2014厦门5月份质检理数试卷 14页

‎2014年高中毕业班适应性考试 数学（理科）试题 注意事项：‎ ‎1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；‎ ‎2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置．‎ 否 是 ‎（第3题图）‎ ‎1.已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是 ‎　　A．　　　　B．　　　C．　　　D． ‎ ‎2. “”是“”的 ‎　　A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件　‎ C．充要条件　 D．既不充分又不必要条件 ‎ ‎3．已知，，执行右边程序框图，则输出的结果共有 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎4．已知服从正态分布的随机变量在区间，和 内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次成绩在（60，120）范围内的学生大约有 A．997人 B．972人 C．954人 D．683人 ‎5．设是周期为4的奇函数，当时，，则等于 ‎ ‎ A. 1 B. C.3 D. ‎ ‎6．甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是 A．16 B．‎12 C．8 D．6‎ ‎7．数列的前项和为，前项积为，且，则等于 ‎20070324‎ A．31 　　　　B．‎62 ‎　　　　C．124 　　　　D．126‎ ‎8．在中， 是边上的高，给出下列结论：‎ ‎　①； ②； ③； ‎ 其中结论正确的个数是 A． B． C． D．‎ ‎（第9题图）‎ ‎9．如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是 ‎　 A．　 B．平面平面 C．的最大值为 D．的最小值为 ‎10．已知圆和圆，动圆M与圆,圆都相切，动圆的圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，（），则的最小值是 A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置．‎ ‎11．把函数的图象向右平移3个单位后，得到函数的图象，则函数的解析式为 ． ‎ ‎（第12题图）‎ ‎12．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这 20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是 ．‎ ‎13．已知函数则满足的实数的取值范围是 .‎ ‎14．设不等式组表示区域为，且圆在内的弧长为 ‎，则实数的值 等于 ．‎ ‎15．A、B两地相距‎1千米，B、C两地相距‎3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从B地出发，前往C地．甲、乙的速度关于时间的关系式分别为和（单位：千米/小时）．甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：‎ ‎①出发后1小时，甲还没追上乙 ② 出发后1小时，甲乙相距最远 ‎③甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C地 ④甲追上乙后，先到达C地 ‎ 其中正确的是 ．（请填上所有描述正确的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎　（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎　（Ⅱ）若是的三个内角，且，，又，求边的长．‎ ‎17. （本小题满分13分）‎ 如图1，直角梯形中，，，，点为线段上异于的点，且，沿将面折起，使平面平面，如图2.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎（图1）‎ C B D F E A F E D C B A ‎（图2）‎ ‎（第17题图）‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，‎ ‎（第18题图）‎ ‎ 求的最大值.‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示． ‎ 堵车时间（单位：小时）‎ 频数 ‎[0,1]‎ ‎8‎ ‎(1, 2]‎ ‎6‎ ‎(2, 3]‎ ‎38‎ ‎(3, 4]‎ ‎24‎ ‎（表2）‎ ‎(4, 5]‎ ‎24‎ CD段 EF段 GH段 堵车概率 平均堵车时间 ‎(单位：小时)‎ ‎2 ‎ ‎1 ‎ ‎（表1）‎ 经调查发现，堵车概率在上变化，在上变化．‎ 在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．‎ ‎（Ⅰ）求段平均堵车时间的值；‎ ‎（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）函数的零点从小到大排列，记为数列，求的前项和； ‎ ‎（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设点是函数与图象的交点，若直线同时与函数，的图象相切于点，且 函数，的图象位于直线的两侧，则称直线为函数，的分切线.‎ 探究：是否存在实数，使得函数与存在分切线？若存在，求出实数的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知在矩阵M对应的变换作用下，点A(1,0)变为A′(1,0)，点B(1,1)变为B′(2,1)．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵M；‎ ‎（Ⅱ）求，，并猜测（只写结果，不必证明）．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线与曲线的交点的直角坐标.‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知，且，的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）解关于的不等式.‎ ‎2014年高中毕业班适应性考试数学（理科）试题 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置．‎ ‎1～10：CABCB ABDCA ‎9．提示：面，∴A正确；面，∴B正确；当 时，为钝角，∴C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，解三角形易得=， ∴D正确.故选C.‎ ‎10.提示：①动圆与两定圆都内切时：，所以 ‎②动圆与两定圆分别内切，外切时：，所以 处理1：，再用均值求的最小值；‎ 处理2：‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置．‎ ‎11． 12． 13． ‎ ‎14． 15．④‎ ‎15．提示：经过小时，甲乙走过的路程分别为， ，令，，所以甲先到达； ‎ 令，设…‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．‎ ‎16．本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质、解三角形等基础知识；考查学生运算求解能力；考查数形结合思想和分类整合思想．满分13分．‎ 解:(Ⅰ) -----------1分 ‎ -------------------3分 ‎ --------------------4分 ‎ 令 -----------------------5分 ‎ 解得 ‎ ‎ ∴函数的递增区间是 . --------------------------6分 ‎(Ⅱ)由得, ,∵ , ∴ 或 . -------8分 (1)当时,由正弦定理得,‎ ‎； ---------------------------------10分 ‎(2) 当时,由正弦定理得,‎ ‎ . ----------------------------------12分 综上， 或． ------------------------------------------------------13分 ‎17．