2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试题C 解析版 10页

‎2020年1月浙江省普通高中学业水平考试 数学仿真模拟试题C· 解析版 选择题部分 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）‎ ‎1．已知全集，集合，，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】由已知得，所以，故选D．‎ ‎2．函数的定义域为 A．（–1，+∞） B．（–1，0） C．（0，+∞） D．（–1，0）∪（0，+∞）‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】由题可知，，，故选D.‎ ‎3．已知向量，若（λ∈R），则m=‎ A．−2 B． C． D．2‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】∵向量，（λ∈R），‎ ‎∴＝λ，∴，∴m＝，故选C．‎ ‎4．在等比数列中，，则=‎ A．8 B．10 C．14 D．16‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为，由，可得，又，所以，化简得，所以，‎ 所以.故选D.‎ ‎5．函数的图象大致是 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】∵函数f（x），∴当x时，f（x）>0，故D错误；‎ x>1时，f（x）<0恒成立，故B和C错误．‎ 由排除法得正确选项是A．‎ ‎6．已知两条平行直线和之间的距离等于，则实数的值为 A． B． C．或 D．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】两条平行线之间的距离为，故或，故选C．‎ ‎7．若实数满足约束条件则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】作出实数，满足约束条件表示的平面区域，如图所示．‎ 由可得，则表示直线在轴上的截距，纵截距越大，‎ 越小．作直线，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点时，最大，最小．由可得，此时，故选A．‎ ‎8．若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】由两边平方得，即，解得.故选B．‎ ‎9．已知椭圆分别过点和，则该椭圆的焦距为 A． B． C． D．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】由题意可得，，所以a2＝4，b2＝1，所以，从而.故选B.‎ ‎10．已知两条不同的直线，和一个平面，则使得“”成立的一个必要条件是 A．且 B．且 C．且 D．，与所成角相同 ‎10．【答案】D ‎【解析】若，当时或，故A错误；‎ 若，当时或，故B错误；‎ 若，且不一定成立，故C错误；‎ 若，则，与所成角相同，故D正确.‎ 故选D．‎ ‎11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，，则的面积等于 A．或 B． C． D．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】利用余弦定理得到：或（舍去），∴.故选D.‎ ‎12．在正三棱锥中，，则侧棱与底面所成角的正弦值为 A． B． C． D．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】连接P与底面正△ABC的中心O，因为是正三棱锥，所以平面，所以为侧棱与底面所成角，‎ 因为，所以，所以，故选B．‎ ‎13．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎13．【答案】A ‎【解析】由题意设直线的方程为，令，得，所以，所以，所以.故选A.‎ ‎14．设函数，则使得成立的的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎14．【答案】B ‎【解析】由函数的解析式可得：函数的定义域为又，则函数为偶函数，当时，，易得函数在上为增函数，又 ‎，所以等价于，即，即，故选B．‎ ‎15．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是 A． B． C． D．‎ ‎15．【答案】C ‎【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为.故选C.‎ ‎16．等差数列中，公差，当时，下列关系式正确的是 A． B． C． D．‎ ‎16．【答案】B ‎【解析】设，因为，，所以，‎ 又因为，所以，所以.故选B．‎ ‎17．若函数没有零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎17．【答案】A ‎【解析】因为函数没有零点，所以方程无实根，即函数与的图象无交点，如图所示，则的斜率应满足，故选A.‎ ‎18．若正方体的棱长为，点，在上运动，，四面体的体积为，则 A． B． C． D．‎ ‎18．【答案】C ‎【解析】正方体的棱长为，点，在上运动，，如图所示：‎ 点到平面的距离＝，且，所以，所以三棱锥的体积＝，利用等体积法得.故选C．‎ 非选择题部分 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）‎ ‎19．已知，，与的夹角为，则_________，________.‎ ‎19．【答案】； ‎ ‎【解析】由题得；‎ ‎.‎ 故答案为；.‎ ‎20．若，那么的最小值是________.‎ ‎20．【答案】‎ ‎【解析】，即，，‎ 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，‎ 故的最小值是，故答案为.‎ ‎21．已知且，设函数的最大值为1，则实数的取值范围是________.‎ ‎21．【答案】‎ ‎【解析】由题意知，函数在上单调递增，且，‎ 由于函数的最大值为，‎ 则函数在上单调递减且，‎ 则有，即，解得，‎ 因此，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎22．在数列中，已知，，记，为数列的前项和，则________.‎ ‎22．【答案】‎ ‎【解析】由得，‎ ‎∴，∴，‎ 令，则，∴，由累乘法得，‎ ‎∴，∴，∴，∴，‎ ‎∴.‎ 三、解答题（本大题共3小题，共31分）‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求的最小正周期及单调增区间．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，‎ 所以 ‎（3分）‎ ‎.（5分）‎ ‎（Ⅱ），（7分）‎ 所以的最小正周期.（8分）‎ 令，解得，‎ 所以的单调增区间为.（10分）‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ 已知抛物线：的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于3.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，求的最小值.‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得抛物线的准线方程为，‎ 点到焦点的距离等于3，，解得，‎ 抛物线的方程为.（3分）‎ ‎（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，‎ 设，，直线的方程为，‎ 由，消去得，（5分）‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以的中点的坐标为，（7分）‎ 因为，‎ 所以圆的半径为.（8分）‎ 在等腰中，，当且仅当时取等号.‎ 所以的最小值为.（10分）‎ ‎25．（本小题满分11分）‎ 已知关于的函数，.‎ ‎（Ⅰ）若函数是上的偶函数，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若函数，且函数在上有两个不同的零点，，求证：.‎ ‎25．（本小题满分11分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）是上的偶函数，，‎ 即对都成立，.（2分）‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，即恒成立.‎ 令，则，‎ 在时恒成立等价于在时恒成立，（4分）‎ 又，，‎ 的取值范围是.（6分）‎ ‎（Ⅲ）不妨设，‎ 因为所以在上至多有一个零点，‎ 若，则，而，矛盾.‎ 因此；（8分）‎ 由，得，由，得，‎ ‎，即，‎ ‎.（11分）‎