高中数学必修2教案：1_2_2空间几何体的直观图 (2) 7页

第二课时 空间几何体的直观图 ‎（一）数学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图.‎ ‎（2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点.‎ ‎2．过程与方法 学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图.‎ ‎3．情感态度与价值观 ‎（1）提高空间想象力与直观感受.‎ ‎（2）体会对比在学习中的作用.‎ ‎（3）感受几何作图在生产活动中的应用.‎ ‎（二）教学重点、难点 重点、难点：用斜二测面法画空间几何值的直观图.‎ ‎（三）教学方法 在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图，通过多媒体课件的具体准确逐步演示，使学生熟练掌握并归纳斜二测画法去画直棱柱的基本步骤.‎ 教学环节 数学内容 师生互动 设计意图 创设情境 三视图用三个角度的正棱影图反映空间几何体的形状和大小，我们能否将空间图形用一个平面图形来表示呢？‎ 学生讨论发现能，如教材图1.1—2如图1.1—10.‎ 师：这些平面图形既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们称这种图形为立体图形的直观图.‎ 设疑激趣点出主题 探索新知 ‎1．水平放置的平面图形的直观图的画法.‎ ‎（1）例1 用斜二测法画水平放置的正六边形的直观图.‎ 画法：（1）如图（1），在正方边开ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′ = 45°.‎ ‎（2）在图（2）中，以O′为中点，在x′ 轴上取A′D′=AD，在y′ 轴上取M′ N ′ =MN. 以点N ′ 为中点，画B′C′ 平行于x′ 轴，并且等于BC；再以M ′为中点，画E′F′平行于x′ 轴，并且等于EF.‎ ‎（3）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′ 轴和y′‎ 教师用多媒体课件边演示边讲解.‎ 学生观察、思考、归纳 师：从以上演示我们可以发现画一个水平放置的平面多边形直观图的关键是什么？‎ 生：确定多边形顶点的位置.‎ 师：请大家尝试归纳平面多边形直观图的基本步骤.‎ 生：①选取恰当的坐标系.‎ ‎②画平行线段，截取长度 ‎③依次连结各顶点成图（老师板书）‎ 师：有哪些注意事项 生1：平行于x轴，y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴.‎ 多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.‎ ‎ 轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′（图（3））‎ ‎2） 斜二测画法基本步骤.‎ ‎（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平表示水平面.‎ ‎（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.‎ ‎（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.‎ 生2：原图中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变平行于y轴的线段长度，为原来的一半.‎ 师在连虚实线的使用等方面予以补充.‎ ‎2．简单几何体的直观图画法 例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是‎4cm，‎3cm，‎2cm的长方体ABCD – A′B′C′D′的直观图. ‎ 画法：（1）画轴. 如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.‎ 师：下面我们体会一下，用斜二测画长、宽、高分别为‎4cm、‎3cm、‎2cm的长方体ABCD、A′B′C′D′的直观图的画法.‎ 教师边演示边讲解，学生边观察，边思考，边总结.‎ 师：请大家归纳一下，直棱柱的直观图画法.‎ 生：①画轴 ②画底画 ③画侧棱 ④成图 师：有什么注意事项吗？‎ 生1：竖直方面保持平行关系和长度关系不变.‎ 多媒体演示提高上课效率.师生互动，突破重点.‎ ‎（2）画底面. 以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN = ‎4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ =cm. 分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.‎ ‎（3）画侧棱. 过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取‎2 cm长的线段A′A，B′B，C′C，D′D.‎ ‎（4）成图，顺次连接A，B，C，D，并加以整理（去掉辅助线，将被挡的部分改为虚线），就得长方体的直观图.‎ 生2：被遮的部分用虚线.‎ ‎3．简单组合体画法 例3 已知几何体的三视图说出它的结构特征，并用斜二测画法画它的直观图.‎ 画法：（1）画轴. 如图(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90°.‎ ‎（2）画圆的柱的下底面. 在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA = OB. 选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.‎ ‎（3）在Oz上截取点O′，使OO′ 等于正视图中OO′ 的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.‎ ‎（4）画圆锥的顶点. 在Oz 学生讨论然后简答.‎ 生1：这个几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆柱上底面与圆锥底面相重合.‎ 生2：我们可以先画出上部的圆锥.‎ 师给予肯定然后点拔注意事项.