陕西省西安中学2020届高三高考数学（理科）适应性试卷（三） Word版含解析 18页

- 1 - 2020 年陕西省西安中学高考数学适应性试卷（理科）（三） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由 ，得 ，选 C. 【考点】集合的交集运算. 【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合 ， ， 三者是不同的． 2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的 个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错． 3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可 借助 Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的 图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用． 4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可 能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集． 2.设复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数除法得到 ，再计算复数模得到答案. { || | 2}A x x= < { 1,0,1,2,3}B = − A B = {0,1} {0,1,2} { 1,0,1}− { 1,0,1,2}− z (1 ) 2i z i+ = | |z = 1 2 2 2 2 1z i= + - 2 - 【详解】 ， ，则 . 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的模，属于简单题. 3.函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知利用二倍角的余弦函数公式可求 ，进而根据余弦函数的周期公式 即可求解. 【详解】解： ， 可得 的最小正周期 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的周期公式，考查了函数思想， 属于基础题. 4.设等比数列 满足 ， ，则 （ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得出. 【详解】解：设等比数列 的公比为 ， ， ， ， ， 解得： ， . 则 . (1 ) 2i z i+ = ( ) ( )( ) 2 12 11 1 1 i iiz ii i i −= = = ++ + − | 2|z = 2( ) cos 2f x x= 2π π 2 π 4 π 1 1( ) cos42 2f x x= + 2 1 cos4 1 1( ) cos 2 cos42 2 2 xf x x x += = = + ( )f x 2 4 2T π π= = { }na 1 2 1a a+ = − 1 3 3a a− = − 4a = 8− 4− { }na q 1 2 1a a+ = − 1 3 3a a− = − 1(1 ) 1a q∴ + = − 2 1(1 ) 3a q− = − 2q = − 1 1a = 3 4 ( 2) 8a = − = − - 3 - 故选： . 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 5. 的展开式中 的系数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析： 系数为 ．故选 D． 考点：二项式定理的应用． 6.已知函数 ，则 A. 是奇函数，且在 R 上是增函数 B. 是偶函数，且在 R 上是增函数 C. 是奇函数，且在 R 上是减函数 D. 是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】 分析：讨论函数 的性质，可得答案. 详解：函数 的定义域为 ，且 即函数 是奇函数， 又 在 都是单调递增函数，故函数 在 R 上是增函数． 故选 A. 点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题. 7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 20，则输出 的值为 的 B 7(1 )x+ 2x 42 35 28 21 2x 2 7 21C = 1( ) 3 ( )3 x xf x = − ( )f x ( ) 13 3 x xf x  = −   ( ) 13 3 x xf x  = −   R ( ) ( )1 1 13 3 3 ,3 3 3 x x x x x xf x f x − −       − = − = − + = − − = −              ( )f x 1y 3 , 3 x x y  = = −   R ( )f x N T - 4 - A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据： ， ，结果为整数，执行 ， ，此时不满足 ； ，结果不为整数，执行 ，此时不满足 ； ，结果为整数，执行 ， ，此时满足 ； 跳出循环，输出 . 本题选择 B 选项. 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 20, 2, 0N i T= = = 20 102 N i = = 1 1T T= + = 1 3i i= + = 5i ≥ 20 3 N i = 1 4i i= + = 5i ≥ 20 54 N i = = 1 2T T= + = 1 5i i= + = 5i ≥ 2T = - 5 - 8.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 “a＞1”⇒“ ”，“ ”⇒“a＞1 或 a＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“ ”， “ ”⇒“a＞1 或 a＜0”， ∴“a＞1”是“ ”的充分非必要条件． 故选 A． 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的充分条件． 2．等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 等价关系， 对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的 充要条件． 9.