高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4-3三角恒等变形练习理北师大版 12页

‎4.3 三角恒等变形 核心考点·精准研析 ‎ 考点一　三角函数式的化简求值  ‎ ‎1.(2020·阜阳模拟)若sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β= ,且α为第二象限角,则tan = (　　)‎ A.7　 B. C.-7　 D.- ‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈ ,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.化简: =　　　　. ‎ ‎【解析】1.选B.因为sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β= ,‎ 即-cos(α-β+β)=-cos α= ,所以cos α=- .‎ 又因为α为第二象限角,所以tan α=- ,‎ 所以tan = = .‎ ‎2.选B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α= .‎ - 12 -‎ ‎3.原式= ‎ ‎= = =1.‎ 答案:1‎ ‎ ‎ ‎1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.‎ 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.‎ ‎【一题多解】‎ 倍角降次解T3,原式= ‎ ‎= = = =1.‎ - 12 -‎ 三角形法解T2,因为α∈ ,所以sin α>0,cos α>0,由2sin 2α ‎=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,tan α= ,画直角三角形如图,‎ 不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为 ,sin α= .‎ ‎ 考点二　条件求值问题  ‎ 命题 精解读 ‎1.考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.‎ ‎(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.‎ ‎2.怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.‎ 学霸 好方法 条件求值的四个必备结论 ‎(1)降幂公式:cos2α= ,sin2α= .‎ ‎(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.‎ ‎(3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).‎ ‎(4)辅助角公式:asin x+bcos x=‎ ‎ sin(x+φ) 其中sin φ= ,cos φ= ‎ ‎ 给角求值 ‎【典例】(2019·沈阳四校联考)化简: - =　　　　.‎ - 12 -‎ ‎【解析】 - = = = =4.‎ 答案:4‎ ‎ ‎ 给角求值如何求解?‎ 提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.‎ ‎(2)观察名,尽可能使函数统一名称.‎ ‎(3)观察结构,利用公式,整体化简.‎ ‎ 给值求值 ‎【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. ‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan = ,则tan α=　　　　. ‎ ‎【解析】1.由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α ‎+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2 β=1,即2+2sin αcos β ‎+2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=- .‎ 答案:- ‎ ‎2.因为tan =tan = ,‎ 所以 = ,解得tan α= .‎ 答案: ‎ - 12 -‎ ‎ ‎ 给值求值问题如何求解?‎ 提示:(1)化简所求式子.‎ ‎(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).‎ ‎(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.‎ ‎ 给值求角 ‎【典例】(2020·长春模拟)已知sin α= ,sin(α-β)=- ,‎ α,β均为锐角,则角β值是　　　　. ‎ ‎【解析】因为α,β均为锐角,所以- <α-β< .‎ 又sin(α-β)=- ,所以cos(α-β)= .‎ 又sin α= ,所以cos α= ,sin β=sin[α-(α-β)]‎ ‎=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)‎ ‎= × - × = ,所以β= .‎ 答案: ‎ ‎ ‎ 如何选取合适的三角函数求角?‎ 提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.‎ ‎(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是 ,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为 ,选正弦函数较好.‎ ‎(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.‎ - 12 -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.(2020·滁州模拟)若锐角α,β满足tan α+tan β= - tan αtan β,则α+β=　　　　. ‎ ‎【解析】由已知可得 = ,即tan(α+β)= .又因为 α+β∈(0,π),所以α+β= .‎ 答案: ‎ ‎2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,sin2 +cos = ,且 sin B= ,则A+B= (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】选C.因为sin2 +cos = ,‎ 所以 + cos A- sin A= ,‎ 即 - sin A= ,解得sin A= .‎ 因为A为钝角,所以cos A=- =- =- .由sin B= ,且B为钝角,‎ 得cos B=- =- =- .所以cos(A+B)=cos Acos B - 12 -‎ ‎-sin Asin B= × - × = .又A,B都为钝角,即 A,B∈ ,所以A+B∈(π,2π),所以A+B= .‎ ‎3.(2020·佛山模拟)已知cos α= ,α∈(-π,0),则cos = (　　)‎ A.- B.- C. D. ‎ ‎【解析】选A.因为cos α= ,α∈(-π,0),‎ 所以sin α=- =- ,‎ 所以cos =cos αcos +sin αsin = × + × =- .‎ ‎ ‎ ‎1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°= (　　)‎ A. B.- C. D.- ‎ ‎【解析】选D.‎ sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°)‎ ‎=sin215°-cos215°=-cos 30°=- .‎ ‎2.定义运算 =ad-bc.若cos α= , = ,0<β<α< ,则β=　　　　. ‎ - 12 -‎ ‎【解析】由已知得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= .又0<β<α< ,所以0<α-β< ,所以cos(α-β)= = ,而cos α= ,所以 sin α= ,于是sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-‎ cosαsin(α-β)= × - × = ,所以β= .‎ 答案: ‎ ‎ 考点三　三角恒等变换的综合应用  ‎ ‎【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.‎ ‎【解析】连接BP,设∠CBP=α,‎ 其中0≤α< ,‎ 则PM=1-sin α,PN=2-cos α,‎ 则周长C=6-2(sin α+cos α)‎ ‎=6-2 sin ,‎ 因为0≤α< ,所以 ≤α+ < ,‎ 故当α+ = ,即α= 时,周长C有最小值6-2 .‎ - 12 -‎ ‎2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,x∈R.‎ ‎(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.‎ ‎(2)求函数y= + 的值域. ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎(1)‎ 看到“f(x+θ)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+θ)=f(x+θ)‎ ‎(2)‎ 看到“求函数y= + 的值域”,想到先化简y= + ‎ ‎【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有 sin(x+θ)=sin(-x+θ),‎ 即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,‎ 故2sin xcos θ=0,‎ 所以cos θ=0.‎ 又θ∈[0,2π),因此θ= 或 .‎ ‎(2)y= + ‎ ‎=sin2 +sin2 ‎ ‎= + ‎ - 12 -‎ ‎=1- ‎ ‎=1- cos .‎ 因此,函数的值域是 .‎ ‎ ‎ ‎1.三角函数应用题的处理方法 ‎(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.‎ ‎(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.‎ ‎2.三角恒等变换在研究三角函数图像和性质中的应用 ‎(1)图像变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin +b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图像变换.‎ ‎(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤 ‎①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;‎ ‎②利用公式T= (ω>0)求周期;‎ ‎③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;‎ ‎④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的单调区间.‎ ‎ ‎ 1. 如图是半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,求α为何值时矩形的面积最大,并求出最大值.‎ - 12 -‎ ‎【解析】因为∠SOP=α,所以PS=sin α,SR=2cos α,故S矩形PQRS=SR·PS ‎=2cos α·sin α=sin 2α,故当α= 时,矩形的面积有最大值1.‎ ‎2.(2020·合肥模拟)已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期.‎ ‎(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】(1)由已知得f(x)= - = - cos 2x ‎= sin 2x- cos 2x= sin .‎ 所以f(x)的最小正周期T= =π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)= sin .‎ 因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ ,‎ 所以当2x- =- ,‎ 即x=- 时,f(x)有最小值- ;‎ - 12 -‎ 当2x- = ,即x= 时,f(x)有最大值 .‎ 所以f(x)在 上的最大值为 ,最小值为- .‎ - 12 -‎