【数学】2019届理科一轮复习北师大版3-6简单的三角恒等变换教案 7页

第六节　简单的三角恒等变换 (对应学生用书第 59 页) 三角函数式的化简 　(1)化简：sin 2α－2cos2α sin(α－π 4) ＝________. (2)化简： 2cos4x－2cos2x＋1 2 2tan(π 4 －x)sin2(π 4 ＋x) . (1)2 2cos α　[原式＝2sin αcos α－2cos2α 2 2 (sin α－cos α) ＝2 2cos α.] (2)[解]　原式＝ －2sin2xcos2x＋1 2 2sin(π 4 －x)cos2(π 4 －x) cos(π 4 －x) ＝ 1 2 (1－sin22x) 2sin(π 4 －x)cos(π 4 －x) ＝ 1 2cos22x sin(π 2 －2x) ＝1 2cos 2x. [规律方法]　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用 公式. 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是 “切化弦”. 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向. 2.三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，化异次为同次. [跟踪训练]　化简： (1＋sin θ＋cos θ)·(sin θ 2 －cos θ 2) 2＋2cos θ (0＜θ＜π)． [解]　原式 ＝(2sin θ 2cos θ 2 ＋2cos2θ 2)·(sin θ 2 －cos θ 2) 4cos2θ 2 ＝cos θ 2· sin2θ 2 －cos2θ 2 |cos θ 2| ＝ －cos θ 2·cos θ |cos θ 2| . ∵0＜θ＜π，∴0＜θ 2 ＜π 2 ，∴cosθ 2 ＞0， ∴原式＝－cos θ. 三角函数式的求值 ◎角度 1　给值求值 　(2017·全国卷Ⅰ)已知 α∈(0，π 2)，tan α＝2，则 cos(α－π 4)＝________. 3 10 10 　[cos(α－π 4)＝cos αcos π 4 ＋sin αsin π 4 ＝ 2 2 (cos α＋sin α)． 又由 α∈(0，π 2)，tan α＝2，知 sin α＝2 5 5 ，cos α＝ 5 5 ， 所以 cos(α－π 4)＝ 2 2 ×( 5 5 ＋2 5 5 )＝3 10 10 .] ◎角度 2　给角求值 　(2017·安徽二模)sin 40°(tan 10°－ 3)＝(　　) 【导学号：79140126】 A．－1 2 　　 B．－1 C． 3 2 D．－ 3 3 B　[sin 40°(tan 10°－ 3) ＝sin 40°(sin 10°－ (3)cos 10°) cos 10° ＝sin 40°·2sin(10°－60°) cos 10° ＝－2sin 40°cos 40° cos 10° ＝－sin 80° cos 10° ＝－cos 10° cos 10° ＝－1.故选 B．] ◎角度 3　给值求角 　设 α，β 为钝角，且 sin α＝ 5 5 ，cos β＝－3 10 10 ，则 a＋β 的值为(　　) A．3π 4 B．5π 4 C．7π 4 D．5π 4 或7π 4 C　[∵α，β 为钝角，sin α＝ 5 5 ，cos β＝－3 10 10 ， ∴cos α＝－2 5 5 ，sin β＝ 10 10 ， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 2 2 ＞0. 又 α＋β∈(π，2π)， ∴α＋β∈(3π 2 ，2π)，∴α＋β＝7π 4 .] [规律方法]　三角函数求值的类型与求解方法 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系. (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊 角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解. (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角 的范围，最后确定角. [跟踪训练]　(1)(2016·全国卷Ⅱ)若 cos(π 4 －α)＝3 5 ，则 sin 2α＝(　　) A． 7 25 B．1 5 C．－1 5 D．－ 7 25 (2)(2017·湖北新联考四模) sin 10° 1－ 3tan 10° ＝(　　) A．1 4 B．1 2 C． 3 2 D．1 (3)已知 tan α，tan β 是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两根，且 α，β∈(－π 2 ，π 2)， 则 α＋β＝(　　) A．π 3 B．π 3 或－2π 3 C．－π 3 或2π 3 D．－2π 3 (1)D　(2)A　(3)D　[(1)因为 cos(π 4 －α)＝3 5 ， 所以 sin 2α＝cos(π 2 －2α)＝cos 2(π 4 －α)＝2cos2(π 4 －α)－1＝2× 9 25 －1＝－ 7 25. (2) sin 10° 1－ 3tan 10° ＝ sin 10°cos 10° cos 10°－ 3sin 10° ＝ 2sin 10°cos10° 4(1 2cos 10°－ 3 2 sin 10°) ＝ sin 20° 4sin(30°－10°)＝1 4.故选 A． (3)由题意得 tan α＋tan β＝－3 3＜0，tan αtan β＝4＞0，所以 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝ 3，且 tan α＜0，tan β＜0，又由 α，β∈(－π 2 ，π 2)得 α，β∈ (－π 2 ，0)，所以 α＋β∈(－π，0)，所以 α＋β＝－2π 3 .] 三角恒等变换的简单应用 　已知函数 f(x)＝sin2x－sin2(x－π 6)，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间[－π 3 ，π 4]上的最大值和最小值. 【导学号：79140127】 [解]　(1)由已知，有 f(x)＝1－cos 2x 2 － 1－cos(2x－π 3) 2 ＝1 2(1 2cos 2x＋ 3 2 sin 2x)－1 2cos 2x ＝ 3 4 sin 2x－1 4cos 2x＝1 2sin(2x－π 6). 所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)因为 f(x)在区间[－π 3 ，－π 6]上是减函数， 在区间[－π 6 ，π 4]上是增函数， 且 f(－π 3 )＝－1 4 ，f(－π 6 )＝－1 2 ，f(π 4 )＝ 3 4 ， 所以 f(x)在区间[－π 3 ，π 4]上的最大值为 3 4 ，最小值为－1 2. [规律方法]　三角恒等变换应用问题的求解方法 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关 系；注意公式的逆用和变形使用. (2)把形如 y＝asin x＋bcos x 的函数化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中tan φ＝b a)的形 式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性. [跟踪训练]　(1)(2016·山东高考)函数 f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x)的最 小正周期是(　　) A．π 2 B．π C．3π 2 D．2π (2)函数 f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (1)B　(2)1　[(1)法一：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x) ＝4( 3 2 sin x＋1 2cos x)( 3 2 cos x－1 2sin x) ＝4sin(x＋π 6)cos (x＋π 6)＝2sin(2x＋π 3)， ∴T＝2π 2 ＝π. 法二：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x) ＝3sin xcos x＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x ＝sin 2x＋ 3cos 2x ＝2sin(2x＋π 3)， ∴T＝2π 2 ＝π. 故选 B． (2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)． ∴f(x)max＝1.]