高中数学必修2教案：第三章 3_1_1倾斜角与斜率 10页

‎3．1　直线的倾斜角与斜率 ‎3．1.1　倾斜角与斜率 ‎[学习目标]　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．直线的倾斜角 ‎(1)定义：一条直线l与x轴相交，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.‎ ‎(2)取值范围：0°≤α<180°.‎ ‎2．直线的斜率 定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan_α.‎ 取值范围 当α＝0°时，k＝0；‎ 当0°<α<90°时，k>0；‎ 当90°<α<180°时，k<0；‎ 当α＝90°时，斜率不存在.‎ ‎3.斜率公式 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(其中x1≠x2)．‎ 要点一　直线的倾斜角 例1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)‎ A．α＋45°‎ B．α－135°‎ C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°‎ 答案　D 解析　根据题意，画出图形，如图所示：‎ 因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，‎ 不合题意．通过画图(如图所示)可知：‎ 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；‎ 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.‎ 规律方法　1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．‎ ‎2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．‎ 跟踪演练1　一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)‎ A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 答案　D 解析　如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.‎ 要点二　直线的斜率 例2　已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．‎ 解　根据题中的条件可画出图形，如图所示，‎ 又可得直线PA的斜率kPA＝－，‎ 直线PB的斜率kPB＝，‎ 结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，‎ 当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.‎ 综上可知，直线l的斜率的取值范围是 ∪.‎ 规律方法　1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．‎ ‎2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k＝(x1≠x2)求解．‎ ‎3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．‎ 跟踪演练2　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．‎ ‎(1)求直线l的斜率k的取值范围；‎ ‎(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．‎ 解　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.‎ ‎(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.‎ ‎(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.‎ 要点三　斜率公式的应用 例3　已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．‎ 解　如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB 上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2)．‎ 由于的几何意义是直线OP的斜率，‎ 且kOA＝2，kOB＝，‎ 所以可求得的最大值为2，最小值为.‎ 规律方法　若所求最值或范围的式子可化为的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．‎ 跟踪演练3　已知实数x，y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．‎ 解　由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A(1,2)，B(－1,4)．‎ 则kPA＝＝，kPB＝＝7.‎ ‎∴≤k≤7，∴的最大值为7，最小值为.‎ ‎1．下图中α能表示直线l的倾斜角的是(　　)‎ A．① B．①② C．①③ D．②④‎ 答案　A 解析　结合直线l的倾斜角的概念可知①可以，选A.‎ ‎2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)‎ A. B. C．1 D. 答案　A 解析　由题意可知，k＝tan 30°＝.‎ ‎3．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于(　　)‎ A．－ B. C．－1 D．1‎ 答案　C 解析　tan 45°＝kAB＝，‎ 即＝1，所以y＝－1.‎ ‎4．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)‎ A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°‎ C．90°<α<180° D．0°<α<180°‎ 答案　C 解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.‎ ‎5．如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．‎ 答案　k1tan α3>0，tan α1<0，故k10‎ 不存在 k<0‎ k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 ‎3.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝应注意的问题：‎ ‎(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．‎ ‎(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在．‎ 一、基础达标 ‎1．下列说法中，正确的是(　　)‎ A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0‎ D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α 答案　D 解析　对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.‎ ‎2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)‎ A．45°，1 B．135°，－1‎ C．90°，不存在 D．180°，不存在 答案　C 解析　由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．‎ 故选C.‎ ‎3．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　)‎ A．1 B．5 C．－1 D．－5‎ 答案　D 解析　由斜率公式可得：＝tan 135°，‎ ‎∴＝－1，∴y＝－5.∴选D.‎ ‎4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是(　　)‎ A．0°≤α≤90° B．90°≤α<180°‎ C．90°≤α<180°或α＝0° D．90°≤α≤135°‎ 答案　C 解析　倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．‎ ‎5．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为(　　)‎ A．4,0 B．－4，－3‎ C．4，－3 D．－4,3‎ 答案　C 解析　由题意，得即 解得a＝4，b＝－3.‎ ‎6．如果过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由斜率公式知＝1，解得m＝1.‎ ‎7．一条光线从A(3,2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为__________．‎ 答案　－2‎ 解析　如图所示，作A点关于x轴的对称点A′，‎ 所以点A′在直线MB上．‎ 由对称性可知A′(3，－2)，‎ 所以光线MB所在直线的斜率为kA′B＝＝－2.‎ 故反射光线所在直线的斜率为－2.‎ 二、能力提升 ‎8．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A．k≥2或k≤ B.≤k≤2‎ C．k≥ D．k≤2‎ 答案　A 解析　直线PA的斜率kPA＝2，直线PB的斜率kPB＝，结合图象，如图所示，可知直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤.故选A.‎ ‎9．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　(－2,1)‎ 解析　∵k＝且直线的倾斜角为钝角，∴<0，‎ 解得－2