2015三明1月份质检文数试卷(2) 10页

三明市B片区高中联盟校2014-2015学年第一学期阶段性考试 ‎ 高三数学（文科）试题 ‎（考试时间:2015年2月6日下午3:00-5:00 满分150分）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 注意事项:‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据的标准差 锥体体积公式 s= 　　‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ （其中为底面面积，为高） ，（其中为球的半径） ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知,复数在复平面内对应的点在直线上，则实数的值是 ‎ A.1 B.0 C.-1 D.2‎ 第2题图 ‎2．已知集合，集合，右图中阴影部分表示的集合是，则的值为 ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎3．在等差数列中，，则等于 ‎ A.12 B.14 C.16 D.18‎ ‎4．设，则使方程有解的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5．如果执行右边的程序框图，若输入，那么其输出的结果是 ‎　 A.０　　　 　 B.１　　　 　C.２　　　　 D.３‎ ‎6．已知，则等于 ‎ A． B.3 C. D.‎ ‎7．已知向量，如果向量与垂直，则的值为 ‎ ‎ A．1 B． C. D． ‎ ‎8．已知双曲线 的一个焦点在圆 上，则双曲线的渐近线方程为 第9题图 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥正视图的面积是 ‎ A.2 B.3 C. D.‎ ‎10．，若方程有三个不同的 实数根，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．下列四个命题中是假命题的是 ‎ A．在∆ABC中，角A、B所对边分别为，则成立的充要条件是；‎ ‎ B．若命题p：，命题q: ,则p ∧q为真命题；‎ P(K2≥k)‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎6.535‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ C．若向量，则存在唯一的实数，使；‎ D．在一个列联表中，由计算得，则有99％的把握确认这两个变量间有关系;可以参考独立性检验临界值表（见右图）.‎ ‎12．设是一个非负整数，的个位数记作，如，，，‎ 称这样的函数为尾数函数．若，则给出的下列有关尾数函数的结论中：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④．‎ 正确的有 A．1 个 B．2个 C ．3 个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题 共80分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置）‎ ‎13．若实数满足 ，则的最大值为 ▲▲▲▲▲ .‎ ‎14．设某校高三女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关系，根椐一组样本数据，用最小二乘法求得的回归直线方程为，若该校高三某女生身高增加，则其体重约增加▲▲▲▲▲ .‎ ‎15．是以5为周期的奇函数，，且，则▲▲▲▲▲ . y y x x ‎0‎ ‎0‎ ‎16．我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周得到的几何体（称为椭球体）体积为；由直线所围成的平面图形（如图阴影部分）绕轴旋转一周得到的几何体体积为；根据祖暅原理等知识，通过考察可得到的体积为▲▲▲▲▲‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎[‎ 文科考生 ‎67‎ ‎35‎ ‎19‎ ‎5‎ 理科考生 ‎53‎ ‎41‎ ‎2‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 某校高三文、理各两个班在11月份进行了一次质量考试,考生成绩情况如下表所示：‎ ‎2‎ ‎0 5 8‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎11‎ 第17题图 已知用分层抽样方法在分数的考生中随机抽取名考生进行 质量分析，其中文科考生抽取了名．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）右图是文科不低于550分的5名考生的语文成绩（其中语文满 分为150分）的茎叶图，请计算这5名考生的语文成绩的方差；‎ ‎(III)在成绩不低于550分的所有考生中抽取2名进行质量分析，求至少抽到一名理科生的概率．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知等比数列的前项和为，且 ‎（Ⅰ）求出数列的通项公式和前项和；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ 第19题图 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=4，底面ABCD 是边长为4的正方形，若M为PC的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：PA∥平面BDM；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥P-BCD的体积；‎ ‎(III)在AB上是否存在一个点，使，‎ 若存在，试确定N的位置;若不存在请说明理由．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知向量，函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期和单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，锐角满足，，求的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，已知圆：过抛物线：的焦点F，过点F且与圆相切的直线被抛物线C截得的弦长为4.‎ ‎（Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；‎ 第21题图 M P y x ‎0‎ F ‎（Ⅱ）若P为抛物线在第一象限内的点，抛物线在点P处的切线（设为）被圆截得的弦长为.直线过点P且垂直于直线,设与抛物线的另一交点为M，求弦PM的长.‎ 22. ‎（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）时，令，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ ‎(III)若与的图象交于M，N两点，过线段MN的中点作轴的垂线分别与的图象和的图象交于S，T点，以S为切点作的切线，以T为切点作的切线.是否存在实数使得，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.