2021版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-6正弦定理和余弦定理练习苏教版 13页

‎4.6 正弦定理和余弦定理 考点一　正弦定理 ‎ ‎1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对边的边长.若cos C+sin C-‎ ‎=0,则的值是 (　　)‎ A.-1 　 B.+1‎ C.+1 　 D.2‎ ‎2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=‎2A,则的取值范围是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+‎ acos B=0,则B=________.  ‎ ‎【解析】1.选B.在△ABC中,由cos C+sin C-=0,由两角和的正弦公式得2sinsin=2,所以C+=B+=,解得C=B=,所以A=.由正弦定理得===+1.‎ ‎2.选D.因为B=‎2A,‎ 所以sin B=sin ‎2A=2sin Acos A,‎ - 13 -‎ 由正弦定理得b=2acos A,‎ 所以=,所以==tan A.‎ 因为△ABC是锐角三角形,‎ 所以解得0,所以cos A=.由条件及正弦定理得sin A=‎ ‎2sin Ccos A,即=2×sin C,所以sin C=.‎ 考点二　余弦定理 ‎ ‎【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=b,sin B=‎ sin C.‎ ‎(1)求cos A的值.‎ ‎(2)求cos 的值.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎(1)看到“sin B=sin C”,想到运用正弦定理,转化为b=c,又由“a-c=b”运用余弦定理求得cos A.(2)看到“cos”想到公式cos(A-B)=cos - 13 -‎ ‎ Acos B+sin Asin B.利用(1)得出的cos A的值及倍角公式求出cos‎2A和sin‎2A,代入公式方可求出cos的值 ‎【解析】(1)在△ABC中,由=及sin B=sin C,‎ 可得b=c,又由a-c=b,得a=‎2c,‎ 所以cos A===.‎ ‎(2)在△ABC中,由cos A=,可得sin A=.‎ 于是,cos ‎2A=2cos‎2A-1=-,‎ sin ‎2A=2sin A·cos A=.‎ 所以cos=cos ‎2A cos +sin 2Asin ‎ ‎=×+×=.‎ ‎　用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.‎ 第二步:求解.将已知代入定理求解.‎ ‎1.(2019·长沙模拟)已知在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD=AD,BC=2AD,则sin C的值为 (　　)‎ - 13 -‎ A. 　 B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选A.设AB=AD=‎2a,则BD=a,则BC=‎4a,所以cos∠ADB=‎ ‎==,所以cos∠BDC==-,整理得CD2+3aCD‎-10a2=0,解得CD=‎2a或者CD=-‎5a(舍去).所以cos C===,而C∈,所以sin C=.‎ ‎2.(2020·晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,sin∠ABC=,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BE⊥AC,BE交AD于点F.‎ ‎(1)求AC的长.‎ ‎(2)求cos∠DAC及AF的长.‎ ‎【解析】(1)在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,‎ sin∠ABC=,BC=6,由正弦定理得=,所以AC===5.‎ - 13 -‎ ‎(2)由sin∠BAC=,sin∠ABC=,得 cos∠BAC=,cos∠ABC=,‎ 所以cos C=-cos (∠BAC+∠ABC)‎ ‎=-cos∠BACcos ∠ABC+sin∠BACsin∠ABC ‎=-×+×=.‎ 因为BE⊥AC,‎ 所以CE=BCcos C=6×=,AE=AC-CE=.‎ 在△ACD中,AC=5,CD=BC=2,cos C=,‎ 由余弦定理得AD=‎ ‎==,‎ 所以cos∠DAC==‎ ‎=.由BE⊥AC,得AFcos∠DAC=AE,‎ 所以AF==.‎ 考点三　 正、余弦定理的综合应用  ‎ 命 题 精 考什么:判断三角形形状、个数、面积问题,最值、范围问题;‎ 怎么考:‎ - 13 -‎ 解 读 考查解三角形问题常与平面几何交汇,题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等;与平面向量交汇考查,解三角形还常与不等式,三角函数的性质交汇命题.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.判断三角形形状的两种思路 ‎(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.‎ ‎(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.‎ ‎2.在三角形中求边、角的方法 ‎(1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.‎ ‎(2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解.‎ 判断三角形个数、形状 ‎【典例】1.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有 ‎(　　)‎ A.1个　 B.2个　‎ C.0个　 D.无法确定 ‎2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,则△ABC的形状是 (　　)‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 ‎ D.等腰三角形或直角三角形 ‎【解析】1.选B.因为bsin A=×=,所以bsin A