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  • 2021-06-24 发布

2007年北京市高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2007年北京市高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1. 已知cosθ⋅tanθ<0‎,那么角θ是‎(‎       ‎‎)‎ A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 ‎2. 函数f(x)=‎3‎x(0g[f(x)]‎的x的值是________.‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15. 数列‎{an}‎中,a‎1‎‎=2‎,an+1‎‎=an+cn(c是常数,n=1‎,‎2‎,‎3‎,…),且a‎1‎,a‎2‎,a‎3‎成公比不为‎1‎的等比数列.‎ ‎(1)求c的值;‎ ‎(2)求‎{an}‎的通项公式.‎ ‎16. 如图,在Rt△AOB中,‎∠OAB=‎π‎6‎,斜边AB=4‎.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角.动点D在斜边AB上.‎ ‎(1)求证:平面COD⊥‎平面AOB;‎ ‎(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的余弦值大小;‎ ‎(3)求CD与平面AOB所成角最大时的正切值大小.‎ ‎17. 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2, 0)‎,AB边所在直线的方程为x-3y-6=0‎点T(-1, 1)‎在AD ‎ 7 / 7‎ 边所在直线上.‎ ‎(1)求AD边所在直线的方程;‎ ‎(2)求矩形ABCD外接圆的方程;‎ ‎(3)若动圆P过点N(-2, 0)‎,且与矩形ABCD的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.‎ ‎18. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有‎100‎名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.‎ ‎(1)求合唱团学生参加活动的人均次数;‎ ‎(2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.‎ ‎(3)从合唱团中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ ‎19. 如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为‎2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,‎ ‎ 7 / 7‎ 梯形面积为S.‎ ‎(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域;‎ ‎(2)求面积S的最大值.‎ ‎20. 已知集合A=‎{a‎1‎, a‎2‎, ..., ak(k≥2)}‎,其中ai‎∈Z(i=‎1, 2‎,…,k)‎,由A中的元素构成两个相应的集合:S=‎{(a, b)|a∈A, b∈A, a+b∈A}‎,T=‎{(a, b)|a∈A, b∈A, a-b∈A}‎.其中‎(a, b)‎是有序数对,集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的a∈A,总有‎-a∉A,则称集合A具有性质P.‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎检验集合‎{0, 1, 2, 3}‎与‎{-1, 2, 3}‎是否具有性质P并对其中具有性质P的集合,写出相应的集合S和T;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎对任何具有性质P的集合A,证明:n≤‎k(k-1)‎‎2‎;‎ ‎(‎Ⅲ‎)‎判断m和n的大小关系,并证明你的结论.‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年北京市高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.证明:对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行故A不对对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B不对对于C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C不对对于D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确 ‎4.A ‎5.B ‎6.C ‎7.A ‎8.D 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)‎ ‎9.‎‎-i ‎10.‎2n-11‎,‎‎3‎ ‎11.‎‎10‎ ‎12.‎‎(2, 3)‎ ‎13.‎‎7‎‎25‎ ‎14.‎1‎,‎‎2‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎15.解:(1)a‎1‎‎=2‎,a‎2‎‎=2+c,a‎3‎‎=2+3c,‎ 因为a‎1‎,a‎2‎,a‎3‎成等比数列,‎ 所以‎(2+c‎)‎‎2‎=2(2+3c)‎,‎ 解得c=0‎或c=2‎.‎ 当c=0‎时,a‎1‎‎=a‎2‎=‎a‎3‎,不符合题意舍去,故c=2‎.‎ ‎(2)当n≥2‎时,由于a‎2‎‎-a‎1‎=c,a‎3‎‎-a‎2‎=2c,an‎-an-1‎=(n-1)c,‎ 所以an‎-a‎1‎=[1+2++(n-1)]c=n(n-1)‎‎2‎c.