记函数 的定义域为 ，在区间 上随机取一个数 ，则 的 概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【详解】由 6+x﹣x2≥0 得 x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3， 则 D=[﹣2，3]， 的 Ra∈ 1a > 1 1a < 1 1a ＜ 1 1a ＜ 1 1a ＜ 1 1a ＜ 1 1a ＜ p q q p p q p q p q q p q p p q p q q p A B A B B A A B A B ( ) 26f x x x= + − D [ ]4,5− x x D∈ 1 9 1 3 4 9 5 9 - 6 - 则在区间[﹣4，5]上随机取一个数 x，则 x∈D 的概率 P= = ， 故选：D 【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出 D，以及利用几何 概型的概率公式是解决本题的关键． 10. ， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题； ①如果 ， ， ，那么 . ②如果 ， ，那么 . ③如果 ， ，那么 . ④如果 ， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等. 其中正确的命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 对①，运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断； 对②，运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断； 对③，运用面面平行的性质定理，即可判断； 对④，由平行的传递性及线面角的定义，即可判断④． 【详解】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图， 不妨设 为直线 m， 为直线 n， 所在的平面为 ， 所在的平面为 ， 显然这些直线和平面满足题目条件，但 不成立； 命题②正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 相交于直线 l，则 ，由 知 ，从而 ，结论正确； ( ) ( ) 3 2 5 4 − − − − 5 9 α β m n⊥ m α⊥ / /n β α β⊥ m α⊥ / /n α m n⊥ / /α β m α⊂ / /m β //m n / /α β α β AA′ CD ABCD α ABC D′ ′ β α β⊥ α / /l n m α⊥ m l⊥ m n⊥ - 7 - 由平面与平面平行的定义知命题如果 ， ，那么 .③正确； 由平行的传递性及线面角的定义知命题：如果 ， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等，④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间线面、面面平行和垂直的位置关系，注意运用 判定定理和性质定理，考查推理能力，属于中档题． 11.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子 总数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 设 ， 两 边 取 对 数 ， ， 所 以 ， 即 最 接 近 ，故选 D. 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题 形式给出，但本质就是对数的 运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令 ，并想到两边同时取对数进行求 解，对数运算公式包含 ， ， . 12.已知函数 有唯一零点，则 a= A. B. C. D. 1 【答案】C 的 / /α β m α⊂ / /m β //m n / /α β α β M N 361 80 3 10 M xN = = 361 361 80 80 3lg lg lg3 lg10 361 lg3 80 93.2810x = = − = × − = 93.2810x = M N 9310 361 80 3 10x = log log loga a aM N MN+ = log log loga a a MM N N − = log logn a aM n M= 2 1 1( ) 2 ( )x xf x x x a e e− − += − + + 1 2 − 1 3 1 2 - 8 - 【解析】 函数 的零点满足 ， 设 ，则 ， 当 时， ；当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增， 当 时，函数 取得最小值，为 . 设 ，当 时，函数 取得最小值，为 ， 若 ，函数 与函数 没有交点； 若 ，当 时，函数 和 有一个交点， 即 ，解得 .故选 C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知球的体积为 ，则该球主视图的面积等于________ 【答案】 【解析】 由球的体积公式，可得 ，则 ，所以主视图的面积为 . 14.某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女 生的概率为________． 【答案】 【解析】 分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公 式求概率. ( )f x ( )2 1 12 e ex xx x a − − +− = − + ( ) 1 1e ex xg x − − += + ( ) ( )2 1 1 1 1 1 1 1 e 1e e e e e x x x x x xg x − − − + − − − −′ = − = − = ( ) 0g x′ = 1x = 1x < ( ) 0g x′ < ( )g x 1x > ( ) 0g x′ > ( )g x 1x = ( )g x ( )1 2g = ( ) 2 2h x x x= − 1x = ( )h x 1− 0a− > ( )h x ( )ag x− 0a− < ( ) ( )1 1ag h− = ( )h x ( )ag x− 2 1a− × = − 1 2a = 36π 9π 34 363 rπ π= 3r = 23 9S π π= × = 3 .10 - 9 - 详解：从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 10 种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 3 种， 因此所求概率为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区 别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目 具体化. (4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 15.