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2006年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 定义集合运算：A⊙B＝{z︳z＝xy(x+y), x∈A, y∈B}，设集合A＝{0, 1}，B＝{2, 3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A.0 B.6 C.12 D.18
2. 函数y=1+ax(02的解集为( )
A.(1, 2)∪(3, +∞) B.(10, +∞) C.(1, 2)∪(10, +∞) D.(1, 2)
4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=π3，a=3，b=1，则c=( )
A.1 B.2 C.3-1 D.3
5. 设向量a→=(1, -3)，b→=(-2, 4)，c→=(-1, -2)，若表示向量4a→，4b→-2c→，2(a→-c→)，d→的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d→为（ ）
A.(2, 6) B.(-2, 6) C.(2, -6) D.(-2, -6)
6. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
7. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
A.2 B.22 C.12 D.24
8. 设p:x2-x-20>0，q:1-x2|x|-2<0，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9. 已知集合A＝{5}，B＝{1, 2}，C＝{1, 3, 4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）
A.33 B.34 C.35 D.36
10. 已知(x2-ix)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为-314，其中i2=-1，则展开式中常数项是（ ）
A.-45i B.45i C.-45 D.45
11. 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件5x-11y≥-222x+3y≥92x≤11.则z=10x+10y的最大值是（ ）
A.80 B.85 C.90 D.95
12. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60∘，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则P-DCE三棱锥的外接球的体积为( )
A.43π27 B.6π2 C.6π8 D.6π24
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 若limn→∞1n(n+a-n)=1，则常数a=________．
14. 已知抛物线y2=4x，过点P(4, 0)的直线与抛物线相交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，则y12+y22的最小值是________．
15. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC
7 / 7
所成角的正弦值为________．
16. 下列四个命题中，真命题的序号有________（写出所有真命题的序号）．
①将函数y=|x+1|的图象按向量y=(-1, 0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=|x|．
②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=12x相交，所得弦长为2．
③若sin(α+β)=12，sin(α-β)=13，则tanαcotβ=5．
④如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1, 2)．
（1）求φ；
（2）计算f(1)+f(2)+...+f(2008)．
18. 设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a≥-1，求f(x)的单调区间．
19. 如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90∘，设AC=2a，BC=a
(1)求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；
(2)求点A到平面VBC的距离；
(3)求二面角A-VB-C的大小．
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20. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ξ的概率分布和数学期望；
(3)计分介于20分到40分之间的概率．
21. 双曲线C与椭圆x28+y24=1有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0, 4)的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当PQ→=λ1QA→=λ2QB→，且λ1+λ2=-83时，求Q点的坐标．
22. 已知a1=2，点(an, an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列；
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列{an}的通项；
(3)记bn=1an+1an+2，求数列{bn}的前n项Sn，并证明Sn+23Tn-1=1．
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参考答案与试题解析
2006年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.D
2.A
3.C
4.B
5.D
6.B
7.B
8.A
9.A
10.D
11.C
12.C
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.2
14.32
15.45
16.③④
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：（1）y=Asin2(ωx+φ)=A2-A2cos(2ωx+2φ)．
∵ y=f(x)的最大值为2，A>0．
∴ A2+A2=2，A=2．
又∵ 其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，
∴ 12(2π2ω)=2，ω=π4．
∴ f(x)=22-22cos(π2x+2φ)=1-cos(π2x+2φ)．
∵ y=f(x)过(1, 2)点，∴ cos(π2x+2φ)=-1．
∴ π2x+2φ=2kπ+π，k∈Z，∴ 2φ=2kπ+π2，k∈Z，
∴ φ=kπ+π4，k∈Z，
又∵ 0<φ<π2，
∴ φ=π4．
