2019届云南师范大学附属中学高三上学期第四次月考数学（理）试题（解析版） 21页

‎2019届云南师范大学附属中学高三上学期第四次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别求解一元二次不等式及分式不等式化简A，B，再由交集，补集的混合运算求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由，得．‎ ‎，‎ 由，得或2.‎ ‎，．‎ 则，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法及分式不等式的解法，考查交集，补集的混合运算，是基础题．‎ ‎2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求．‎ ‎【详解】‎ 解：由，‎ 得，‎ ‎，则，‎ 在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎3．根据如图给出的2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，以下结论不正确的是　　‎ A．自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势 B．自2005年以来，我国人口增长率维持在上下波动 C．从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大 D．可以肯定，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变大 ‎【答案】D ‎【解析】利用人口总量及增长率的统计图直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由2005年至2016年我国人口总量及增长率的统计图，知：‎ 在A中，自2005年以来，我国人口总量呈不断增加趋势，故A正确；‎ 在B中，自2005年以来，我国人口增长率维持在上下波动，故B正确；‎ 在C中，从2005年后逐年比较，我国人口增长率在2016年增长幅度最大，故C正确；‎ 在D中，在2015年以后，我国人口增长率将逐年变小，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查人口总量及增长率的统计图的性质等基础知识，是基础题．‎ ‎4．展开式中x3的系数为（ ）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用乘法分配律和二项式展开式通项公式，求得的系数.‎ ‎【详解】‎ 依题意，展开式中的项为，所以的系数为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式，考查乘法分配律，属于基础题.‎ ‎5．以椭圆的焦点为焦点，以直线为渐近线的双曲线的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据椭圆方程求出焦点坐标，根据双曲线的焦点坐标与渐近线方程求出和，即可写出双曲线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：椭圆中，焦点为，；‎ 以、为焦点，以直线为渐近线的双曲线的方程中，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 所以所求双曲线的方程为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其简单几何性质的应用问题，是基础题．‎ ‎6．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中错误的是（ ）‎ A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．在上单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】先由图像的平移变换推导出的解析式，再根据图像性质求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，‎ ‎，‎ 的一个周期为，故A正确；‎ 的对称轴满足：，，‎ 当时，的图象关于对称，故B正确；‎ 由，得，‎ 是的一个零点，故C正确；‎ 当时，，‎ 在上单调递增，故D错误．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎7．给出下列两个命题：命题：函数是定义在上的奇函数，当时，则的值为；命题：函数是偶函数，则下列命题是真命题的是，　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数性质分别判断命题，的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，命题是真命题，由得，则，‎ 即，则是奇函数，故题是假命题，则是真命题，其余为假命题，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假关系的判断，掌握函数性质是解决本题的关键，属于中档题．‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该几何体是底面为扇形、高为的柱体，其中扇形所在圆的半径为，易得扇形的圆心角为，则该几何体的体积为．故选B．‎ ‎9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若的面积为，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知将化简为，再结合，利用正弦定理边化角及倍角公式化简即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：，又，且，即 ，由正弦定理边化角得 ．故，，．．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形面积公式、正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10．已知在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，曲线C1是以A，C为焦点，且经过B，D两点的椭圆，其离心率为e1；曲线C2是以A，C为焦点，渐近线分别和AB，AD 平行的双曲线，其离心率为e2，则e1e2＝（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据菱形的对角线相互垂直平分，判断出的位置，设菱形边长，根据求得菱形各边的长度，利用椭圆和双曲线的定义，求得两者的离心率，进而求得两个离心率的乘积.‎ ‎【详解】‎ 菱形对角线相互垂直平分，设对角线相交于，菱形的边长为.由于，所以.根据椭圆的定义可知：椭圆的离心率为.由于双曲线渐近线与平行，根据双曲线的几何性质可知：双曲线的离心率为.所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆和双曲线离心率的求法，考查双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎11．