2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题3 数列2-3-高考小题 1 47页

第 1 课时　 等差数列、等比数列 考向一　等差数列、等比数列的基本量计算 ( 保分题型考点 ) 【题组通关 】 1.(2019 · 北京高考 ) 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 2 =-3,S 5 =-10, 则 a 5 =________,S n 的最小值为 ________.  【解析 】 设公差为 d,a 2 =a 1 +d=-3,S 5 =5a 1 + d=-10, 即 a 1 +2d=-2, 解得 a 1 =-4,d=1, 所以 a 5 =a 1 +4d=0,S n =na 1 + , 当 n=4 或 5 时 ,S n 最小 , 为 -10. 答案 : 0 　 -10 2. 已知等比数列 {a n } 的公比为 q, 记 b n =a m(n-1)+1 + a m(n-1)+2 + … +a m(n-1)+m ,c n =a m(n-1)+1 · a m(n-1)+2 ·…· a m(n-1)+m (m,n∈N * ), 则以下结论一定正确的是 ( 　　 ) A. 数列 {b n } 为等差数列 , 公差为 q m B. 数列 {b n } 为等比数列 , 公比为 q 2m C. 数列 {c n } 为等比数列 , 公比为 D. 数列 {c n } 为等比数列 , 公比为 【解析 】 选 C.b n =a m(n-1)+1 ·(1+q+q 2 +…+q m-1 ), =q m , 故数列 {b n } 为等比数列 , 公比为 q m , 选项 A,B 错误 ; c n = ·q 1+2+…+(m-1) , =(q m ) m = , 故数列 {c n } 为等比数列 , 公比为 ,D 错误 , 故选 C. 3.(2019 · 重庆二模 ) 已知数列 {a n },a n >0, 它的前 n 项和为 S n , 且 2a 2 是 4a 1 与 a 3 的等差中项 . 若 {a n } 为等比数列 ,a 1 =1, 则 S 7 =________.  【解析 】 设数列 {a n } 的公比为 q, 依题意有 a 1 =1,4a 2 =4a 1 +a 3 , 即 4q=4+q 2 , 故 q=2, 则 S 7 = =127. 答案 : 127 【题型建模 】 1. 求等差、等比数列的基本量 : 利用等差、等比数列通项公式及前 n 项和公式求基本量项 2. 求代数式的值 : 根据等比数列的通项公式求代数式的值 3. 等差中项及等比数列前 n 项和的综合应用 【拓展提升 】 1. 两组重要公式 (1) 等差数列 :①S n = ; ②a m =a n +(m-n)d ;③ 若第 m,n,p 项成等差数列 , 则 2a n =a m +a p . (2) 等比数列 :①S n = ②a m =a n · q m-n ; ③ 若第 m,n,p 项成等比数列 , 则 =a m · a p . 2. 等差 ( 比 ) 数列的运算技巧 ① 在进行等差 ( 比 ) 数列项与和的运算时 , 若条件和结论间的联系不明显 , 则均可化成关于 a 1 和 d(q ) 的方程组求解 ;② 要注意消元法及整体计算 , 以减少计算量 . 考向二　等差数列、等比数列的性质 ( 保分题型考点 ) 【题组通关 】 1. 等差数列 {a n } 中 ,a 1 +3a 8 +a 15 =120, 则 2a 9 -a 10 的值是 ( 　　 ) A.20 B.22 C.24 D.-8 【解析 】 选 C. 因为 a 1 +3a 8 +a 15 =5a 8 =120, 所以 a 8 =24, 所以 2a 9 -a 10 =a 10 +a 8 -a 10 =a 8 =24. 2.(2019 · 银川一模 ) 已知各项不为 0 的等差数列 {a n } 满 足 2a 2 - +2a 12 =0, 数列 {b n } 是等比数列 , 且 b 7 =a 7 , 则 b 3 b 11 等于 ( 　　 ) A.16 B.8 C.4 D.2 【解析 】 选 A. 由等差数列性质得 a 2 +a 12 =2a 7 , 所以 4a 7 - =0, 又 a 7 ≠0, 所以 a 7 =4,b 7 =4, 由等比数列性质得 b 3 b 11 = =16. 3. 