‎ 三明市B片区高中联盟校2014-2015学年第一学期阶段性考试 ‎ 高三数学（文科）试题参考答案 一、选择题（每题5分，本题共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D C C A D B C A C B 二、填空题（每题4分，本题共16分）‎ ‎ 13、3 14、 15、 16、 ‎ 三、 解答题（本题共74分）‎ ‎17．（本小题12分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，∴ ………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ） ………………………………………………………5分 ‎∴这5名考生的语文成绩的方差 ‎…………………………………………………………………8分 ‎(III)设成绩不低于550分的文科5名考生分别为a、b、c、d、e, 成绩不低于550分的 理科2名考生分别为A、B，则所有可能出现的结果有：‎ ‎ (a,b), (a,c),(a,d),(a,e),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,e),(b,A),(b,B),(c,d),(c,e),(c,A),(c,B),(d,e),‎ ‎(d,A),(d,B),(e,A),(e,B),(A,B)‎ ‎ 总共有21种…………………………………………………………………………………………10分 ‎ 设至少抽到一名理科生的事件为M，‎ 则事件M发生的结果共有(a,A),(a,B)，(b,A),(b,B), (c,A),(c,B). (d,A),(d,B),(e,A),(e,B),(A,B)‎ 共11种……………………………………………………………………………………………………11分 故 即在成绩不低于550分的文理科所有考生中抽取2名进一步质量分析，至少抽到一名理 科生的概率为…………………………………………………………………………………………12分 ‎18．（本小题12分）‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为 由得，…………………………………………………………………2分 ‎ 所以……………………………………………………………………………………4分 ‎ ……………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 故……………………………………………………………………8分 所以数列的前项和 ‎=‎ ‎==……………………………………………………………………………12分 O Q ‎19（本小题12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：连接AC交BD于点O，连接MO，‎ ‎ 底面ABCD是正方形，故O为AC的中点，‎ ‎ 又M为PC的中点，‎ ‎ MO是∆PAC的中位线，‎ ‎ PA//MO…………………………………………1分 ‎ 又PA平面BDM，MO平面BDM ‎ PA∥平面BDM…………………………………3分 ‎（Ⅱ）解：取AD的中点Q ‎ PA=PD PQAD ‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面PAD ‎ PQ平面ABCD……………………………………………………………………………6分 ‎ 由PA=PD=AD=4，得PQ=‎ ‎ 由底面ABCD是边长为4的正方形，‎ ‎ 得 ‎ =‎ ‎ 即三棱锥P-BCD的体积是……………………………………………………………………8分 ‎(III)当为中点时，，………………………………………………………9分 ‎ 理由如下：‎ ‎ 当为中点时，取的中点，连接，‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形。‎ ‎ ………………………………………………………………………………………10分 ‎ 由（2）得，故 ‎ 又 ‎，‎ ‎ 又，得 ‎ ‎ 又，为的中点，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 当为中点时，……………………………………………12分 ‎20 （本小题12分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =．………………………………………………………………3分 ‎ 故的最小正周期为…………………………………………………………………4分 ‎ 由，得，‎ ‎ 即单调减区间为…………………………………………6分 ‎（Ⅱ）方法一：由，得．‎ 为锐角，∴，，∴． ………………………8分 ‎ 又b=2,‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………………………………………………………………………………10分 ‎ 所以, 当a=c=2时取等号 ‎ 又根据三角形三边性质,即 所以的取值范围是（2，4]………………………………………………………………12分 方法一：由，得．‎ 为锐角，∴，，∴． ………………………8分 又b=2, ∴‎ ‎ ∴ ……………………………………………………………………9分 ‎∴‎ ‎……………………………………………………………………………………10分 所以的取值范围是（2，4]……………………………………………………………12分 ‎21（本小题12分）‎ 解:（Ⅰ）由抛物线：的方程得焦点F坐标为（），……………1分 M P y x ‎0‎ F ‎ 又圆O：过点F，故……………2分 ‎ 又过点F且与圆O相切的直线被抛物线C截得的弦长为4‎ ‎ 则，所以…………………………………3分 ‎ 故圆O的方程为抛物线的方程为………4分 ‎（Ⅱ）依题意直线的斜率,‎ ‎ 联立得…… ‎ 由得…………………………………………5分 ‎ 因为点O到直线的距离为………………………………6分 ‎ 所以被圆O截得的弦长为 ‎ 化简得，解得………………………………7分 ‎ 又，得………………………………………………………………8分 ‎ 把代入得 ‎ 把代入抛物线方程得P（）…………………………………9分 ‎ 所以l2的斜率为，故l2的方程为，即……………10分 ‎ 由得 由求得………………………………………………………………………11分 所以…………………………………………………12分 ‎22.（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）时，，其定义域为 ‎ 求得……………………………………………………………………1分 ‎ 令 当变化时，的变化情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 递增 ‎ 递减 ‎ ‎ ‎ 所以当，取得极大值，无极小值。……………………………………………3分 ‎ （Ⅱ）当时，令 ‎ 得…………………………………………4分 因为，所以由，得，由，得，‎ 故在上为减函数，在为增函数.‎ 所以，………………………………………………………………………6分 即，恒成立，‎ ‎ 即证：当时成立。……………………………………………………8分 ‎(III)不妨设，且，则中点的坐标为 ‎ 以S为切点的切线的斜率.………………………………9分 ‎ 以T为切点的切线的斜率为……………………10分 如果存在使得，即…… 而且有和 如果将的两边同乘以，得 即 也就是………………………………………………………………………12分 设，则有 令，则 ‎，‎ 因为，所以 ‎ 因此在[1，+）上单调递增，故 ‎ 所以，不存在实数使得…………………………………………………………14分 ‎ ‎ ‎ 命题人：巫升茂 ‎ ‎ ‎ 审核人：李平香