山东专用2021版高考数学一轮复习第8章解析几何第3讲圆的方程课件 46页

第八章 解析几何 第三讲　圆的方程 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 定点　 定长　 ( a ， b ) 　 r 　 知识点二　点与圆的位置关系 圆的标准方程 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，点 M ( x 0 ， y 0 ) ， (1)( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ______ r 2 ⇔ 点在圆上； (2)( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ______ r 2 ⇔ 点在圆外； (3)( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ______ r 2 ⇔ 点在圆内． ＝　 > 　 < 　 1 ．圆心在过切点且垂直于切线的直线上． 2 ．圆心在任一弦的垂直平分线上． 3 ．两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 4 ．以 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 为直径的两端点的圆的方程是 ( x － x 1 )( x － x 2 ) ＋ ( y － y 1 )( y － y 2 ) ＝ 0( 公式推导：设圆上任一点 P ( x ， y ) ，则有 k PA · k PB ＝－ 1 ，由斜率公式代入整理即可 ) AC 题组二　走进教材 2 ． ( 必修 2P 124 A 组 T4) 圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A ( － 1,1) 和 B (1,3) ，则圆 C 的方程为 _____________________. ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 10 　 3 ． ( 必修 2P 132 A 组 T3) 以点 (2 ，－ 1) 为圆心且与直线 3 x － 4 y ＋ 5 ＝ 0 相切的圆的方程为 ( 　　 ) A ． ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 3 B ． ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 3 C ． ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 9 D ． ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 9 C 　 A 　 C 　 考点突破 • 互动探究 　　　　 (1) 已知圆 C 与直线 x － y ＝ 0 及 x － y － 4 ＝ 0 都相切，圆心在直线 x ＋ y ＝ 0 上，则圆 C 的方程为 ( 　　 ) A ． ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 B ． ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2 C ． ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 D ． ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2 (2) (2019 · 重庆一中、湖北鄂州期中 ) 圆 C 半径为 2 ，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3 x ＋ 4 y ＋ 4 ＝ 0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为 ( 　　 ) A ． x 2 ＋ y 2 － 2 x － 3 ＝ 0 B ． x 2 ＋ y 2 － 4 x ＝ 0 C ． x 2 ＋ y 2 ＋ 4 x ＝ 0 D ． x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 3 ＝ 0 考点一　确定圆的方程 —— 自主练透 B 　 例 1 B 　 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0 　 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 9 　 求圆的方程的两种方法 (1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2) 待定系数法： ① 若已知条件与圆心 ( a ， b ) 和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a ， b ， r 的方程组，从而求出 a ， b ， r 的值； ② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D ， E ， F 的方程组，进而求出 D ， E ， F 的值． 〔 变式训练 1〕 (1) 圆心在直线 x － 2 y － 3 ＝ 0 上，且过点 A (2 ，－ 3) ， B ( － 2 ，－ 5) 的圆的方程为 ____ __ __________ __ _____ ． (2) 若圆 C 的半径为 1 ，圆心在第一象限，且与直线 4 x － 3 y ＝ 0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ( 　　 ) A ． ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 B ． ( x － 2) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 C ． ( x ＋ 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 D ． ( x － 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 10 　 A 　 考点二　与圆有关的最值问题 —— 多维探究 例 2 例 3 B 　 例 4 A 　 　　　　 　已知圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上一定点 A (2,0) ， B (1,1) 为圆内一点， P 、 Q 为圆上的动点． (1) 求线段 AP 中点的轨迹方程； (2) 若 ∠ PBQ ＝ 90° ，求线段 PQ 中点的轨迹方程． 考点三　与圆有关的轨迹问题 —— 师生共研 例 5 [ 解析 ] 　 (1) 设 AP 的中点为 M ( x ， y ) ，由中点坐标公式可知， P 点坐标为 (2 x － 2, 2 y ) ． 因为 P 点在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上，所以 (2 x － 2) 2 ＋ (2 y ) 2 ＝ 4 ． 故线段 AP 中点的轨迹方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ． (2) 设 PQ 的中点为 N ( x ， y ) ．在 Rt △ PBQ 中， | PN | ＝ | BN | ，设 O 为坐标原点，连接 ON ，则 ON ⊥ PQ ， 所以 | OP | 2 ＝ | ON | 2 ＋ | PN | 2 ＝ | ON | 2 ＋ | BN | 2 ， 所以 x 2 ＋ y 2 ＋ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4 ． 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2 － x － y － 1 ＝ 0 ． 〔 变式训练 3〕 (2019 · 河北衡水中学调研 ) 已知 Rt △ ABC 的斜边为 AB ，且 A ( － 1,0) ， B (3,0) ．求： (1) 直角顶点 C 的轨迹方程； (2) 直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程． 名师讲坛 • 素养提升 对称思想在圆中的应用 例 6 D 　 [ 引申 ] 本例 (1) 中入射光线所在直线的方程为 ______________________________. 4 x － 3 y － 1 ＝ 0 或 3 x － 4 y － 6 ＝ 0 　 1 ． 光的反射问题一般化为轴对称解决． 2 ．求解形如 | PM | ＋ | PN |( 其中 M ， N 均为动点 ) 且与圆 C 有关的折线段的最值问题的基本思路： (1) “ 动化定 ” ，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2) “ 曲化直 ” ，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 3 ．定点到圆上动点距离的最大 ( 小 ) 值为定点到圆心的距离加 ( 减 ) 半径；圆上的点到定直线距离的最大 ( 小 ) 值为圆心到直线的距离加 ( 减 ) 半径． ABD