已知数列 {a n } 是等比数列 , 数列 {b n } 是等差数列 , 若 a 1 · a 6 · a 11 =3 ,b 1 +b 6 +b 11 =7π, 则 的值 是 ( 　　 ) 【解析 】 选 D.{a n } 是等比数列 ,{b n } 是等差数列 , 且 a 1 ·a 6 ·a 11 =3 ,b 1 +b 6 +b 11 =7π, 所以 ,3b 6 = 7π, 所以 a 6 = ,b 6 = , 所以 = 4.(2019 · 西安一模 ) 各项均为正数的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S n =2,S 3n =14, 则 S 4n 等于 ( 　　 ) A.80 B.30 C.26 D.16 【解析 】 选 B. 由等比数列性质知 S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n ,… 仍为等比数列 , 设 S 2n =x, 则 2,x-2,14-x 成等比数列 . 由 (x-2) 2 =2×(14-x), 解得 x=6 或 x=-4( 舍去 ). 所以 S 2n =6,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n ,… 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列 . 又因为 S 3n =14, 所以 S 4n =30. 5. 若等差数列 {a n } 满足 a 7 +a 8 +a 9 >0,a 7 +a 10 <0, 则当 n=________ 时 ,{a n } 的前 n 项和最大 .  【解析】 因为数列 {a n } 是等差数列 , 且 a 7 +a 8 +a 9 =3a 8 >0, 所以 a 8 >0. 又 a 7 +a 10 =a 8 +a 9 <0, 所以 a 9 <0. 所以当 n=8 时 , 其前 n 项和最大 . 答案 : 8 6. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S 10 =10,S 20 =30, 则 S 30 =________.  【解析 】 因为 S 10 ,S 20 -S 10 ,S 30 -S 20 成等差数列 , 且 S 10 =10,S 20 =30, 所以 S 20 -S 10 =20, 所以 S 30 -30 =10+2×10=30, 所以 S 30 =60. 答案 : 60 【题型建模 】 1. 项数是关键 : 求等差、等比数列的 基本量或代数式的值 分析条件中 项的下标 , 即项数的关系 寻找两项 或多项之间的关系 选择恰当性质 . 2. 等差数列 S n 的最值 : 若 则 S n 有最大值 , 若 则 S n 有最小值 . 【拓展提升 】 等差数列、等比数列常用性质 等差数列 等比数列 性质 (1) 若 m,n,p,q∈N * , 且 m+n =p+q , 则 a m +a n =a p +a q . (2)a n =a m +(n-m)d . (3)S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m , … 仍成等差数列 . (4) 前 2n-1 项和 S 2n-1 = (2n-1)a n . (1) 若 m,n,p,q∈N * , 且 m+n=p+q, 则 a m · a n =a p · a q ; (2)a n =a m q n-m ; (3)S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m , … 仍成等比数列 (S m ≠0). 考向三　等差、等比数列与其他知识的综合 ( 压轴题型 考点 ) 【典例 】 1.(2019 · 南京二模 ) 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , ( 该直线不 过点 O), 则 S 2 020 等于 ( 　　 ) 　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1 009 B.1 010 C.2 019 D.2 020 【解析 】 选 B. 因为 A,B,C 三点共线 , 所以 a 1 +a 2 020 =1, 所以 S 2 020 = =1 010. 