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- 2021-06-24 发布
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2007年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1. 已知cosθ⋅tanθ<0，那么角θ是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
2. 函数f(x)=3x(0g[f(x)]的x的值是________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15. 数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{an}的通项公式．
16. 如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小；
（3）求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小．
17. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2, 0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点T(-1, 1)在AD
7 / 7
边所在直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程；
（3）若动圆P过点N(-2, 0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
18. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
19. 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，
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梯形面积为S．
（1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（2）求面积S的最大值．
20. 已知集合A＝{a1, a2, ..., ak(k≥2)}，其中ai∈Z(i＝1, 2,…,k)，由A中的元素构成两个相应的集合：S＝{(a, b)|a∈A, b∈A, a+b∈A}，T＝{(a, b)|a∈A, b∈A, a-b∈A}．其中(a, b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P．
(Ⅰ)检验集合{0, 1, 2, 3}与{-1, 2, 3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
(Ⅱ)对任何具有性质P的集合A，证明：n≤k(k-1)2；
(Ⅲ)判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
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参考答案与试题解析
2007年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1.C
2.B
3.证明：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故A不对对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确
4.A
5.B
6.C
7.A
8.D
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9.-i
10.2n-11,3
11.10
12.(2, 3)
13.725
14.1,2
三、解答题（共6小题，满分80分）
15.解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，
因为a1，a2，a3成等比数列，
所以(2+c)2=2(2+3c)，
解得c=0或c=2．
当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2．
（2）当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，an-an-1=(n-1)c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=n(n-1)2c．
又a1=2，c=2，故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2, 3,)．
当n=1时，上式也成立，
所以an=n2-n+2(n=1, 2,)
16.解：（1）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴ ∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵ 二面角B-AO-C是直二面角，
∴ CO⊥BO，
又∵ AO∩BO=O，
∴ CO⊥平面AOB，
又CO⊂平面COD，
∴ 平面COD⊥平面AOB．
（2）解法一：作DE⊥OB，垂足为E，连接CE（如图），则DE // AO，
∴ ∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=12BO=1，
∴ CE=CO2+OE2=5．
又DE=12AO=3．
7 / 7
∴ CD=CE2+DE2=22
∴ 在Rt△CDE中，cos∠CDE=DECD=322=64．
∴ 异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为64．
解法二：建立空间直角坐标系O-xyz，如图，
则O(0, 0, 0)，A(0,0,23)，C(2, 0, 0)，D(0,1,3)，
∴ OA→=(0,0,23)，CD→=(-2,1,3)，
∴ cos=|OA→|⋅|CD→|˙=623⋅22=64．
∴ 异面直线AO与CD所成角的余弦值为64．
（3）由（1）知，CO⊥平面AOB，
∴ ∠CDO是CD与平面AOB所成的角，
且tanCDO=OCOD=2OD．当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，OD=OA⋅OBAB=3，tanCDO=233，
∴ CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为233．
17.解：（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3
又因为点T(-1, 1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)．
3x+y+2=0．
（2）由x-3y-6=03x+y+2=0解得点A的坐标为(0, -2)，
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2, 0)．
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又|AM|=(2-0)2+(0+2)2=22．
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8．
（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，
所以|PM|=|PN|+22，
即|PM|-|PN|=22．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．
因为实半轴长a=2，半焦距c=2．
所以虚半轴长b=c2-a2=2．
从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22-y22=1(x≤-2)．
18.该合唱团学生参加活动的人均次数为
1×10+2×50+3×40100=230100=2.3．
从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
P0=10×9+50×49+39×40100×99=4199．
从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知
P(ξ＝1)＝P(A)+P(B)=C101C501C1002+C501C401C1002=5099；
P(ξ＝2)＝P(C)=C101C401C1002=899；
ξ的分布列：
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ξ的数学期望：Eξ＝0×4199+1×5099+2×899=23．
19.解：（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图），
则点C的横坐标为x，
点C的纵坐标y满足方程x2r2+y24r2=1(y≥0)，
解得y=2r2-x2(00；当r2
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