本题考查立体几何中的线面、面面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想．满分13分．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵，面，面，‎ ‎∴面，　　　　　　　　　　 --------------------2分 同理面， --------------------3分 ‎ 又，∴面面， --------------------4分 又面，∴面. --------------------5分 ‎（Ⅱ）法一：∵面面，又，面面， ‎ ‎∴面.‎ 以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 空间直角坐标系， 　 -----------------------7分 设，则，‎ ‎，‎ ‎∴当时，三棱锥体积最大. -----------------------9分 ‎∵， ∴， ---------10分 设平面的法向量， ，　∴， ‎ 令，得平面的一个法向量， -------------------------11分 又面的一个法向量为，‎ ‎∴， --------------------------12分　‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦是 . --------------------13分 法二：∵面面，又，面面， ‎ ‎∴面 以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直 角坐标系． -------------------------2分 设，则. ‎ ‎（Ⅰ）， -------------------------3分 面的一个法向量为， ---------------------------4分 ‎，∴，又面，‎ ‎∴面. --------------------------7分 ‎（Ⅱ）同法一．‎ ‎18．本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）在中，‎ 令得，即，令，得，即， -------------------2分 由，∴椭圆：. ------------------4分 ‎（Ⅱ）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分 得：，∴. 　 ---------------6分 得：，∴， ---------7分 ‎∴. -------9分 ‎．‎ 设，，‎ 令，得．‎ 又，∴在单调递增，在单调递减. -----------11分 ‎∴当时，，即的最大值为. -------13分 法二：依题意射线的斜率存在，设，设 ---5分 得：，∴. ---------------6分 ‎ = ---------------9分 ‎ .‎ 设，则.‎ 当且仅当即.‎ 法三：设点，， ‎ ‎ --------------------6分 ‎ = . -----------------7分 又，‎ 设与联立得： . --------------9分 令. ----------------------11分 又点在第一象限，∴当时，取最大值. -----13分 ‎19．本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力；考查数形结合数学思想方法. 满分13分．‎ 解：（Ⅰ） ------------2分 ‎ 3． ----------------4分 ‎（Ⅱ）设走甲线路所花汽油费为元，‎ 则． ----------------5分 法一：设走乙线路多花的汽油费为元，∵段与段堵车与否相互独立，‎ ‎∴，‎ ‎， ----------------7分 ‎． ----8分 ‎∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为．--9分 依题意，选择走甲线路应满足 ， ------------10分 即，又，‎ ‎（选择走甲线路）． ‎ ‎----------------13分 法二：在EF路段多花汽油费的数学期望是元， ---------------6分 在GH路段多花汽油费的数学期望是元， ----------------7分 因为EF、GH路段堵车与否相互独立，‎ 所以走乙路线多花汽油费的数学期望是元． ----------------8分 以下解法同法一．‎ ‎20．本题考查三角函数、导数及其应用、等差数列等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想方法．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）∵， ∴ ∴，． -------------1分 ‎∴， ----------------2分 ‎∴． ----------------4分 ‎（Ⅱ）∵在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立． ----------------5分 设， ∴， ---------------6分 ‎∴在单调递增，单调递减，单调递增，单调递增，‎ ‎∴的极大值为，‎ ‎∴的最大值为， ∴ ． ----------------8分 ‎（Ⅲ）若函数与存在分切线，则有“”或“”在 上恒成立，‎ ‎∵当时，，． ‎ ‎∴，使得， ∴在不恒成立．‎ ‎∴只能是在上恒成立． ------------9分 ‎∴由（Ⅱ）可知， ∵函数与必须存在交点， ∴．----10分 当时，函数与的交点为,∵，‎ ‎∴存在直线在点处同时与、相切，‎ ‎∴猜测函数与的分切线为直线． ----------11分 证明如下：‎ ‎①∵，‎ 设，则．‎ 令，则有．‎ ‎∴在上单调递增，∴在上有且只有一个零点．‎ 又∵，∴在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，∴，‎ 即在上恒成立．‎ ‎∴函数的图象恒在直线的上方． ---------------13分 ‎②∵在上恒成立，‎ ‎∴函数的图象恒在直线的下方．‎ ‎∴由此可知，函数与的分切线为直线，‎ ‎∴当时，函数与存在分切线，为直线． ---------14分 ‎21. （1）选修4-2：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的乘法等基础知识；考查运算求解能力；函数与方程、特殊与一般的数学思想．满分7分K^S*5U.C#O%‎ 解：（Ⅰ）设，则，， -------------1分 ‎∴， 解得 ． -------------2分 ‎ ‎∴． ------------------3分 ‎（Ⅱ）， -------------------4分 ‎， -----------------6分 猜测． ----------------7分 ‎（2）选修4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查直线的极坐标方程、圆的参数方程及其几何意义、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识；考查运算求解能力；数形结合思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴ ----------------1分 ‎∴即所求直线的直角坐标方程为． ----------3分 ‎（Ⅱ）曲线的直角坐标方程为： ， ---------------4分 ‎∴，解得或（舍去）． -------------------6分 所以，直线与曲线的交点的直角坐标为． -----------------7分 ‎（3）选修4-5：不等式选讲 本小题主要考查利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力；化归与转化、分类与整合的思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）根据柯西不等式，有：，------1分 ‎∴，当且仅当时等号成立． ----------------2分 即． -----------------3分 ‎（Ⅱ）可化为 或或， -----------5分 解得，或或， ----------------------6分 所以，综上所述，原不等式的解集为． -----------------------7分