【数学】2019届理科一轮复习北师大版第8章第2节两条直线的位置关系教案 8页

第二节　两条直线的位置关系 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．‎ ‎(对应学生用书第132页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 ‎①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎(2)两条直线垂直 ‎①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎2．两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎3．三种距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|‎ d＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ ‎4.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，‎ 则 ‎[知识拓展]　三种常见的直线系方程 ‎(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．‎ ‎(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.‎ ‎(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)‎ ‎(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　)‎ ‎(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离．(　　)‎ ‎(6)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√‎ ‎2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)‎ A．　　　　　 B．2－ C．－1 D.＋1‎ C　[由题意得＝1，即|a＋1|＝，‎ 又a>0，∴a＝－1.]‎ ‎3．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．‎ ‎2　[由＝－2，得a＝2.]‎ ‎4．已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为________．‎ x＋y－4＝0　[线段PQ的中点坐标为(1,3)，直线PQ的斜率k1＝1，∴直线l的斜率k2＝－1，∴直线l的方程为x＋y－4＝0.]‎ ‎5．直线l1：x－y＋6＝0与l2：3x－3y＋2＝0的距离为________．‎ 　[直线l1可化为3x－3y＋18＝0，则l1∥l2，所以这两条直线间的距离d＝＝.]‎ ‎(对应学生用书第133页)‎ 两条直线的平行与垂直 ‎　(1)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)‎ A． B. C． D. ‎(1)A　(2)D　[(1)当a＝1时，显然l1∥l2，‎ 若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，‎ 所以a＝1或a＝－2.‎ 所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．‎ ‎(2)由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.]‎ ‎[规律方法]　1.已知两直线的斜率存在，判断两直线平行、垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；‎ (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.‎ ‎2.由一般式判定两条直线平行、垂直的依据 若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则①l1∥l2⇔A1B2－A2B1‎ ‎＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.‎ 易错警示：当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·广东揭阳一模)若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为(　　)‎ A．7 B．0或7‎ C．0 D．4‎ ‎(2)(2017·安徽池州月考)已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于________．‎ ‎(1)B　(2)2　[(1)∵直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，‎ ‎∴m(m－1)＝3m×2，∴m＝0或7，‎ 经检验，都符合题意．故选B.‎ ‎(2)由题意知a≠0.∵直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，∴－·＝－1，‎ ab＝(a＞0)，ab≥＝2，当且仅当b＝1时取等号，‎ ‎∴ab的最小值等于2.]‎ 两条直线的交点与距离问题 ‎　(1)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________. ‎ ‎【导学号：79140268】‎ ‎(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．‎ ‎(1)x＋2y－7＝0　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)由得 ‎∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．‎ 设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，‎ 则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.‎ ‎∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.‎ ‎(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为 y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]‎ ‎[规律方法]　1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.‎ ‎2.处理距离问题的两大策略 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.‎ (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·河北省“五个一名校联盟”质检)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)‎ A． B. C． D. ‎(2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围为________．‎ ‎(1)B　(2)[0,10]　[(1)因为l1∥l2，所以＝≠，所以解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2之间的距离d＝＝，故选B.‎ ‎(2)由题意得，点P到直线的距离为＝.‎ ‎∴≤3，即|15－3a|≤15，‎ 解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．]‎ 对称问题 ‎　(1)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．‎ ‎(2)平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线l方程是________．‎ ‎(1)x＋4y－4＝0　(2)y＝2x－3　[(1)设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，‎ 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，‎ 所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.‎ ‎(2)法一：在直线l上任取一点P′(x，y)，其关于点(1,1)的对称点P(2－x,2－y)必在直线y＝2x＋1上，∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0.‎ 因此，直线l的方程为y＝2x－3.‎ 法二：由题意，l与直线y＝2x＋1平行，设l的方程为2x－y＋c＝0(c≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，‎ ‎∴＝，解得c＝－3.‎ 因此所求直线l的方程为y＝2x－3.‎ 法三：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为＝，即y＝2x－3.]‎ ‎1．在题(2)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点”，则结果如何？‎ ‎[解]　设点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为A′(a，b)，‎ 则AA′的中点为，‎ 所以解得 故点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为.‎ ‎2．在题(2)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x－y＝0对称”，则结果如何？‎ ‎[解]　在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于直线x－y＝0的对称点为M(1,0)，点B关于直线x－y＝0的对称点为N(3,1)，‎ 根据两点式，得所求直线的方程为＝，即x－2y－1＝0.‎ ‎[规律方法]　常见对称问题的求解方法 (1)中心对称 ‎①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.‎ (2)轴对称 ‎①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 即转化为垂直与平方问题.‎ ‎②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________. ‎ ‎【导学号：79140269】‎ ‎(2)(2017·河北五校联考)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x ‎＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　　)‎ A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0‎ C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0‎ ‎(1)　(2)D　[(1)由题意得线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，直线AB与直线y＝kx＋b垂直，故解得k＝－，b＝.所以直线y＝kx＋b的方程即为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为.‎ ‎(2)由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，∴M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，∴所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.]‎