‎ 又a‎1‎‎=2‎,c=2‎,故an‎=2+n(n-1)=n‎2‎-n+2(n=2, 3‎,‎)‎.‎ 当n=1‎时,上式也成立,‎ 所以an‎=n‎2‎-n+2(n=1, 2‎,‎‎)‎ ‎16.解:(1)由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴ ‎∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角,‎ 又∵ 二面角B-AO-C是直二面角,‎ ‎∴ CO⊥BO,‎ 又∵ AO∩BO=O,‎ ‎∴ CO⊥‎平面AOB,‎ 又CO⊂‎平面COD,‎ ‎∴ 平面COD⊥‎平面AOB.‎ ‎(2)解法一:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE // AO,‎ ‎∴ ‎∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.‎ 在Rt△COE中,CO=BO=2‎,OE=‎1‎‎2‎BO=1‎,‎ ‎∴ CE=CO‎2‎+OE‎2‎=‎‎5‎.‎ 又DE=‎1‎‎2‎AO=‎‎3‎.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎∴ ‎CD=CE‎2‎+DE‎2‎=2‎‎2‎ ‎∴ 在Rt△CDE中,cos∠CDE=DECD=‎3‎‎2‎‎2‎=‎‎6‎‎4‎.‎ ‎∴ 异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为‎6‎‎4‎.‎ 解法二:建立空间直角坐标系O-xyz,如图,‎ 则O(0, 0, 0)‎,A(0,0,2‎3‎)‎,C(2, 0, 0)‎,D(0,1,‎3‎)‎,‎ ‎∴ OA‎→‎‎=(0,0,2‎3‎)‎,CD‎→‎‎=(-2,1,‎3‎)‎,‎ ‎∴ cos=‎|OA‎→‎|⋅|CD‎→‎|‎‎˙‎=‎6‎‎2‎3‎⋅2‎‎2‎=‎‎6‎‎4‎.‎ ‎∴ 异面直线AO与CD所成角的余弦值为‎6‎‎4‎.‎ ‎(3)由(1)知,CO⊥‎平面AOB,‎ ‎∴ ‎∠CDO是CD与平面AOB所成的角,‎ 且tanCDO=OCOD=‎‎2‎OD.当OD最小时,‎∠CDO最大,这时,OD⊥AB,垂足为D,OD=OA⋅OBAB=‎‎3‎,tanCDO=‎‎2‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴ CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎17.解:(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0‎,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为‎-3‎ 又因为点T(-1, 1)‎在直线AD上,‎ 所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)‎.‎ ‎3x+y+2=0‎‎.‎ ‎(2)由x-3y-6=0‎‎3x+y+2=0‎解得点A的坐标为‎(0, -2)‎,‎ 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2, 0)‎.‎ 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.‎ 又‎|AM|=‎(2-0‎)‎‎2‎+(0+2‎‎)‎‎2‎=2‎‎2‎.‎ 从而矩形ABCD外接圆的方程为‎(x-2‎)‎‎2‎+y‎2‎=8‎.‎ ‎(3)因为动圆P过点N,所以‎|PN|‎是该圆的半径,又因为动圆P与圆M外切,‎ 所以‎|PM|=|PN|+2‎‎2‎,‎ 即‎|PM|-|PN|=2‎‎2‎.‎ 故点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为‎2‎‎2‎的双曲线的左支.‎ 因为实半轴长a=‎‎2‎,半焦距c=2‎.‎ 所以虚半轴长b=c‎2‎‎-‎a‎2‎=‎‎2‎.‎ 从而动圆P的圆心的轨迹方程为x‎2‎‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1(x≤-‎2‎)‎.‎ ‎18.该合唱团学生参加活动的人均次数为 ‎1×10+2×50+3×40‎‎100‎‎=‎230‎‎100‎=2.3‎‎.‎ 从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为 P‎0‎‎=‎10×9+50×49+39×40‎‎100×99‎=‎‎41‎‎99‎‎.‎ 从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加‎1‎次活动,另一人参加‎2‎次活动”为事件A,“这两人中一人参加‎2‎次活动,另一人参加‎3‎次活动”为事件B,“这两人中一人参加‎1‎次活动,另一人参加‎3‎次活动”为事件C.易知 P(ξ‎=‎1)‎=P(A)+P(B)=C‎10‎‎1‎C‎50‎‎1‎C‎100‎‎2‎+C‎50‎‎1‎C‎40‎‎1‎C‎100‎‎2‎=‎‎50‎‎99‎;‎ P(ξ‎=‎2)‎=P(C)=C‎10‎‎1‎C‎40‎‎1‎C‎100‎‎2‎=‎‎8‎‎99‎;‎ ξ的分布列:‎ ‎ 7 / 7‎ ξ的数学期望:Eξ=‎0×‎41‎‎99‎+1×‎50‎‎99‎+2×‎8‎‎99‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎19.解:(1)依题意,以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy(如图),‎ 则点C的横坐标为x,‎ 点C的纵坐标y满足方程x‎2‎r‎2‎‎+y‎2‎‎4‎r‎2‎=1(y≥0)‎,‎ 解得y=2r‎2‎‎-‎x‎2‎(00‎;当r‎2‎‎