高考数学专题复习练习第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布[理]概率[文] 质量检测 13页

第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布[理]概率[文]‎ ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 (　　)‎ A．对立事件　　　　　　 　B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上答案均不对 解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件．‎ 答案：C ‎2．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为 (　　)‎ 解析：A游戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为，D游戏盘的中奖概率为 ，A游戏盘的中奖概率最大．‎ 答案：A ‎3．[理]某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 (　　)‎ A．14 B．‎24 C．28 D．48‎ 解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为 C·C＋C·C＝2×4＋1×6＝14.‎ 法二：从4男2女中选4人共有C种选法，4名都是男生的选法有C种，故至少有1名女生的选派方案种数为C－C＝15－1＝14.‎ 答案：A ‎[文]在△ABC中，D是BC的中点，向△ABC内任投一点．那么点落在△ABD内的概为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　B. C. D. 解析：因为D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ABC，‎ 所以点落在△ABD内的概率为.‎ 答案：B ‎4．[理](2009·辽宁高考)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 (　　)‎ A．70种 B．80种 C．100种 D．140种 解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有：C×C＋C×C＝70种．‎ 答案：A ‎[文]两个骰子的点数分别为b、c，则方程x2＋bx＋c＝0有两个实根的概率为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：共有36个结果，方程有解，则Δ＝b2－‎4c≥0，∴b2≥‎4c，满足条件的数记为(b2,‎4c)，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24),19个结果，P＝.‎ 答案：C ‎5．[理](2009·重庆高考)8的展开式中x4的系数是 (　　)‎ A．16 B．‎70 C．560 D．1 120‎ 解析：由二项展开式通项公式得Tk＋1＝C(x2)8－kk＝2kCx16－3k.由16－3k＝4，得k＝4，则x4的系数为‎24C＝1 120.‎ 答案：D ‎[文]某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：P＝＝.‎ 答案：B ‎6．若A、B为一对对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，则x＋y的最小值为(　　)‎ A．9 B．‎10 C．6 D．8‎ 解析：由已知得＋＝1(x>0，y>0)，‎ ‎∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝5＋(＋)≥9.‎ 答案：A ‎7．[理]从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为Ax＋By＋C＝0中的A，B，C(A，B，C互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：P＝＝.‎ 答案：B ‎[文]一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：每条棱上有8块，共8×12＝96块．‎ ‎∴概率为＝.‎ 答案：D ‎8．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：区域为△ABC内部(含边界)，则概率为 P=‎ 答案：D ‎9．[理]在(x2－)n的展开式中，常数项为15，则n＝ (　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k＋1项Tk＋1＝C ·(－)k＝C应有2n－3k＝0，∴n＝，而n是正整数，故k＝2,4,6….结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k＝4，n＝6.‎ 答案：D ‎[文]已知直线y＝x＋b的横截距在[－2,3]范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概 率是 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：P＝＝.‎ 答案：A ‎10．[理]用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 (　　)‎ A．40 B．‎60 C．80 D．10‎ 解析：若个位数是偶数，当2在个位时，则1在十位，共有AA＝4(个)，‎ 当2不在个位时，共有A·A·A·A＝16(个)，‎ 所以若个位是偶数，有4＋16＝20个六位数．‎ 同理，若个位数是奇数，有20个满足条件的六位数，‎ 因此，这样的六位数的个数是40.‎ 答案：A ‎[文]若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：P＝＝.‎ 答案：D ‎11．[理]口袋中有4个白球，n个红球，从中随机地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率大于0.6，则n的最小值为 (　　)‎ A．13 B．‎14 C．15 D．16‎ 解析：由已知条件可得>0.6，‎ 解之得n>12或n<1(舍去)，∴n的最小值为13.‎ 答案：A ‎[文]一个坛子里有编号为1,2…，12的12个大小相同的球，其中1至6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：从12个球中任取两个的做法有66种．‎ ‎∴取到的是红球且至少有1个球号码为偶数的做法共有15－3＝12种，‎ ‎∴P＝＝.‎ 答案：D ‎12．[理]若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则与x轴有公共点的二次函数的概率是 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有CA＝100个，其中与x轴有公共点的二次函数需满足b2≥‎4ac，当c＝0时，a，b只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A个，当c≠0时，若b＝3，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b＝4时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b＝5时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，故其概率为＝.