【数学】2019届一轮复习北师大版空间线面关系的判断学案 15页

第14练　空间线面关系的判断 ‎[明考情]‎ 空间线面关系的判断是高考的必考内容，主要以选择题形式出现，属于基础题.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.空间线面位置关系的判断.‎ ‎2.空间中的平行、垂直关系.‎ ‎3.空间角的求解.‎ 考点一　空间线面位置关系的判断 方法技巧　(1)判定两直线异面的方法：‎ ‎①反证法；‎ ‎②利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线.‎ ‎(2)模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断.‎ ‎1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题中正确的是(　　)‎ A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 答案　D 解析　若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交.‎ ‎2.(2017·常德一中模拟)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则(　　)‎ A.若α∥β，则l∥m B.若l∥m，则α∥β C.若α⊥β，则l⊥m D.若l⊥β，则α⊥β 答案　D 解析　选项A，若α∥β，则直线l，m平行或异面，错误；选项B，若l∥m，则平面α，β平行或相交，错误；选项C，若α⊥β，则直线l，m平行、相交或异面，错误；选项D，若l⊥β，则由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确，故选D.‎ ‎3.已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)‎ A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 答案　D ‎4.将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(　　)‎ A.平行 B.垂直 C.相交成60°角 D.异面且成60°角 答案　D 解析　如图，直线AB，CD异面.因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.‎ ‎5.已知α，β表示平面，m，n表示直线，m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：‎ ‎①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∀n⊂α，m∥n；④∃n⊂α，m⊥n.‎ 则上述结论中正确的个数为(　　)‎ A.1B.2C.3D.4‎ 答案　B 解析　由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，n⊥β或n与β斜交或n∥β，所以①不正确；∀n⊂β，m⊥n，所以②正确；∀n⊂α，m与n可能平行、相交或异面，所以③不正确；当m⊂α或m∥α时，∃n⊂α，m⊥n，所以④正确.‎ 考点二　空间中的平行、垂直关系 方法技巧　(1)利用平面图形中的线的平行判断平行关系：‎ ‎①比例线求证平行，特别是三角形中位线定理；②平行四边形的对边互相平行；③同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行.‎ ‎(2)熟练把握平面图形中的垂直关系 ‎①等腰三角形的底边上的中线和高重合；‎ ‎②菱形的对角线互相垂直；‎ ‎③圆的直径所对的圆周角为直角；‎ ‎④勾股定理得垂直.‎ ‎(3)空间中平行与垂直的实质是转化与化归思想在空间中的体现.‎ ‎6.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案　C 解析　由已知，α∩β＝l，∴l⊂β.又n⊥β，∴n⊥l，故选C.‎ ‎7.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是(　　)‎ A.若m∥n，m⊥α，则n⊥α B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β C.若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β D.若m∥α，α∩β＝n，则m∥n 答案　D 解析　易知A，B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α.又n⊂β，所以β⊥α，即C正确；对于D，因为m∥α，α∩β＝n，所以m∥n或m与n是异面直线，故D不正确.‎ ‎8.空间四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与(　　)‎ A.AC，BD之一垂直 B.AC，BD都垂直 C.AC，BD都不垂直 D.AC，BD不一定垂直 答案　B 解析　连接AN，CN，BM，DM.‎ 易证△ABD≌△CDB，‎ ‎∴AN＝CN，‎ ‎∵在△ACN中M是底边AC的中点，∴MN⊥AC，同理MN⊥BD.‎ ‎9.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断：‎ ