2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题七 第2讲 函数与方程、数形结合思想含解析 12页

第2讲　函数与方程、数形结合思想 一、函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 应用一　函数与方程思想在不等式中的应用 ‎[典型例题]‎ ‎ 设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立，则x的取值范围为________．‎ ‎【解析】　问题可以变成关于m的不等式 ‎(x2－1)m－(2x－1)<0在m∈[－2，2]上恒成立，‎ 设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，‎ 则 即解得0，则f′(x)＝ex－1>0，‎ 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，‎ 所以ex－1>x，即ea－1>a.‎ 又y＝ax(0ae，‎ 从而ea－1>a>ae.‎ ‎2．关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在x∈(2，＋∞)上恒成立，则a＝________．‎ 解析：关于x的不等式x＋－1－a2＋2a>0在x∈(2，＋∞)上恒成立⇔函数f(x)＝x＋在x∈(2，＋∞)上的值域为(a2－2a＋1，＋∞)．‎ 因为函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上为增函数，所以f(x)>2＋＝4，即f(x)在(2，＋∞)上的值域为(4，＋∞)，‎ 所以a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3.‎ 答案：－1或3‎ 应用二　函数与方程思想在数列中的应用 ‎[典型例题]‎ ‎ 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．‎ ‎(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．‎ ‎【解】　(1)因为a1＝2，a＝a2(a4＋1)，‎ 又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，‎ 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，‎ 所以数列{an}的通项公式an＝2n.‎ ‎(2)因为Sn＝n(n＋1)，则＝＝－.‎ 所以bn＝＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋＝－＝＝.‎ 令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－>0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，‎ 所以当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝，‎ 要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，‎ 则须使k≥(bn)max＝，‎ 所以实数k的最小值为.‎ ‎(1)本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求bn，构造函数，利用单调性求bn的最大值．‎ ‎(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：①由其表达式判断单调性，求出最值；②由表达式不易判断单调性时，借助an＋1－an的正负判断其单调性．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S5＝0，S6＝3，则nSn的最小值为________．‎ 解析：由已知得，a5＝S5－S4＝2，a6＝S6－S5＝3，因为数列{an}为等差数列，所以公差d＝a6－a5＝1.又S5＝＝0，‎ 所以a1＝－2，故Sn＝－2n＋＝，即nSn＝，令f(n)＝(n>0且n∈Z)，则f′(n)＝n2－5n，令f′(n)>0，得n>，令f′(n)<0，得00，a1＋a2＝4，a3－a2＝6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，kan，Sn，－1都成等差数列，求实数k的值．‎ 解：(1)因为a1＋a2＝4，a3－a2＝6，‎ 所以因为q>0，所以q＝3，a1＝1.‎ 所以an＝1×3n－1＝3n－1，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.‎ ‎(2)由(1)知an＝3n－1，Sn＝＝，因为kan，Sn，－1成等差数列，‎ 所以2Sn＝kan－1，即2×＝k×3n－1－1，解得k＝3.‎ 应用三　函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用 ‎[典型例题]‎ ‎ (1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在x∈上有解，则a的取值范围是________．‎ ‎(2)已知a，b，c为平面上三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，x，y均为实数，则|c－xa－yb|的最小值为________．‎ ‎【解析】　(1)法一：把方程cos2x－sin x＋a＝0变形为a＝－cos2x＋sin x，‎ 设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈，f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝－，由x∈可得sin x∈，易求得f(x)的值域为(－1，1]，故a的取值范围是(－1，1]．‎ 法二：令t＝sin x，‎ 由x∈，可得t∈(0，1]．‎ 依题意得1－t2－t＋a＝0，即方程t2＋t－1－a＝0在t∈(0，1]上有解，设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线t＝－，如图所示．‎ 因此，f(t)＝0在(0，1]上有解等价于 即所以－1b>0)经过点，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆E于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)．‎ ‎【解】　(1)由题设得解得 所以椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线CD的方程为x＝ky＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆方程＋＝1联立得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0.‎ 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－.‎ 所以S四边形OCAD＝S△OCA＋S△ODA ‎＝×2×|y1|＋×2×|y2|‎ ‎＝|y1－y2|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝(其中t＝，t≥1)．‎ 因为当t≥1时，y＝3t＋单调递增，所以3t＋≥4，所以S四边形OCAD≤3(当k＝0时取等号)，即四边形OCAD面积的最大值为3.‎ 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎　设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，求k的值．‎ 解：依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．‎ 如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0.‎ 所以k的取值范围为.‎ 答案： 应用二　数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用 ‎[典型例题]‎ ‎ 设函数f(x)＝，则满足f(x＋1)0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(　　)‎ A．5　　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：选A.根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5，0)，可知半焦距c＝5，‎ 设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形．‎ 如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，‎ 又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.故选A.‎ ‎2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．‎ 解析：根据题意，画出示意图，如图所示，‎ 则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.‎ 求m的最大值，即求圆C上的点到原点O的最大距离．‎ 因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.‎ 答案：6‎ ‎ ‎