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- 2021-06-24 发布
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第三节
相关性、最小二乘估计、
回归分析与独立性检验
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养测评
【教材
·
知识梳理】
1.
相关性
(1)
散点图
:
在考虑两个量的关系时
,
为了对
_____
之间的关系有一个大致的了解
,
人们通常将
___________
的点描出来
,
这些点就组成了变量之间的一个图
,
通常称
这种图为变量之间的散点图
.
(2)
曲线拟合
:
从散点图上可以看出
,
如果变量之间
_______________,
这些点会有
一个
_____
的大致趋势
,
这种趋势通常可以用一条
___________
来近似
,
这样近似的
过程称为曲线拟合
.
变量
变量所对应
存在着某种关系
集中
光滑的曲线
(3)
线性相关
:
若两个变量
x
和
y
的散点图中
,
所有点看上去都在
_________
附近波
动
,
则称变量间是线性相关的
.
此时
,
我们可以用
_________
来近似
.
(4)
非线性相关
:
若散点图上所有点看上去都在
_______________________
附近波
动
,
则称此相关为非线性相关的
.
此时
,
可以用
_________
来拟合
.
(5)
不相关
:
如果所有的点在散点图中
_________________,
则称变量间是不相关的
.
一条直线
一条直线
某条曲线
(
不是一条直线
)
一条曲线
没有显示任何关系
2.
线性回归方程与相关系数
(1)
最小二乘法
:
如果有
n
个点
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),…,(x
n
,y
n
),
可以用下面的表达式来刻画这些点与
直线
y=a+bx
的接近程度
: __________________________________________.
使得
上式达到
_______
的直线
y=a+bx
就是我们所要求的直线
,
这种方法称为最小二乘法
.
[y
1
-(a+bx
1
)]
2
+[y
2
-(a+bx
2
)]
2
+…+[y
n
-(a+bx
n
)]
2
最小值
(2)
线性回归方程
:
假设样本点为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
…
,(x
n
,y
n
),
用 表示
,
用 表示
,
则
直线方程
y=a+bx
称为线性回归方程
,a,b
是线性回归方程的
_____.
系数
3.
独立性检验
(1)2×2
列联表
:
设
A,B
为两个变量
,
每一个变量都可以取两个值
,
变量
A:A
1
,A
2
= ;
变量
B:B
1
,B
2
=
,
通过观察得到如表所示的数据
:
B
A
B
1
B
2
总计
A
1
a
b
a+b
A
2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
(2)
独立性判断方法
:
选取统计量
χ
2
= ________________________,
用它的大小来检验变量之间是否独立
.
①
当
χ
2
________
时
,
没有充分的证据判定变量
A,B
有关联
,
可以认为变量
A,B
是没
有关联的
;
②
当
χ
2
_______
时
,
有
90%
的把握判定变量
A,B
有关联
;
③
当
χ
2
_______
时
,
有
95%
的把握判定变量
A,B
有关联
;
④
当
χ
2
_______
时
,
有
99%
的把握判定变量
A,B
有关联
.
≤2.706
>2.706
>3.841
>6.635
【知识点辨析】
(
正确的打
“
√
”
,
错误的打
“
×
”
)
(1)
“
名师出高徒
”
可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系
. (
)
(2)
散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段
. (
)
(3)
通过回归直线方程
y=bx+a
可以估计预报变量的取值和变化趋势
. (
)
(4)
回归直线方程
y=bx+a
至少经过点
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
…
,(x
n
,y
n
)
中的一个点
. (
)
(5)
因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程
,
所以没有必要进行相关性检验
. (
)
(6)
事件
X,Y
关系越密切
,
则由观测数据计算得到的
χ
2
越大
. (
)
提示
:
(1)√.
名师出高徒显示的是正相关关系
.
(2)√.
散点图可以直观反映是否相关
.
(3)√.
由回归直线方程的意义可知其正确
.
(4)
×
.
回归直线可能不经过任意一个数据点
.
(5)
×
.
由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程
,
但可能没有任何意义
.
(6)√.
χ
2
越大
,
有关的可能性越大
.
【易错点索引】
序号
易错警示
典题索引
1
χ
2
越大
,
相关的可能性越大
.
考点二、典例
2
先由散点图、相关系数确定相关性
,
再计算回归方程
,
预测才有意义
考点三、角度
2
【教材
·
基础自测】
1.(
必修
3P58
例
2
改编
)
四名同学根据各自的样本数据研究变量
x,y
之间的相关关系
,
并求得回归直线方程
,
分别得到以下四个结论
:
①y
与
x
负相关且
y=2.347x-6.423;②y
与
x
负相关且
y=-3.476x+5.648;③y
与
x
正相关且
y=5.437x+8.493;④y
与
x
正相关且
y=-4.326x-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是
(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【解析】
选
D.y=bx+a,
当
b>0
时
,
为正相关
,b<0
为负相关
,
故
①④
错误
.
2.(
必修
3P71T3
改编
)
某研究机构对高三学生的记忆力
x
和判断力
y
进行统计分析
,
所得数据如表
:
则
y
对
x
的线性回归直线方程为
(
)
A.y=2.3x-0.7 B.y=2.3x+0.7
C.y=0.7x-2.3 D.y=0.7x+2.3
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
【解析】
选
C.
因为
x
i
y
i
=6
×
2+8
×
3+10
×
5+12
×
6=158,
所以
b= =0.7,
a=4-0.7
×
9=-2.3.
故线性回归直线方程为
y=0.7x-2.3.
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