黑龙江省哈三中2020届高三第四次模拟数学（文）试题 8页

数学试卷（文史类） 第 1页 共 8 页 2020 年高三学年第四次高考模拟考试 数学 试卷（文史类） 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考 试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第 I 卷 （选择题, 共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．) 1. 设集合  03  xxA , 集合  022  xxxB , 则  BA A.  2, B.  3, C.  2,1 D.  2,1 2. 复数 z 的共轭复数为 z , 且满足 5 zz , 则复数 z 的模是 A. 1 B. 2 C. 5 D. 5 3. 已知向量 m )2,3( , n ),4( x , 若 m  n, 则 x A. 6 B. 3 8 C. 3 8 D. 6 数学试卷（文史类） 第 2页 共 8 页 4. 下列命题错误的是 A. 若“ p q ”为真命题，则 p 与 q 均为真命题 B. 命题“ p q 为真” 是“ p q 为真”的必要不充分条件 C. 若 2 0: , 2 1 0p x R x x     ，则 2: , 2 1 0p x R x x      D. “ 1x  ”是“ 1x  ”的充分不必要条件 5. 若 yx, 满足约束条件       5 12 1 yx xy y , 则 yxz  3 的最大值为 A. 2 B. 3 C. 11 D. 13 6. 将函数 ( ) sin(2 )3f x x   的图象向右平移 3  个单位长度，得到函数 ( )g x 的图象， 则函数 ( )g x 的图象的一条对称轴可以是 A. 6x  B. 3x  C. 7 12x  D. 5 12x  7. 函数 xx xxxf   55 sin5)( 3 的图象大致为 C D A y o x1－1 o x y 1－1 B o x y 1－1 o x y 1－1 数学试卷（文史类） 第 3页 共 8 页 8. 直线 y x m  与圆 2 2: 16O x y  相交于 M 、N 两点，若 2 3MON   ，则 m 的 取值范围是 A.  2,2 B.  4,4 C. 2 2,2 2   D. 0,2 2   9. 若正实数 ba, 满足 1 1 2 aba b  , 则 ab的最小值为 A. 2 B. 22 C. 4 D. 8 10. 中国的 5G 技术领先世界, 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 2log 1 SC W N      . 它表示:在受噪声干扰的信道中, 最大信息传递速率C 取决于 信道带宽W , 信道内信号的平均功率 S , 信道内部的高斯噪声功率 N 的大小, 其中 S N 叫做信噪比. 当信噪比比较大时, 公式中真数中的1可以忽略不计. 按照香农公式, 若不改变带宽W , 而将信噪比 S N 从 1000 提升至 4000, 则C 大约增加了 附： 3010.02lg  A. 10% B. 20% C. 50% D. 100% 11. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球的体积为 4 3  , 将正方体割去部分后, 剩余几何体的三视图如图所示, 则剩余几何体的体积为 A. 2 3 27 B. 4 3 27 C. 8 3 27 D. 16 3 27 正 侧 俯 数学试卷（文史类） 第 4页 共 8 页 12. 定义： { ( ) ( )}N f x g x 表示 ( ) ( )f x g x 的解集中整数的个数．若 2( ) | log ( 1) |f x x   ， 2( ) ( 3) 2g x a x   ，且 { ( ) ( )} 2N f x g x  ，则实数 a 的取值范围是 A． 22 log 3,  B． 22 log 3,2（ ） C． 22 log 3,2 D．  22 log 3,2 第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 已知函数 4 2( ) ( 1) 3f x x x a x     为偶函数，则 2a  . 14. 已知 4sin 5  ，则 cos( 2 )  = . 15. 我国在北宋年间(公元 1084 年)第一次印刷出版了《算经十书》, 即贾宪的《黄帝九章 算法细草》, 刘益的《议古根源》, 秦九韶的《数书九章》, 李冶的《测圆海镜》和 《益古演段》,杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》, 朱世杰的 《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰, 其 中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．哈三中图书馆中正好 有这十本书,但是书名中含有“算”字的书都已经借出，现在小张同学从剩余的书中任 借两本阅读, 那么他借到《数书九章》的概率为 . 16. 已知直线l 为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且l 与椭圆 :C 12 2 2 2  b y a x  0 ba 相交于 ,P Q 两点, 点 B 为椭圆上异于 ,P Q 的任意一点，若直线 BP和 BQ的斜率之积为 1 4 , 则椭圆 C 的离心率为 . 数学试卷（文史类） 第 5页 共 8 页 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分 12 分） 已知在递增等差数列 na 中, 1 1a  , 3a 是 1a 和 9a 的等比中项. (1) 求数列 na 的通项公式; (2) 若 1 12 na n n n b a a     ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 18. （本小题满分 12 分） 如 图, 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 ABCD 是 矩 形, 平 面 PAD  平 面 ABCD , 2PA PD  , 且 PA PD , 点 N 为 BC 中点. (1) 证明：平面 PAB  平面 PCD ; (2) 若直线 PB 和平面 PAD 所成的角为 45，求直线 PN 与平面 PCD所成角的正弦 值. N A D P CB 数学试卷（文史类） 第 6页 共 8 页 19. （本小题满分 12 分） 已知某种新型病毒的传染能力很强, 给人们生产和生活带来很大的影响, 所以创新 研发疫苗成了当务之急．为此, 某药企加大了研发投入, 市场上这种新型冠状病毒的 疫苗 A 的研发费用 x （百万元）和销量 y （万盒）的统计数据如下： 研发费用 x （百万元） 2 3 6 10 13 14 销量 y （万盒） 1 1 2 2.5 4 4.5 （1）根据上表中的数据, 建立 y 关于 x 的线性回归方程 axby ˆˆˆ  （用分数表示）; （2）根据所求的回归方程, 估计当研发费用为1600万元时, 销售量为多少？ 参考公式： 1 2 1 ( )( ) ( ) ˆ n i i i n i i x x y y b x x                n i i n i ii xnx yxnyx 1 22 1 , xbya ˆˆ  . 数学试卷（文史类） 第 7页 共 8 页 20. （本小题满分 12 分） 已 知 圆 M 经 过 点  0,1 且 与 直 线 1y   相 切 , 圆 心 M 的 轨 迹 为 曲 线 C , 点 ( ,1)( 0)A a a  为曲线C 上一点. (1) 求 a 的值及曲线C 的方程; (2)若 ,M N 为曲线C 上异于 A的两点，且 AM AN ．记点 ,M N 到直线 2x   的 距离分别为 1 2,d d ，判断 1 2d d 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明 理由． 21. 已知函数 axxf x  e)( 的图象与直线 xy )1(e2  2e 相切. (1) 求实数 a 的值; (2) 函数 ln 1( ) 1xg x x   ， b R ，若对任意的 0x  ，  ( ) ( )b f x x g x  恒成 立，求实数b 的取值范围. 数学试卷（文史类） 第 8页 共 8 页 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）[4-4 极坐标与参数方程] 在直角坐标系中, 直线l 的参数方程为        ty t,x 2 1 2 33 （ t 为参数）, 以坐标 原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为  sin4 ,若直线l 与曲线C 交于 BA, 两点. (1) 若 )0,3(P ，求 PBPA  ; (2) 若点 M 是曲线C 上不同于 BA, 的动点，求 MAB 面积的最大值. 23. （本小题满分 10 分）[4-5 不等式选讲] 已知函数 kxxf  3)( , 1)( xf 的解集为     3 11 xx . (1) 若存在 x , 使 axxf  13)( 成立, 求实数 a 的取值范围; (2) 如果对于 yx, 满足 412  yx , 13 7  y , 求证: 9)( xf .