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- 2021-06-23 发布
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课时作业(三十二) [第32讲 数列求和]
[时间:45分钟 分值:100分]
1. 已知数列2,x,y,3为等差数列,数列2,m,n,3为等比数列,则x+y+mn的值为( )
A.16 B.11
C.-11 D.±11
2. 已知数列{an}是各项均为正整数的等比数列,a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5=( )
A.2 B.33
C.84 D.189
3. 已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1.那么a10=( )
A.1 B.9
C.10 D.55
4.数列{an}的通项公式是an=(-1)nn2,则该数列的前20项之和为________.
5. 正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且a4=8,S4-S1=38,则其公比等于( )
A. B.
C. D.
6. 若{an}为等差数列,Sn是其前n项和,且S13=,则tana7的值为( )
A. B.-
C.± D.-
7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am≠0,am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,则m=( )
A.10 B.20
C.38 D.9
8. 若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( )
A.15 B.12
C.-12 D.-15
9. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9的值是( )
A.24 B.19 C.36 D.40
10.数列{an}的通项公式是an=2n+n-1,则其前8项和S8等于________.
11.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则公比q的值是________.
12.数列的前n项和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距是________.
13. 如图所示,将数以斜线作如下分群:(1),(2,3),(4,6,5),(8,12,10,7),(16,24,20,14,9),…,并顺次称其为第1群,第2群,第3群,第4群,…,
1
3
5
7
9
…
2
6
10
14
18
…
4
12
20
28
36
…
8
24
40
56
72
…
16
48
80
112
144
…
…
…
…
…
…
…
(1)第7群中的第2项是:________;
(2)第n群中n个数的和是:________.
14.(10分) 等比数列{an}中,已知a2=2,a5=16.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)若等差数列{bn}中,b1=a5,b8=a2,求数列{bn}前n项和Sn,并求Sn的最大值.
15.(13分) 等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前2n项和S2n.
16.(12分) 已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
课时作业(三十二)
【基础热身】
1.B [解析] 根据等差中项和等比中项知x+y=5,mn=6,所以x+y+mn=11,故选B.
2.C [解析] 由a1=3,S3=21得a1(1+q+q2)=21,∴1+q+q2=7,∴q=2或q=-3(舍),∴a3+a4+a5=84,故选C.
3.A [解析] 方法一:由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10,
∴a10=S10-S9=S1=a1=1,故选A.
方法二:∵S2=a1+a2=2S1,∴a2=1,
∵S3=S1+S2=3,∴a3=1,
∵S4=S1+S3=4,∴a4=1,
由此归纳a10=1,故选A.
4.210 [解析] S20=-1+22-32+42-…+182-192+202=22-1+42-32+…+202-192=3+7+11+…+39==210.
【能力提升】
5.D [解析] 设首项为a1,公比为q,则a4+a3+a2=38,因为a4=8,所以a3+a2=30,即a1q3=8,a1q(1+q)=30,解得a1=27,q=.故选D.
6.B [解析] S13==13a7=,所以a7=,tana7=-.故选B.
7.A [解析] 由am-1+am+1-a=0得am=2,所以S2m-1==
=(2m-1)am=38,解得m=10.
8.A [解析] a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
9.A [解析] S9==72,a1+a9=16,得a5=8,
所以a2+a4+a9=a5-3d+a5-d+a5+4d=3a5=24.
10.538 [解析] S8=+-8=538.
11.2 [解析] 因为S6=S3+S3q3=S3·(1+q3),将已知数据代入,解得q=2.
12.-9 [解析] Sn=++…+=1-+-+…+-=,所以n=9,所以直线在y轴上的截距为-n=-9.
13.(1)96 (2)3·2n-2n-3 [解析] (1)第7群中的第2项是第2列中的第6个数,为3×26-1=96;
(2)第n群中n个数分别是1×2n-1,3×2n-2,5×2n-3,…,(2n-1)×2n-n.设第n群中n个数的和为Sn,所以Sn=1×2n-1+3×2n-2+5×2n-3+…+(2n-1)×2n-n.利用错位相减法可求得Sn=3·2n-2n-3.
14.[解答] (1)由a2=2,a5=16,得q=2,解得a1=1,
从而an=2n-1.
(2)由已知得b1=16,b8=2,又b8=b1+(8-1)d,
解得d=-2,
所以Sn=nb1+d=16n+(-2)=-n2+17n,
由于Sn=-2+,n∈N*,
所以Sn的最大值为S8=S9=72.
15.[解答] (1)当a1=3时,不合题意;
当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;
当a1=10时,不合题意.
因此a1=2,a2=6,a3=18,所以公比q=3.
故an=2·3n-1.
(2)因为bn=an+(-1)nlnan
=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)
=2·3n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln3]
=2·3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,
所以S2n=b1+b2+…+b2n
=2(1+3+…+32n-1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)2n2n]ln3
=2×+nln3
=32n+nln3-1.
【难点突破】
16.[解答](1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得解得
故数列{an}的通项公式为an=2-n.
(2)设数列的前n项和为Sn,即Sn=a1++…+,故S1=1,
=++…+.
所以,当n>1时,
=a1++…+-
=1--
=1--
=,
所以Sn=.
综上,数列的前n项和Sn=.
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