2. 在由正数组成的等比数列 {a n } 中 , 若 , 则 sin 的值为 ( 　　 ) 【解析 】 选 B. 因为 a 3 a 4 a 5 =3 π = , 所以 a 4 = , 即 log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+log 3 a 7 =log 3 (a 1 a 2 …a 7 )= 所以 sin(log 3 a 1 +log 3 a 2 +…+log 3 a 7 )= . 3. 已知数列 {a n } 满足 na n+2 -(n+2)a n =λ(n 2 +2n) ④ , 其中 a 1 =1,a 2 =2, 若 对 ∀ n∈N * 恒成立 , 则实数 λ 的取 值范围为 ________.  【解析 】 由 na n+2 -(n+2)a n =λ(n 2 +2n), 得 =λ, 所以数列 的奇数项和偶数项都是首项为 1, 且公差 为 λ 的等差数列 . 因为 a 1 =1,a 2 =2, 所以当 n 为奇数时 , 所以 a n = λ+n ; 当 n 为偶数时 , 所以 a n = λ+n . 当 n 为奇数时 , 由 a n -2, 若 n=1, 则 λ∈R . 若 n>1, 则 λ> , 所以 λ≥0. 当 n 为偶数时 , 由 a n -2, 所以 λ> , 即 λ≥0. 综上 ,λ 的取值范围为 [0,+∞). 答案 : [0,+∞) 【题眼直击 】 题目 题眼 思维导引 1. ① 向量三点共线的条件 , 想到向量等式的系数和为 1. 2. ② 由连续三项的积 , 想到用等比中项求 a 4 ③ 同底对数和 , 想到对数运算性质 3. ④ 方程左右两端的特点想到两端同除以 n(n+2) ⑤ 相邻两项的大小关系 , 想到分离参数 【拓展提升 】 数列与其他知识的交汇问题的处理思路 　 (1) 以数列知识为纽带 , 在与函数、方程、向量不等式的交汇处命题 , 利用函数观点、方程思想、向量的性质、不等式的性质等 . 作为解题口解决问题 . (2) 数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数 , 然后利用函数的性质求解数列问题 . (3) 数列中的恒成立问题可以通过分离参数 , 通过求数列的值域求解 . 【变式训练 】 1. 正项等比数列 {a n } 中 ,a 2 =8,16 =a 1 a 5 , 则数列 {a n } 的 前 n 项积 T n 中的最大值为 ( 　　 ) A.T 3 B.T 4 C.T 5 D.T 6 【解析 】 选 A. 设正项等比数列 {a n } 的公比为 q(q >0), 则 16 =a 1 a 5 =a 2 a 4 =8a 4 ,a 4 = ,q 2 = , 又 q>0, 则 q= ,a n =a 2 q n-2 =8× =2 7-2n , 则 T n =a 1 a 2 …a n = 2 5+3+…+(7-2n) =2 n(6-n) , 当 n=3 时 ,n(6-n) 取得最大值 9, 此 时 T n 最大 , 即 (T n ) max =T 3 . 2. 若等比数列 {a n } 的各项均为正数 , 且 a 10 a 11 +a 9 a 12 =2e 5 , 则 ln a 1 +ln a 2 + … +ln a 20 =__________.  【解析 】 因为 a 10 a 11 +a 9 a 12 =2a 10 a 11 =2e 5 , 所以 a 10 a 11 =e 5 . 所以 ln a 1 +ln a 2 +…+ln a 20 =ln(a 1 a 2 …a 20 )= ln[(a 1 a 20 )·(a 2 a 19 )·…·(a 10 a 11 )]=ln(a 10 a 11 ) 10 = 10ln(a 10 a 11 )=10ln e 5 =50ln e=50. 答案 : 50 3. 等比数列 {a n } 的首项为 2, 公比为 3, 前 n 项和为 S n . 若 log 3 =9, 则 取最小值时 ,S 2 =______.  【解析 】 由题意可得 a n =2×3 n-1 ,S n = =3 n -1, 所以 log 3 =log 3 3 n+4m-1 =n+4m-1=9, 所以 n+4m=10, 所以 当且仅当 m=n 时取等号 , 所以 n=2, 所以 a 2 =2×3=6, 所以 S 2 =2+6=8. 答案 : 8