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- 2021-06-24 发布
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§6.4 数列求和
一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)
1.在等比数列{an} (n∈N*)中,若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为____________.
2.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为____________.
3.已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lg an,b3=18,b6=12,则数列{bn}的前n项和的最大值为__________.
4.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100=__________.
5.等差数列{an}中,a2=9,a5=21,bn=2an,则{bn}前n项和Sn=____________.
6.等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则a+a+…+a=____________.
7.(2010·无锡模拟)已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn=2-3an,则an=______________.
8.(2011届南通月考)已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足bn=log3an,则数列的前n项和Sn=________.
9.(2010·北京海淀区期末)设关于x的不等式x2-x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为an, 数列{an}的前n项和为Sn,则S100的值为________.
二、解答题(本大题共3小题,共46分)
10.(14分)已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*满足关系式2Sn=3an-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的通项公式是bn=,前n项和为Tn,求证:对于任意的正数n,总有Tn<1.
11.(16分)已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=anlogan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·2n+1>50成立的最小正整数n的值.
12.(16分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= (n∈N+),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数t,使得对任意的n
均有Sn>总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
答案
1.2- 2.2n+1+n2-2 3.132 4.-200 5.
6. (4n-1) 7. ×n-1 8. 9.10 100
10.(1)解 由已知得 (n≥2).
故2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1,
即an=3an-1 (n≥2).
故数列{an}为等比数列,且公比q=3.
又当n=1时,2a1=3a1-3,∴a1=3.∴an=3n.
(2)证明 ∵bn==-.
∴Tn=b1+b2+…+bn
=++…+=1-<1.
∴对于任意的正数n,总有Tn<1.
11.解 (1)设此等比数列为a1,a1q,a1q2,a1q3,…,其中a1≠0,q≠0.
由题意知:a1q+a1q2+a1q3=28,①
a1q+a1q3=2(a1q2+2).②
②×7-①得6a1q3-15a1q2+6a1q=0,
即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.
∵等比数列{an}单调递增,∴a1=2,q=2,∴an=2n.
(2)由(1)得bn=-n·2n,
∴Sn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×22+…+n·2n).
设Tn=1×2+2×22+…+n·2n,③
则2Tn=1×22+2×23+…+n·2n+1.④
由③-④,得-Tn=1×2+1×22+…+1·2n-n·2n+1
=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,
∴-Tn=-(n-1)·2n+1-2.∴Sn=-(n-1)·2n+1-2.
要使Sn+n·2n+1>50成立,
即-(n-1)·2n+1-2+n·2n+1>50,即2n>26.
∵24=16<26,25=32>26,且y=2x是单调递增函数,
∴满足条件的n的最小值为5.
12.解 (1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,
整理得2a1d=d2.
∵a1=1,解得d=2,d=0(舍).
∴an=2n-1 (n∈N*).
(2)bn===,
∴Sn=b1+b2+…+bn
=
==.
假设存在整数t满足Sn>总成立,
又Sn+1-Sn=-=>0,
∴数列{Sn}是单调递增的.
∴S1=为Sn的最小值,故<,即t<9.
又∵t∈Z,∴适合条件的t的最大值为8.
∴存在最大的整数t,使得对任意的n均有Sn>总成立,且t的最大值为8.
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