‎ 前后联系加强知识的系统性.‎ 上截取点P，使PO′ 等于正视图中相应的高度.‎ ‎（5）成图. 连接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图.（如图(2)）‎ 画轴的下底面. ‎ 正视图 O′‎ O O O′′‎ O′‎ 侧视图 侧视图 随堂练习 ‎1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）：‎ ‎（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形.‎ 答案：略 ‎2．判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.‎ ‎（1）角的水平放置的直观图一定是角. （ √ ）‎ ‎（2）相等的角在直观图中仍然相等. （ × ）‎ ‎（3）相等的线段在直观图中仍然相等. （ × ）‎ ‎（4）若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行. （ √ ）‎ ‎3．利用斜二测画法得到的 ‎①三角形的直观图是三角形.‎ ‎②平行四边形的直观图是平行四边形.‎ ‎③正方形的直观图是正方形.‎ ‎④菱形的直观图是菱形.‎ 以上结论，正确的是（ A ）‎ 学生独立完成 巩固所学知识 A．①② B．①‎ C．③④ D．①②③④‎ ‎4．用斜二测画法画出五棱锥P – ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中心O（尺寸自定）.‎ 答案：略 归纳总结 ‎1．平面图形斜二测画法.‎ ‎2．简单几何体斜二测画法.‎ ‎3．简单组合斜二测画法.‎ ‎4．注意事项.‎ 学生归纳，然后老师补充、完善 前后联系加强知识的系统性 作业 ‎1.2 第二课时 习案 学生独立完成 巩固知识 提升能力 备用例题 例1 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.‎ ‎【分析】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图.‎ ‎【解析】（1）如图1所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，对点O与y轴垂直的是x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴，与x轴分别交于点G、H. 画对应的轴O′x′、O′y′，使∠x′O′y′ = 45°.‎ ‎（2）如图2所示：以点O′为中点，在x′轴上取G′H′ = GH，分别过G′、H′，在x′轴的上方，作G′B′∥y′轴，使G′B′ =；作H′E′∥y′轴，使H′E′ =；在y′轴的点O′上方取O′A′ =OA，在点O′下方取O′F′ =OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′ = CD.‎ ‎（3）连结A′B′、B′C′、D′E′、E′A′，所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图3所示.‎ ‎1 2 3‎ ‎【评析】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点.‎ 例2 已知一个正四棱台的上底面边长为‎2cm，下底面边长为‎6cm，高为‎4cm. 用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.‎ ‎【分析】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观图.‎ ‎【解析】（1）画轴. 以底面正方形ABCD的中心为坐标原点，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°.‎ ‎∥‎ ‎＝‎ ‎∥‎ ‎＝‎ ‎（2）画下底面. 以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF = AB = ‎6cm，在y轴上取线段GH，使得GH =AB，再过G、H分别作AB EF，CD EF，且使得CD的中点为H，AB的中点为G，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.‎ ‎（3）画上底面. 在z轴上截取线段OO1 = ‎4cm，过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy，使∠x′O1y′ = 45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中重复（2）的步骤画出上底面的直观图A1B‎1C1D1.‎ ‎（3）再连结AA1、BB1、CC1、DD1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（图2）.‎ ‎【评析】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解.‎ 例3 如右图所示，梯形A1B‎1C1D1是一平面图形ABCD的直观图. 若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1 =C1D1 = 2，A1D1 = O′D1 = 1. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.‎ ‎【解析】如图，建立直角坐标系xoy，在x轴上截取OD=O′D1=1，OC=O′C1=2.‎ 在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D‎1A1=2.‎ 在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1 = 2.‎ 连接BC，即得到了原图形.‎ 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB = 2，CD = 3，直角腰长度为AD = 2.‎ 所以面积为= 5.‎ ‎【评析】给出直观图来研究原图形，逆向运用斜二测画法规则，更要求我们具有逆向思维的能力. 画法关键之处同样是关键点的确定，逆向的规则为“水平长不变，垂直长增倍”，注意平行于y′轴的为垂直.‎