已知点 在圆 上，点 的坐标为 ， 为原点，则 的最大值为 _________． 【答案】6 【解析】 试题分析： 所以最大值是 6. 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为 是确定的，所以根据向量数量积的几何 意义：若 最大，即向量 在 方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点 在圆与 轴的右侧交点处时最大，从而根据几何意义直接得到运算结果为 . 16.已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线 N 的两条渐近线 与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 __________；双曲线 N 的离心率为__________． 【答案】 (1). (2). 2 【解析】 分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 关系，即得双曲线 N 的离心 率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，解得椭圆 M 的离心率. 3 .10 P 2 2 1x y+ = A ( 2,0)− O AO AP⋅  | | | | cos | | | | 2 (2 1) 6.AO AP AO AP AO APθ⋅ = ⋅ ≤ ⋅ ≤ × + =      AO AO AP⋅  AP AO P x 2 3 6× = 2 2 2 2 1( 0)x yM a ba b + = > >： 2 2 2 2 1x yN m n − =： 3 1− 2 2,m n 3c c+ 3 2c c a+ = - 10 - 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，所以椭圆 M 的离心率为 双曲线 N 的渐近线方程为 ，由题意得双曲线 N 的一条渐近线的倾斜角为 ， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或 不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 三.解答题：本题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ， . （Ⅰ）求 和 的值； （Ⅱ）求 的值. 【答案】（Ⅰ） . = .（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系 ，再根据余弦定理求出 ， 进而得到 ，由 转化为 ，求出 ，进而求出 ，从而求出 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ） 解：在 中，因为 ，故由 ，可得 .由已知及 余弦定理，有 ，所以 . 由正弦定理 ,得 . 所以， 的值为 ， 的值为 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及 ，得 ，所以 ， 3c c+ 3 2c c a+ = 2 3 1. 1 3 c a = = − + ny xm = ± 2 2 2 π πtan 33 3 n m ∴ = =， 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2.m n m me em m + +∴ = = = ∴ =， , ,a b c , ,a b c b ,a c , ,a b c ABC , ,A B C , ,a b c a b> 5, 6a c= = 3sin 5B = b sin A πsin(2 )4A+ 13b = sin A 3 13 13 7 2 26 2a b= cos A sin A 2a b= sin 2sinA B= sin B cos B 2B ABC a b> 3sin 5B = 4cos 5B = 2 2 2 2 cos 13b a c ac B= + − = 13b = sin sin a b A B = sin 3 13sin 13 a BA b = = b 13 sinA 3 13 13 a c< 2 13cos 13A = 12sin2 2sin cos 13A A A= = - 11 - .故 . 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系， 利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余 弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合 正、余弦定理解题. 18.已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，半径为 2. （1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积； （2）设 ， ， 是底面半径，且 ， 为线段 的中点，求异面 直线 与 所成的角的正切值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由已知求得圆锥的高，再由圆锥体积公式求解； （2）证明 平面 ，取 中点 ，可得 为异面直线 与 所成的角， 再证明 ，然后求解三角形可得异面直线 与 所成的角的正切值. 【详解】（1）由圆锥母线长为 4，即 ，底面半径 ， 可得圆锥的高 . 该圆锥的体积 ； （2） 底面 ， ， 又 ，即 ， ， 2 5cos2 1 2sin 13A A= − = − π π π 7 2sin 2 sin2 cos cos2 sin4 4 4 26A A A + = + =   P O 4PO = OA OB 90AOB∠ = ° M AB PM OB 8 3 3 π 17 OB ⊥ POA OA H PMH∠ PM OB MH PH⊥ PM OB 4PB = 2OB = 2 24 2 2 3PO = − = ∴ 21 8 32 2 33 3V π π= × × = PO ⊥ AOB PO OB∴ ⊥ 90AOB∠ = ° OB OA⊥ PO OA O= - 12 - 平面 ， 取 中点 ，连接 ，如图 则 // ，且 . 为异面直线 与 所成的角. 由 平面 ， // ，可得 平面 ，得 . 在 中，求得 ， 在 中，可得 . 【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查异面直线所成角，考查计算能力，属中档题. 19. 