已知f(x)是定义在上的单调函数，且对任意的x∈都有，则方程的一个根所在的区间是（ ）‎ A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，可知f（x）-x3是定值令t=f（x）-x3，得出f（x）=x3+t，再由f（t）=t3+t=2求出t的值即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）-f′（x）=2的解所在的区间选出正确选项 ‎【详解】‎ 由题意，可知f（x）-x3是定值，不妨令t=f（x）-x3，则f（x）=x3+t 又f（t）=t3+t=2，整理得（t-1）（t2+t+2）=0，解得t=1 所以有f（x）=x3+1 所以f（x）-f′（x）=x3+1-3x2=2，令F（x）=x3-3x2-1 可得F（3）=-1＜0，F（4）=8＞0，即F（x）=x3-3x2-1零点在区间（3，4）内 所以f（x）-f′（x）=2的解所在的区间是（3，4） 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）-x3是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度 ‎12．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，动点P满足，若，则λ+μ的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得的表达式，进而求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，，设，由得，即，化简得.故可设（）.由于，即.所以，所以 ‎，故的最大值为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查动点轨迹方程的求法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若x，y满足约束条件则的最小值为______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象找出最优解，计算目标函数的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；‎ 结合图象知目标函数过点A时，z取得最小值，‎ 由，解得，‎ 所以z的最小值为．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的线性规划问题，是基础题．‎ ‎14．在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等比数列的性质可得，即可求出这个数列中所有项的乘积．‎ ‎【详解】‎ 解：根据等比数列的性质可得，这个数列中所有项的乘积为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的性质，属于基础题．‎ ‎15．设函数在内有定义，对于给定的正数K，若定义函数，取函数，当时，函数的单调递增区间为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析，即的解集，据此可得的解析式，进而分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，函数，，‎ 若，即，也即 进而解可得，‎ 则此时，其单调递增区间为；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的应用，注意分析的含义，属于中档题．‎ ‎16．如图，在正方体中，点P为AD的中点，点Q为上的动点，给出下列说法：‎ 可能与平面平行；‎ 与BC所成的最大角为；‎ 与PQ一定垂直；‎ 与所成的最大角的正切值为；‎ ‎．‎ 其中正确的有______写出所有正确命题的序号 ‎【答案】‎ ‎【解析】由当Q为的中点，由线面平行的判定定理可判断；由Q为 的中点，结合线线垂直的判断可判断；由线面垂直的判定和性质可判断；运用异面直线所成角的定义，结合解直角三角形可判断；由Q为的中点时，结合图形可判断．‎ ‎【详解】‎ 解：由在棱长为1的正方体中点P为AD的中点，点Q为上的动点，知：‎ 在中，当Q为的中点时，，由线面平行的判定定理可得PQ与平面平行，故正确；‎ 在中，当Q为的中点时，，，，可得，故错误；‎ 在中，由，可得平面，即有，故正确；‎ 在中，如图，点M为中点，PQ与所成的角即为PQ与所成的角，当Q与，或重合时，PQ与所成的角最大，其正切值为，故正确；‎ 在中，当Q为的中点时，PQ的长取得最小值，且长为，故正确．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知为数列的前n项和，且满足．‎ 求数列的通项；‎ 令，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】由数列的递推式：，时，，计算结合等比数列的通项公式可得所求；‎ 求得，，由数列的裂项相消求和，即可得证．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 可得，解得，‎ 时，，‎ 即有，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ 则；‎ 证明：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎18．互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、注：图中2，单位：小时代表分组为i的情况 求饼图中a的值；‎ 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？只需写出结论 从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由 ‎【答案】（1）29%；（2）第4组；（3）若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为，若抽到高一、高三的同学则不能估计．‎ ‎【解析】由饼图性质能求出a．‎ 估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．‎ 样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况．‎ ‎【详解】‎ 解：由饼图得：．‎ 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．‎ 样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为，若抽到高一、高三的同学则不能估计．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法、饼图性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎19．如图，已知在四棱锥S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，∠DAF＝∠ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，，B，E分别为AF，SA的中点．‎ ‎（1）求证：平面BDE∥平面SCF ‎（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值 ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）通过证明平面，平面，由此证得平面平面.‎ ‎（2）取CD的中点O，连结SO，取AB的中点H，连结OH.