‎ 答案：A ‎[文]若－1≤a≤1，－1≤b≤1，则方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率等于 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：方程x2+2ax+b2=0有实根时，应有‎4a2-4b2≥0，即|a|≥|b|，当-1≤a ‎ ‎≤1，-1≤b≤1时，(a，b)对应的区域是一个正方形，满足|a|≥|b|的(a，b)‎ 对应的区域是如图所示的阴影部分，画出图形可得：P=‎ 答案：A 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．‎ 解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P=‎ 答案：‎ ‎14．[理](2009·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列如下表．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c 解析：由题意 解得a＝，b＝c＝.‎ 答案：　 ‎[文]如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=7.现在向该矩形内随机投一点P，则 ‎ ‎∠APB>90°时的概率为　　　　.‎ 解析：P=‎ 答案：‎ ‎15．[理](2010·安徽师大附中模拟)a＝ (sinx＋cosx)dx则二项式(a－)6展开式中含x2的项的系数是________．‎ 解析：a＝ (sinx＋cosx)dx＝(sinx－cosx) ‎＝(sinπ－cosπ)－(sin0－cos0)‎ ‎＝(0＋1)－(0－1)＝2.‎ 又∵Tr＋1＝C(a) (－)r ‎＝C (－1)rx(－)‎ ‎＝C (－1)r.‎ 由3－r＝2，解r＝1，‎ ‎∴x2项的系数为－Ca5＝－192.‎ 答案：－192‎ ‎[文]如图所示，a，b，c，d是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率为　　　　.‎ 解析：上个开关任意闭合2个，有ab、ac、ad、bc、bd共6种方案， ‎ 电路被接通的条件是：①开关d必须闭合；②开关a，b，c中有一个闭合即电路被接通有ad、bd和cd共3种方案，所以所求的概率是 答案：‎ ‎16．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是________．‎ 解析：由题意知m＝，e＝，仅当m＝1或2时，13时的概率P＝.‎ 答案： 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分)设A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x，y∈N*}．‎ ‎(1)求从A中任取一个元素是(1,2)的概率；‎ ‎(2)从A中任取一个元素，求x＋y≥10的概率；‎ ‎(3)[理]设Y为随机变量，Y＝x＋y，求E(Y)．‎ 解：(1)设从A中任取一个元素是(1,2)的事件为B，则P(B)＝，所以从A中任取一个元素是(1,2)的概率为.‎ ‎(2)设从A中任取一个元素，x＋y≥10的事件为C，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共6种情况，‎ 于是P(C)＝，‎ 所以从A中任取一个元素，x＋y≥10的概率为.‎ ‎(3)[理]Y可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.‎ P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝，P(Y＝4)＝，‎ P(Y＝5)＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝7)＝，‎ P(Y＝8)＝，P(Y＝9)＝，P(Y＝10)＝，‎ P(Y＝11)＝，P(Y＝12)＝.‎ 则E(Y)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×＋9×＋10×＋11×＋12×＝7.‎ ‎18．(本小题满分12分)如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M、N、 ‎ P是将半圆圆周四等分的三个分点．‎ ‎(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角 三角形的概率；‎ ‎(2)在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率．‎ 解：(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP 3个，‎ 所以这3个点组成直角三角形的概率P＝.‎ ‎(2)连结MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，‎ 易求得OD＝2，‎ 当S点在线段MP上时，S△ABS=×2×8=8，‎ 所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8，而 S阴影=S扇形OMP-S△OMP=××42-×42=4π-8，‎ 所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P=‎ ‎19．[理](本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人．已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名．‎ ‎(1)求工人的配置合理的概率；‎ ‎(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率．‎ 解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有C＋CC种选法．工人的配置合理的 概率＝.‎ ‎(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配置合理的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为C(1－)＝.‎ ‎[文](本小题满分12分)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．‎ ‎(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；‎ ‎(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．‎ 解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)， ‎ ‎(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C：x2+y2≤10上的点P的坐标有：‎ ‎(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种．故点P落在区域C：x2+y2≤10内 的 概率为.‎ ‎(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为.‎ ‎20．[理](本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.‎ ‎(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；‎ ‎(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为X，求X的分布列及其数学期望．‎ 解：(1)设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域A、D同色时，共有5×4×3×1×3＝180种；‎ 当区域A、D不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；‎ A B C E D 因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种．