为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标 准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足小时的部 分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的 概率分别为 ；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 ；两人滑雪时间都不会 超过 3 小时. （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 ． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 试题分析：（1）甲、乙两人所付费用相同即为 0，40，80 元，求出相应的概率，利用互斥事 件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）确定变量的取值，求出相应 的概率，即可求得 的分布列与数学期望． 试题解析：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为 0 元，40 元，80 元， OB∴ ⊥ POA OA H MH MH OB 1 12MH OB= = PMH∴∠ PM OB OB ⊥ POA MH OB MH ⊥ POA MH PH⊥ Rt POH△ 2 24 1 17PH = + = Rt PHM△ tan 17PHPMH MH ∠ = = 1 1,4 6 1 2,2 3 ξ ξ ( )E ξ 5 12 ξ - 13 - 两人都付 0 元的概率为 ， 两人都付 40 元的概率为 ， 两人都付 80 元的概率为 ，则两人所付费用相同的 概率为 . (2)由题意得，ξ 所有可能的取值为 0,40,80,120,160. ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 40 80 120 160 . 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何 概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求 出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列 或事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实 际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布 ）， 1 1 1 1 4 6 24P = × = 2 1 2 1 2 3 3P = × = 3 1 1 1 2 1 1 1(1 ) (1 )4 2 6 3 4 6 24P = − − × − − = × = 1 2 3 1 1 1 5 24 3 24 12P P P P= + + = + + = 1 1 1( 0) 4 6 24P ξ = = × = 1 2 1 1 1( 40) 4 3 2 6 4P ξ = = × + × = 1 1 1 2 1 1 5( 80) 4 6 2 3 4 6 12P ξ = = × + × + × = 1 1 1 2 1( 120) 2 6 4 3 4P ξ = = × + × = 1 1 1( 160) 4 6 24P ξ = = × = ξ ξ P 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 1 1 5 1 1( ) 0 40 80 120 160 8024 4 12 4 24E ξ = × + × + × + × + × = ( , )X B n p - 14 - 则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（ ）求得. 20.已知函数 （I）求 的导函数 （II）求 在区间 上的取值范围 【答案】（I） ；（II） . 【解析】 【详解】试题分析：本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分 析问题和解决问题的能力． （Ⅰ）利用求导法则及求导公式，可求得 的导数；（Ⅱ）令 ，解得 或 ，进而判断函数 的单调区间，结合区间端点值求解函数 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为 ， ， 所以 ． （Ⅱ）由 ，解得 或 ． 因为 x （ ，1） 1 （1， ） （ ， ） – 0 + 0 – f（x） 0 ( )E X np= ( ) ( ) 1- 2 -1 e 2 −  = ≥   xf x x x x ( )f x ( )f x 1 +2  ∞ ， ( ) ( )( )1 2 1 2 1( )22 1 xx x e f x x x −− − − = > − ′ 1 210, 2 e −      ( )f x '( ) 0f x = 1x = 5 2 ( )f x ( )f x 1( 2 1)' 1 2 1 x x x − − = − − ( )'x xe e− −= − 1'( ) (1 ) ( 2 1) 2 1 x xf x e x x e x − −= − − − − − (1 )( 2 1 2) 1( )22 1 xx x e x x −− − −= > − (1 )( 2 1 2)'( ) 0 2 1 xx x ef x x −− − −= = − 1x = 5 2x = 1 2 1 2 5 2 5 2 5 2 +∞ ( )f x′ 1 21 2 e −   5 21 2 e −  - 15 - 又 ， 所以 f（x）在区间 上的取值范围是 ． 【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识 来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出 ，由 的正负，得出函数 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量 的取值范围，得出函数 的极值或最值． 21.如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满 足 PA，PB 的中点均在 C 上． （Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； （Ⅱ）若 P 是半椭圆 x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 分析: （Ⅰ）设 P,A,B 的纵坐标为 ，根据中点坐标公式得 PA,PB 的中点坐标，代入 抛 物 线 方 程 ， 可 得 ， 即 得 结 论 ； （ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 可 得 △PAB 面 积 为 ，利用根与系数的关系可表示 为 的函数，根据半椭圆范围以 21( ) ( 2 1 1) 02 xf x x e−= − − ≥ 1[ , )2 +∞ 1 21[0, ]2 e − '( )f x '( )f x ( )f x ( )f x 2 4 y 15 106 2, 4       0 1 2,y y y， 1 2 02y y y+ = 1 2 1 2 PM y y− 1 2PM y y−， 0y - 16 - 及二次函数性质确定面积取值范围. 