高中数学第四章数列习题课-数列求和课件新人教A版选择性必修第二册 33页

习题课 —— 数列求和 激趣诱思 知识点拨 若一个人与你做一笔交易 : 按一个月 30 天算 , 他每天给你 5 000 元 , 而你只需第 1 天给我 1 分钱 , 第 2 天给我 2 分钱 , 第 3 天给我 4 分钱 , 第 4 天给我 8 分钱 …… 由此类推 , 交易期为一个月 . 这笔交易你做吗 ? 请用数列求和的知识做出决定吧 ! 激趣诱思 知识点拨 一、裂项相消法求和 裂项相消法就是把数列的各项变为两项之差 , 使得相加求和时一些正负项相互抵消 , 前 n 项和变成首尾若干项之和 , 从而求出数列的前 n 项和 . 名师点析 常用的一些裂项技巧 : 激趣诱思 知识点拨 微 练习 激趣诱思 知识点拨 二、分组求和法 分组求和法 : 如果一个数列的各项是由若干个 等差数列和等比数列的项 相加减得到的 , 那么可以把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合 , 使其分别构成等差数列或等比数列 , 然后利用等差、等比数列的求和公式求解 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 数列 { n+ 2 n } 的前 n 项和 S n 等于 　　　　 .   激趣诱思 知识点拨 三、并项转化法求和 并项转化法 : 在求数列的前 n 项和时 , 如果一个数列的项是 正负交错 的 , 尤其是当各项的绝对值又构成 等差数列 时 , 可以依次两项两项 ( 或几项几项 ) 合并 , 再利用其他相关的方法进行求和 . 微练习 (1) 对于数列 1, - 3,5, - 7,9, - 11, … , 其前 100 项的和等于 　 .   答案 : - 100 (2) 若数列 { a n } 的通项公式 a n = ( - 1) n ·2 n , 前 n 项和为 S n , 则 S 10 = 　　　　 , S 15 = 　　　　 .   解析 : S 10 = ( - 2) + 4 + ( - 6) + 8 + … + ( - 18) + 20 = 2 × 5 = 10, S 15 = ( - 2) + 4 + ( - 6) + 8 + … + 28 + ( - 30) = 2 × 7 - 30 =- 16 . 答案 : 10 　 - 16 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 裂项相消法 求和 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 裂项相消法求和的关注点 裂项法的实质是将数列中的每项 ( 通项 ) 分解 , 相加使之能消去一些项 , 最终达到求和的目的 . 利用裂项法的关键是分析数列的通项 , 考察其是否能分解成两项的差 , 且这两项一定要是同一数列相邻 ( 相间 ) 的两项 . 在裂项求和的过程中 , 还要注意以下几点 : (1) 在通项裂开后 , 原各项是否恰好等于相应的两项之差 . (2) 在正负项抵消后 , 是否只剩下了第一项和最后一项 , 还有可能前面剩下了两项 ( 或多项 ), 后面也剩下了两项 ( 或多项 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知等差数列 { a n } 中 , a 5 = 9, a 13 = 25, 且 b n = , 试求数列 { b n } 的前 n 项和 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 分组求和法求和 例 2 已知数列 { c n } 的首项 c 1 = 3, c n = 2 n p+nq ( n ∈ N * , p , q 为常数 ), 且 c 1 , c 4 , c 5 成等差数列 , 求 : (1) p , q 的值 ;(2) 数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 分析 : 先将 c 1 , c 4 , c 5 用 p , q 表示 , 根据 c 1 , c 4 , c 5 成等差数列建立关于 p , q 的方程组 , 即可求得 p , q 的值 , 从而得到数列的通项公式 . 这时每一项都是由一个等比数列和一个等差数列中的项的和构成 , 可分别求和后再相加 . 解 : (1) 由 c 1 = 3, 得 2 p+q= 3 . 因为 c 4 = 2 4 p+ 4 q , c 5 = 2 5 p+ 5 q , 且 c 1 +c 5 = 2 c 4 , 所以 3 + 2 5 p+ 5 q= 2 5 p+ 8 q , 解得 p= 1, q= 1 . (2) 由 (1) 知 c n = 2 n +n , 所以 S n = (2 + 2 2 + … + 2 n ) + (1 + 2 + … +n ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 分组求和法的解题策略 当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列 , 但如果它的通项公式可以拆分为几项的和 , 而这些项又构成等差数列或等比数列时 , 就可以用分组求和法 , 即原数列的前 n 项和等于拆分成的每个数列前 n 项和的和 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 在等差数列 { a n } 中 , 已知 a 2 = 4, a 4 +a 7 = 15 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 并项转化法求和 例 3 已知数列 - 1,4, - 7,10, … ,( - 1) n ·(3 n- 2), … , 求其前 n 项和 S n . 分析 : 该数列中正负项交替出现 , 且各项的绝对值构成等差数列 , 故可用并项转化法求和 . 解 : 当 n 为偶数时 , 令 n= 2 k ( k ∈ N * ), S n =S 2 k =- 1 + 4 - 7 + 10 + … + ( - 1) n (3 n- 2) = ( - 1 + 4) + ( - 7 + 10) + … + [( - 6 k+ 5) + (6 k- 2)] 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 并项转化法求和的解题策略 1 . 一般地 , 当数列中的各项正负交替 , 且各项的绝对值成等差数列时 , 可以采用并项转化法求和 . 2 . 在利用并项转化法求和时 , 因为数列的各项是正负交替的 , 所以一般需要对项数 n 进行分类讨论 , 但最终的结果却往往可以用一个公式来表示 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中 , 将条件改为 “ 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 1 - 5 + 9 - 13 + … + ( - 1) n- 1 (4 n- 3)”, 求 S 15 +S 22 -S 31 的值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 错位相减法求和 例 4 已知正项等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S 3 = 12, 且 2 a 1 , a 2 , a 3 + 1 成等比数列 . (1) 求 { a n } 的通项公式及 S n ; 分析 : (1) 列方程组求出等差数列 { a n } 的首项和公差 ;(2) 利用错位相减法求 T n . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 错位相减法求和的关注点 (1) 要善于识别题目类型 , 特别是等比数列的公比为负数的情形 . (2) 在写出 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时 , 应将两式 “ 错项对齐 ”, 以便下一步准确写出 S n -qS n 的表达式 . 若公比是字母参数 , 则应先对参数加以讨论 ( 一般情况下 , 分公比等于 1 和不等于 1 两种情况分别求和 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 = 1, a n+ 1 = 2 S n ( n ∈ N * ) . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 求数列 { na n } 的前 n 项和 T n . 解 : (1) ∵ a n+ 1 = 2 S n , ∴ S n+ 1 -S n =a n+ 1 = 2 S n , ∴ 数列 { S n } 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列 . ∴ S n = 3 n- 1 ( n ∈ N * ) . 当 n ≥ 2 时 , a n = 2 S n- 1 = 2·3 n- 2 , 且 a 1 = 1, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) ∵ T n =a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 + … +na n , ∴ 当 n= 1 时 , T 1 = 1; 当 n ≥ 2 时 , T n = 1 + 4 × 3 0 + 6 × 3 1 + … + 2 n ·3 n- 2 , ① 3 T n = 3 + 4 × 3 1 + 6 × 3 2 + … + 2 n ·3 n- 1 , ② ① - ② , 得 - 2 T n =- 2 + 4 + 2(3 1 + 3 2 + … + 3 n- 2 ) - 2 n ·3 n- 1 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 数列的通项与求和的综合问题 典例 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 3 n 2 + 8 n ,{ b n } 是等差数列 , 且 a n =b n +b n+ 1 . (1) 求数列 { b n } 的通项公式 ; 分析 : (1) 先求出数列 { a n } 的通项公式 , 再求数列 { b n } 的通项公式 ; (2) 先求出数列 { c n } 的通项公式 , 再利用错位相减法求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 由题意知当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 = 6 n+ 5, 当 n= 1 时 , a 1 =S 1 = 11, 所以 a n = 6 n+ 5 . 设数列 { b n } 的公差为 d. 又 T n =c 1 +c 2 + … +c n , 得 T n = 3 × [2 × 2 2 + 3 × 2 3 + … + ( n+ 1) × 2 n+ 1 ], 2 T n = 3 × [2 × 2 3 + 3 × 2 4 + … + ( n+ 1) × 2 n+ 2 ], 两式作差 , 得 -T n = 3 × [2 × 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 n+ 1 - ( n+ 1) × 2 n+ 2 ] 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 【答题模版】 第 1 步 : 由数列 { a n } 中 a n 与 S n 满足的关系式求其通项 a n ; 　 ↓ 第 2 步 : 由数列 { b n } 满足的关系式求其通项 b n ; 　 ↓ 第 3 步 : 求出数列 { c n } 的通项 c n ; 　 ↓ 第 4 步 : 用错位相减法求出数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 【失误警示】 通过阅卷统计分析 , 造成失分的原因如下 : (1) 由数列 { a n } 中 a n 与 S n 满足的关系式求其通项 a n 时 , 漏掉 n= 1 时的情况而导致丢分 . (2) 不会利用 a n =b n +b n+ 1 求出等差数列 { b n } 的公差和首项 . (3) 用错位相减法求数列 { c n } 的前 n 项和 T n 时 , 不知道错位对齐相减 , 弄错正负号而失分 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 S 30 = ( 　　 ) A.120 B.180 C.240 D.360 解析 : 由题意得 S 30 = ( a 1 +a 3 + … +a 29 ) + ( a 2 +a 4 + … +a 30 ) = ( 1 + 2 + … + 15) + (1 + 2 + … + 15) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 若数列 { a n } 的通项公式是 a n = 8 n , 其前 n 项和为 S n , 且 S n b n = 1, 数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , 则 T 10 等于 ( 　　 ) 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 已知数列 { a n } 的通项公式是 a n = 2 n + 3 n+ 1, 则数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 　　　　　 .   解析 : ∵ a n = 2 n + 3 n+ 1 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n = ( - 1) n (5 n- 4), 则其前 20 项的和等于 　　　　 .   解析 : 该数列前 20 项的和 S 20 =- 1 + 6 - 11 + 16 - … - 91 + 96 = ( - 1 + 6) + ( - 11 + 16) + … + ( - 91 + 96) = 5 × 10 = 50 . 答案 : 50 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5 . 在等差数列 { a n } 中 , a 7 = 4, a 19 = 2 a 9 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; 解 : (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d , 则 a n =a 1 + ( n- 1) d.