证得两两垂直，由此建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵∠DAF＝∠ADC＝90°，∴DC∥AF，‎ 又B为AF的中点，∴四边形BFCD是平行四边形，∴CF∥BD，‎ ‎∵BD⊂平面BDE，CF⊄平面BDE，‎ ‎∴CF∥平面BDE，‎ ‎∵B，E分别是AF，SA的中点，∴SF∥BE，‎ ‎∵BE⊂平面BDE，SF⊄平面BDE，‎ ‎∴SF∥平面BDE，‎ 又CF∩SF＝F，∴平面BDE∥平面SCF．‎ ‎（2）取CD的中点O，连结SO，‎ ‎∵△SCD是等腰三角形，O是CD中点，∴SO⊥CD，‎ 又平面SCD⊥平面AFCD，平面SCD∩平面AFCD＝CD，‎ ‎∴SO⊥平面AFCD，取AB的中点H，连结OH，‎ 由题设知四边形ABCD是矩形，∴OH⊥CD，SO⊥OH，‎ 以O为原点，OH为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），‎ ‎∴（1，﹣2，0），（0，﹣1，1），（1，0，0），‎ 设平面ASC的法向量（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得（2，1，1），‎ 设平面BSC的法向量（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得（0，1，1），‎ ‎∴cos，‎ 由图知二面角A﹣SC﹣B的平面角为锐角，‎ ‎∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查面面平行的证明，考查空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20．过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为，点P，Q在直线l：上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CD 当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由 当时，点P，Q在什么位置时，取得最小值？‎ ‎【答案】（1）直线AB经过定点 ；（2）当，时，取得最小值4.‎ ‎【解析】设，，，根据导数的几何意义，分别求出直线PA，PB的方程可得，可得直线AB的方程进而求出定点．‎ 设，，根据可得，妨设，则，且，，根据基本不等式即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：设，，，‎ 则，，‎ 抛物线的方程可变形为，则，‎ 直线PA的斜率为，‎ 直线PA的方程，化简，‎ 同理可得直线PB的方程为，‎ 由可得，‎ 直线AB的方程为，则是方程的解，‎ 直线AB经过定点．‎ 设，，‎ 由可知，，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎，异号，‎ 不妨设，则，且，‎ ‎，当且仅当，时取等号，‎ 即当，时，取得最小值4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和抛物线的位置关系，导数的几何意义，基本不等式的应用，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）证明：当﹣1＜a＜0时，f（x）存在唯一的零点x0，且x0随着a的增大而增大．‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析 ‎【解析】（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，对分成等四种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.‎ ‎（2）时，由（1）得到的单调性，结合零点存在性定理判断出存在唯一零点.令，由此对分离常数，利用导数证得随增大而增大.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f（x）的定义域为（0，+∞）；‎ ‎；‎ ‎①当a＝0时，，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎②当a＞0时，，而；‎ 则f（x）在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎③当﹣1≤a＜0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎④当a＜﹣1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；‎ 综上，当a＜﹣1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；‎ 当﹣1≤a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ 当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）由（1）得当﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎∴f（x）至多有一个零点；‎ 又﹣1＜a＜0；‎ ‎∴，f（1）＝a+1＞0，；‎ 令g（x）＝x﹣1﹣lnx，则；‎ ‎∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；‎ g（x）≥g（1）＝0，即x﹣1﹣lnx≥0，当且仅当x＝1时取等号；‎ ‎∴；‎ ‎∴f（x）存在唯一得零点；‎ 由f（x0）＝0，得，即；‎ ‎∵x0∈（1，+∞），；‎ ‎∴，即a是x0的函数；‎ 设，x∈（1，+∞），则；‎ ‎∴h（x）为（1，+∞）上的增函数；‎ ‎∴随增大而增大，反之亦成立.‎ ‎∴x0随着a的增大而增大．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22．已知曲线E的参数方程为为参数，以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线E的直角坐标方程；‎ 设点A是曲线E上任意一点，点A和另外三点构成矩形ABCD，其中AB，AD分别与x轴，y轴平行，点C的坐标为，求矩形ABCD周长的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】直接利用转换关系，把参数方程转换为直角坐标方程．‎ 利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：曲线E的参数方程为为参数，‎ 转换为直角坐标方程为：．‎ 设点A的坐标为，，，‎ 所以；，，‎ ‎，‎ 所以矩形的周长的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程之间的转换正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎23．解不等式；‎ 设a，b，且不全相等，若，证明：‎ ‎．‎ ‎【答案】（1） ；（2）详见解析.‎ ‎【解析】通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；‎ 根据不等式的性质证明即可．‎ ‎【详解】‎ 解：原不等式等价于或或，‎ 解得：或或，‎ 故原不等式的解集是；‎ 证明：，，，‎ ‎，‎ 同理，，‎ 又a，b，且不全相等，‎ 故上述三式至少有1个不取“”，‎ 故 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道基础题．‎