【详解】详解：（Ⅰ）设 ， ， ． 因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程 ， 即 的两个不同的实数根． 所以 ． 因此， 垂直于 轴． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以 ， ． 因此， 的面积 ． 因为 ，所以 ． 因此， 面积的取值范围是 ． 点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为 一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系， 分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确 定值域. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极 坐标方程为 ． （1） 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ，求点 的轨迹 的直角坐标方程； 的 ( )0 0,P x y 2 1 1 1 ,4A y y     2 2 2 1 ,4B y y     PA PB 1y 2y 22 0 0 1 442 2 y xy y ++  = ⋅   2 2 0 0 02 8 0y y y x y− + − = 1 2 02y y y+ = PM y 1 2 0 2 1 2 0 0 2 , 8 , y y y y y x y + =  = − ( )2 2 2 1 2 0 0 0 1 3 38 4PM y y x y x= + − = − ( )2 1 2 0 02 2 4y y y x− = − PAB△ ( )3 2 2 1 2 0 0 1 3 2 42 4PABS PM y y y x= ⋅ − = −  2 2 0 0 01( 0)4 yx x+ = < [ ]2 2 0 0 0 04 4 4 4 4,5y x x x− = − − + ∈ PAB△ 15 106 2, 4       xOy x 1C cos 4ρ θ = M 1C P OM 16OM OP⋅ = P 2C - 17 - （2）设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）设出 P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐 标方程为 ； （2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数， 结合三角函数的性质可得 面积的最大值为 . 试题解析：解：（1）设 P 极坐标为（ ）（ ＞0），M 的极坐标为 （ ）由题 设知 |OP|= ， = . 由 |OP|=16 得 的极坐标方程 因此 的直角坐标方程为 . （2）设点 B 的极坐标为 （ ）.由题设知|OA|=2， ，于是△OAB 面积 当 时， S 取得最大值 . 所以△OAB 面积的最大值为 . 点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、 线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直 接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 ， . （1）求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ， ，求实数 的取值范围. 的 A 2, 3 π    B 2C ABO∆ ( )2 2x 2 y 4 0x− + = ≠（ ） 2 3+ ( ) ( )2 22 4 0x y x− + = ≠ OAB 2 3+ ,ρ θ ρ ( )1,ρ θ 1 0ρ ＞ ρ OM 1 4 cosθ ρ = OM ⋅ 2C 4cos 0ρ θ ρ= （ ＞ ） 2C ( )2 2x 2 y 4 0x− + = ≠（ ） ( ),αB ρ 0B ρ ＞ 4cosαB ρ = 1 3S AOB 4cosα | sin(α ) | 2 | sin(2α ) | 2 32 3 3 2BOA sin π πρ ∠= ⋅ = ⋅ − = − − ≤ + α 12 π= − 2 3+ 2 3+ 2( ) 4f x x ax= − + + ( ) | 1| | 1|g x x x= + + − ( ) 3g x < ( ) ( )f x g x [ 1− 1] a - 18 - 【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】 【分析】 （1）将 写为分段函数的形式，然后根据 ，利用零点分段法解不等式即可； （2）根据条件可知，若不等式 的解集包含 ， ，则当 ， 时， ， 然后根据二次函数的性质，求出 的取值范围. 【详解】解：（1） . ， ，或 ，或 ， ，或 ，或 ， ， 不等式的解集为 . （2）当 ， 时， ， 若不等式 的解集包含 ， ，则 当 ， 时， ， 又 在 ， 的最小值为 ， （1） ， 只需 且 （1） ， ， 的取值范围为 ， 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查了分类讨论思想和转化思 想，属基础题. 3 3( , )2 2 − [ 1− 1] ( )g x ( ) 3g x < ( ) ( )f x g x [ 1− 1] [ 1x∈ − 1] ( ) 2f x  a 2 , 1 ( ) 1 1 2, 1 1 2 , 1 x x g x x x x x x > = + + − = − − < −   ( ) 3g x < ∴ 2 3 1 x x <  > 1 1x−   2 3 1 x x − <  < − ∴ 21 3x< < 1 1x−   1 12 x− < < − ∴ 3 3 2 2x− < < ∴ 3 3( , )2 2 − [ 1x∈ − 1] ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x [ 1− 1] [ 1x∈ − 1] ( ) 2f x  ( )f x [ 1− 1] { ( 1)min f − f } ∴ ( 1) 2f −  f 2 1 1a∴−   a∴ [ 1− 1]