2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式教学案含解析新人教A版 17页

第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).‎ 知 识 梳 理 ‎1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.‎ cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α.‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ tan 2α＝.‎ ‎3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).‎ ‎2.cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ sin α±cos α＝sin.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)‎ ‎(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β ‎＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)‎ ‎(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ 解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2.(新教材必修第一册P217T3改编)已知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，‎ ‎∴sin＝－×＋×＝－.‎ 答案　C ‎3.(老教材必修4P131T4改编)已知tan＝2，则tan α＝(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 解析　tan＝＝2，解得tan α＝.‎ 答案　A ‎4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 解析　由题意得cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝1－＝.‎ 答案　B ‎5.(2020·揭阳一模)若sin＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 解析　sin＝cos 2α＝，sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝－.‎ 答案　D ‎6.(2019·南昌一模)已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 解析　由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，‎ 则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°‎ ‎＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°‎ ‎＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.‎ 答案　A 考点一　三角函数式的化简 ‎【例1】 (1)化简：＝________.‎ 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝cos 2x.‎ 答案　cos 2x ‎(2)化简：－2cos(α＋β).‎ 解　原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 规律方法　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：‎ 一看角，二看名，三看式子结构与特征.‎ ‎(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.‎ ‎【训练1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.‎ ‎(2)化简：·＝________.‎ 解析　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)‎ ‎＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)‎ ‎＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).‎ ‎(2)原式＝tan(90°－2α)· ‎＝·· ‎＝··＝.‎ 答案　(1)sin(α＋γ)　(2) 考点二　三角函数式的求值　多维探究 角度1　给值求值 ‎【例2－1】 (1)已知x∈，tan x＝，则＝________.‎ ‎(2)(2020·康杰中学联考)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　)‎ A.＋ B.－ C.＋ D.－ 解析　(1)由题意得，4sin x＝3cos x，‎ 又sin2x＋cos2x＝1，且x∈，‎ 解得cos x＝，sin x＝，‎ 又＝ ‎＝＝ ‎＝2sin x＝2×＝.‎ ‎(2)由tan α－tan β＝3，得－＝3，‎ 即＝3.‎ ‎∴sin(α－β)＝3cos αcos β.‎ 又知α－β＝，∴cos αcos β＝.‎ 而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，‎ ‎∴sin αsin β＝－.‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.‎ 答案　(1)　(2)D 规律方法　给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.‎ 角度2　给角求值 ‎【例2－2】 (1)＋＝(　　)‎ A.－4 B.4 C.－2 D.2‎ ‎(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.‎ 解析　(1)＋＝－ ‎＝＝ ‎＝＝＝4.‎ ‎(2)原式＝·‎ sin 80°＝·‎ cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ 答案　(1)B　(2) 规律方法　给角(非特殊角)求值的三个基本思路：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化简分子、分母使之出现公约式，约分后求值.‎ 角度3　给值求角 ‎【例2－3】 (1)已知coscos＝－，α∈，则α＝________.‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.‎ 解析　(1)coscos＝sincos ‎＝sin＝－，即sin＝－，‎ 又α∈，则－2α∈，‎ 所以－2α＝－，得α＝.‎ ‎(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ‎＝＝>0，‎ 又α∈(0，π)，∴0<α<，‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 答案　(1)　(2)－ 规律方法　“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.‎ ‎【训练2】 (1)(角度1)(2020·普宁联考)已知tan＝2，α∈，则sin cos ＋cos2－＝________.‎ ‎(2)(角度2)cos2＋sin cos ＝________.‎ ‎(3)(角度3)已知α，β为锐角，cos α＝，且sin(α＋β)＝，则角β＝________.‎ 解析　(1)∵tan＝2，∴tan＝－2，‎ 即tan＝＝＝－2，‎ ‎∴cos＝－2sin.‎ ‎∵α∈，∴α＋∈.‎ 又知cos2＋sin2＝1，‎ 解得cos＝－，sin＝.‎ 则sin cos ＋cos2－＝sin α＋cos α ‎＝sin＝.‎ ‎(2)cos2＋sin cos ＝＋sin ‎＝＋cos＋sin ‎＝＋×＋×＝.‎ ‎(3)∵α为锐角，且cos α＝，‎ ‎∴sin α＝＝.‎ ‎∵α，β∈，∴0<α＋β<π.‎ 又∵sin(α＋β)，‎ ‎∴cos(α＋β)＝－.‎ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝＝.‎ ‎∴β＝.‎ 答案　(1)　(2)　(3) 考点三　三角恒等变换的应用 ‎【例3】 已知函数f(x)＝＋2sin x.‎ ‎(1)在△ABC中，cos A＝－，求f(A)的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程.‎ 解　(1)由sin x＋cos x≠0得x≠kπ－，k∈Z.‎ 因为f(x)＝＋2sin x＝＋2sin x ‎＝cos x＋sin x，‎ 在△ABC中，cos A＝－<0，所以0，‎ 因为cos 2α＝sin，‎ 所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(sin α＋cos α)，‎ 所以cos α－sin α＝，可得α∈.‎ 将cos α－sin α＝两边平方可得1－2sin αcos α＝，‎ ‎∴sin αcos α＝，∴＝.‎ 分子、分母同除以cos2α可得＝，‎ 解得tan α＝或(舍)，即tan α＝.‎ 答案　A ‎13.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.‎ 解析　由cos α＝，0<α<，‎ 得sin α＝＝＝，‎ 由0<β<α<，得0<α－β<，‎ 又∵cos(α－β)＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝＝＝.‎ 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎∴β＝.‎ 答案　 ‎14.已知函数f(x)＝·cos(x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π).‎ ‎(1)求a，θ的值；‎ ‎(2)若α∈，f＋coscos 2α＝0，求cos α－sin α的值.‎ 解　(1)因为f(x)＝cos(x＋θ)是奇函数，‎ 所以cos(x＋θ)＝－cos，‎ 化简、整理得，cos xcos θ＝0，则有cos θ＝0，‎ 由θ∈(0，π)，得θ＝，‎ 所以f(x)＝－sin x·.‎ 由f＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin 2x，‎ f＋coscos 2α＝0⇒sin＝coscos 2α，‎ 因为cos 2α＝sin＝sin ‎＝2sincos，‎ 所以sin＝cos2sin.‎ 又α∈，‎ 所以sin＝0或cos2＝.‎ 由sin＝0⇒α＝，‎ 所以cos α－sin α＝cos －sin ＝－；‎ 由cos2＝，<α＋<，‎ 得cos＝－⇒(cos α－sin α)＝－⇒cos α－sin α＝－.‎ 综上，cos α－sin α＝－或cos α－sin α＝－.‎ C级　创新猜想 ‎15.(多选题)已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　)‎ A.f(x)在区间上单调递增 B.f(x)图象的一个对称中心是 C.f(x)图象的一条对称轴是x＝－ D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称 解析　f(x)＝sin－2sincos ‎＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x ‎＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin，‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 当k＝0时，⊆，故A正确；‎ f＝sin ＝1≠0，故B不正确；‎ f＝－sin ＝－1，故C正确；‎ 将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确.‎ 答案　AC