‎ 它们是等可能的．‎ 又因为A、D为红色时，共有4×3×3＝36种；‎ B、E为红色时，共有4×3×3＝36种；‎ 因此，事件M包含的基本事件有：36＋36＝72种．‎ 所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率P(M)＝＝.‎ ‎(2)随机变量X的取值分别为0,1,2.‎ 则当X＝0时，用黄、蓝、白、橙四种颜色来涂色，‎ 若A、D为同色时，共有4×3×2×1×2＝48种；‎ 若A、D为不同色时，共有4×3×2×1×1＝24种；‎ 即X＝0所包含的基本事件有48＋24＝72种，‎ 所以P(X＝0)＝＝；‎ 由第(1)问得P(X＝2)＝；‎ 所以P(X＝1)＝1－－＝.‎ 从而随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以，E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎[文](本小题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记z＝|x－2|＋|y－x|.求z的所有可能的取值，并求出z取相应值时的概率．‎ 解：z的所有可能取值为0,1,2,3.‎ 当z＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，‎ 当z＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，‎ 当z＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况，‎ 当z＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况，‎ ‎∵有放回地抽两张卡片的所有情况有9种．‎ ‎∴P(z＝0)＝，P(z＝1)＝，P(z＝2)＝，‎ P(z＝3)＝.‎ ‎21．[理](本小题满分12分)(2009·陕西高考)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如列下：‎ ‎(1)求a的值和X的数学期望；‎ ‎(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎2a a 解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋‎2a＋a＝1，‎ 解得a＝0.2.‎ ‎∴X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎∴E(X)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.‎ ‎(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．‎ 则由事件的独立性得 P(A1)＝CP(X＝2)P(X＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，‎ P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09，‎ ‎∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.‎ 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.‎ ‎[文](本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．‎ ‎(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；‎ ‎(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？‎ ‎(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．‎ 解：(1)基本事件空间与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应．‎ 因为S中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数为n＝25.‎ 事件A包含的基本事件数共5个：‎ ‎(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎(2)B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次．‎ ‎(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件为13个，所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，‎ 所以这种游戏规则不公平．‎ ‎22．[理](本小题满分14分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A＝“恰有一个红球”，事件B＝“第3个是红球”．‎ 求：(1)不放回时，事件A、B的概率；‎ ‎(2)每次抽后放回时，A、B的概率．‎ 解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共6×5×4＝120个，又事件A中含有基本事件3×2×4×3＝72个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)，‎ ‎∴P(A)＝＝.‎ 第3次取到红球对前两次没有什么要求，‎ 因为红球数占总球数的，每一次取到都是随机地等可能事件，‎ ‎∴P(B)＝.‎ ‎(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63＝216种，事件A含基本事件3×2×4×4＝96种．‎ ‎∴P(A)＝＝.‎ 第三次抽到红球包括B1＝{红，黄，红}，B2＝{黄，黄，红}，B3＝{黄，红，红}，B4＝{红，红，红}四种两两互斥的情形，P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，‎ P(B3)＝＝，‎ P(B4)＝＝，‎ ‎∴P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＋P(B4)‎ ‎＝＋＋＋＝.‎ ‎[文](本小题满分14分)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．‎ ‎(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；‎ ‎(2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；‎ ‎(3)若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a，第二次朝下面上的数字为纵坐标b，求点(a，b)落在直线x－y＝1下方的概率．‎ 解：(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于‎6”‎为A，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2,3,4}，{1,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则P(A)＝.‎ ‎(2)记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于‎7”‎为B，两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共6种，则P(B)＝＝.‎ ‎(3)记事件“抛掷后点(a，b)在直线x－y＝1的下方”为C，要使点(a，b)在直线x－y＝1的下方，则需b＜a－1，当b＝1时，a＝3或4；当b＝2时，a＝4.‎ 则所求的概率P(C)＝.‎