P B P C C C C        ，       3 1 4 4 4 4 4 4 8 8 17 70 C C CP E P B P C C C      ，则所求概率     17 53 P DP P E   . （3）由题意知， X 的所有可能取值为 0,1,2. - 7 - ∴   2 8 2 12 140 33 CP X C    ，   1 1 4 8 2 12 161 33 C CP X C    ，   2 4 2 12 12 11 CP X C    ， ∴ X 的分布列为 ∴   14 16 1 20 1 233 33 11 3E X        . 19.（1）∵ / / ,BE DF DF  平面 ABCD ,∴ BE  平面 ABCD , 又 BE  平面 ABE ,∴平面 ABE  平面 ABCD . （2）设 AC 与 BD 的交点为 O ,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz , 则        3,0,0 , 0,1,0 , 0,1, 3 , 0, 1, 3A B E F  ， ∴      0, 2,0 , 3,1, 3 , 3,1,0EF AE AB        设平面 AEF 的法向量为  1 1 1 1, ,n x y z ，则 1 1 0 0 EF n AE n          ， 即 1 1 1 1 2 0 3 3 0 y x y z      ， 令 1 1x  ，则 1 10, 0y z  ，∴  1 1,0,1n  . 设平面 ABE 的法向量为  2 2 2 2, ,n x y z ，则 2 2 0 0 AE n AB n          ， 即 2 2 2 2 2 3 3 0 3 0 x y z x y        ， 令 2 1x  ，则 2 23, 0y z  ，∴  2 1, 3,0n  . ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2cos , 42 2 n nn n n n          ，∴ 1 2 14sin , 4n n   ， ∴平面 AEF 与平面 ABE 所成锐二面角的正弦值为 14 4 . - 8 - 20.(1 由题意知， 2 2 2 2 3 2 2 4 c a ab a b c             ，解得 2 1 3 a b c       ， ∴椭圆 C 的方程为 2 2 14 x y  . （2）设点   , 2 0H m m  ，易知    0,1 , 0, 1A B  ， ∴直线 HA 的方程为 3 1y xm    ，直线 HB 的方程为 1 1y xm    . 联立 2 2 3 1 14 y xm x y        ，得 2 2 36 241 0x xm m       ，∴ 2 2 2 24 36,36 36D D m mx ym m    ， 冋理可得 2 2 2 8 4,4 4E E m mx ym m     ， ∴直线 DE 的斜率为 2 12 16 mk m  ， ∴直线 DE 的方程为 2 2 2 2 4 12 8 4 16 4 m m my xm m m          ，即 2 12 1 16 2 my xm   ， ∴直线 DE 过定点 10, 2     . 21.（1）由题意知，      2 2 1xx x ax e xa xe ef x ax x x        ， 令     1xF x ax e x   ，当 0a  时， 0xax e  恒成立， ∴当 1x  时，   0F x  ；当 0 1x  时，   0F x  ， ∴函数  f x 在  0,1 上单调递增，在  1, 上单调递减. （2）∵      g x f x xf x  ，∴   ln 2xg x a x e ax a     ， 由题意知，存在  0 1,2x  ，使得    0 2 0 0 012 x xg x e a x     成立. 即存在  0 1,2x  ，使得   2 0 0 0ln 1 02 xa x a x a      成立， 令       2 ln 1 , 1,22 xh x a x a x a x       ， ∴       11 , 1,2x a xah x a x xx x          . ① 1a  时，  1,2x ，则   0h x  ，∴函数  h x 在 1,2 上单调递减， - 9 - ∴    min 2 ln 2 0h x h a a     成立，解得 0a  ，∴ 0a  ； ②当1 2a  时，令   0h x  ，解得1 x a  ；令   0h x  ，解得 2a x  ， ∴函数  h x 在 1,a 上单调递增，在 ,2a 上单调递减， 又   11 2h  ，∴  2 ln 2 0h a a    ，解得 0a  ，∴ a 无解； ③当 2a  时，  1,2x ，则   0h x  ，∴函数  h x 在 1,2 上单调递增， ∴    min 11 02h x h   ，不符合题意，舍去； 综上所述， a 的取值范围为 ,0 . 22.（1）∵ sin 2 24       ，∴ 2 2cos sin 2 22 2      ， 即 cos sin 4     ，∴直线 l 的直角坐标方程为 4 0x y   ； ∵ 1 2cos 2 2sin x y          ，∴曲线 1C 的普通方程为    2 21 2 4x y    . （2） ∵点 P 在直线 4x y  上，根据对称性， AP 的最小值与 BP 的最小值相等， 曲线 1C 是以  1, 2  为圆心，半径 2r  的圆. ∴    2 2 1min 2 1 2 2 2 3AP PC r        ， 则 AP BP 的最小值为 2 3 6  . 23.（1）令   2 1, 1 1 2 3, 1 2 2 1, 2 x x g x x x x x x                . 当 5m  时，   0f x  等价于 1 2 1 5 x x      或 1 2 3 5 x     或 2 2 1 5 x x     ， 解得 2x   或  或 3x  ，∴不等式   0f x  的解集为    , 2 3,    . （2）由题意知， 1 2 2m x x     在 R 上恒成立， 又    1 2 2 1 2 2 1x x x x          ， ∴ 1m  ，即 m 的取值范围是  ,1 .