（2）解法一：∵ φ=π4，f(x)=2sin2(π4x+π4)
∴ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4．
又∵ y=f(x)的周期为4，2008=4×502，
∴ f(1)+f(2)+...+f(2008)=4×502=2008．
解法二：∵ f(x)=2sin2(π4x+φ)
∴ f(1)+f(3)=2sin2(π4+φ)+2sin2(3π4+φ)=2，f(2)+f(4)=2sin2(π2+φ)+2sin2(π+φ)=2，
∴ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4．
又(±2, 0)的周期为4，2008=4×502，
∴ f(1)+f(2)+...+f(2008)=4×502=2008．
18.解：由已知得函数f(x)的定义域为(-1, +∞)，且f'(x)=ax-1x+1(a≥-1)，
(1)当-1≤a≤0时，f'(x)<0，函数f(x)在(-1, +∞)上单调递减，
(2)当a>0时，由f'(x)=0，解得x=1a．f'(x)、f(x)随x的变化情况如下表
x
(-1,1a)
1a
(1a，+∞)
7 / 7
f'(x)
-
0
+
f(x)
极小值
从上表可知
当x∈(-1,1a)时，f'(x)<0，函数f(x)在(-1,1a)上单调递减．
当x∈(1a，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)在(1a，+∞)上单调递增．
综上所述：
当-1≤a≤0时，函数f(x)在(-1, +∞)上单调递减．
当a>0时，函数f(x)在(-1,1a)上单调递减，函数f(x)在(1a，+∞)上单调递增．
19.解：(I)证明：∵ 平面A1B1C1 // 平面ABC，
∴ B1C1 // BC，B1C1 // BC∵ BC⊥AC∴ B1C1⊥A1C1
又∵ 平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC=AC，
∴ BC⊥平面AB1C，
∴ BC⊥AB1
∴ B1C1⊥AB1，
又∵ B1C1 // BC，B1C1 // BC，且BC⊥AC∴ B1C1⊥A1C1，
∴ B1C1为AB1与A1C1的公垂线．
(II)解法1：过A作AD⊥B1C于D，
∵ △AB1C为正三角形，
∴ D为B1C的中点．
∵ BC⊥平面AB1C
∴ BC⊥AD，
又B1C∩BC=C，
∴ AD⊥平面VBC，
∴ 线段AD的长即为点A到平面VBC的距离．
在正△AB1C中，l．
∴ 点A到平面VBC的距离为3a．
解法2：取AC中点O连接B1O，则B1O⊥平面ABC，且B1O=3a．
由(I)知BC⊥B1C，设A到平面VBC的距离为x，
∴ VB1-ABC=VA-BB1C，
即13×12BC⋅AC⋅B1O=13×12BC⋅B1C⋅x，
解得x=3a．
即A到平面VBC的距离为3a．
则d=||AB1→|⋅cos|=||AB1→|⋅cos|=23a2=3a．
所以，A到平面VBC的距离为3a．
(III)过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三重线定理知AH⊥VB
∴ ∠AHD是二面角A-VB-C的平面角．
在Rt△AHD中，
DH=B1D⋅BCB1B=55a．
∴ tan∠AHD=ADDH=15．
∴ ∠AHD=arctan15．
所以，二面角A-VB-C的大小为arctan15．
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20.解：(I)解：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为P(B)=C51⋅C22⋅C81C103=13
所以P(A)=1-P(B)=1-13=23．
(II)由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.P(ξ=2)=C22⋅C21+C21⋅C22C103=130；P(ξ=3)=C42⋅C21+C41⋅C22C103=215；P(ξ=4)=C62⋅C21+C61⋅C22C103=310；P(ξ=5)=C82⋅C21+C81⋅C22C103=815；
所以随机变量ε的概率分布为
ε
2
3
4
5
P
130
215
310
815
因此ε的数学期望为Eε=2×130+3×215+4×310+5×815=133
(III)“一次取球所得计分介于到4之间”的事件记为C，则
P(C)=P(ε=3)+P(ε=4)=215+310=1330
21.解：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1
由椭圆x28+y24=1
求得两焦点为(-2, 0)，(2, 0)，
∴ 对于双曲线C:c=2，又y=3x为双曲线C的一条渐近线
∴ ba=3解得a2=1，b2=3，
∴ 双曲线C的方程为x2-y23=1.
(2)如图：
由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y=kx+4，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则Q(-4k，0)，
∵ PQ→=λ1QA→，
∴ (-4k，-4)=λ1(x1+4k,y1)．
∴ λ1=-4kx1+4k=-4kx1+4，
同理λ2=-4kx2+4，
所以λ1+λ2=-4kx1+4-4kx2+4=-83．
即2k2x1x2+5k(x1+x2)+8=0．①
又y=kx+4以及x2-y23=1，
消去y得(3-k2)x2-8kx-19=0．
当3-k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k2≠0．
由韦达定理有：
x1+x2=8k3-k2，
x1x2=-193-k2，
代入①式得k2=4，k=±2，
∴ 所求Q点的坐标为(±2, 0)．
22.解：(I)由已知an+1=an2+2an，
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∴ an+1+1=(an+1)2
∵ a1=2
∴ an+1>1，两边取对数得lg(1+an+1)=2lg(1+an)，
即lg(1+an+1)lg(1+an)=2
∴ {lg(1+an)}是公比为2的等比数列．
(II)由(I)知lg(1+an)=2n-1⋅lg(1+a1)=2n-1⋅lg3=lg32n-1
∴ 1+an=32n-1
∴ an=32n-1-1
∴ Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)=320⋅321⋅322⋅…⋅32n-1=31+2+22+...+2n-1=32n-1
(III)∵ an+1=an2+2an
∴ an+1=an(an+2)
∴ 1an+1=12(1an-1an+2)
∴ 1an+2=1an-2an+1
又bn=1an+1an+2
∴ bn=2(1an-1an+1)
∴ Sn=b1+b2+...+bn=2(1a1-1a2+1a2-1a3+…+1an-1an+1)=2(1a1-1an+1)
∵ an=32n-1-1，a1=2，an+1=32n-1
∴ Sn=1-232n-1
又Tn=32n-1
∴ Sn+23Tn-1=1．
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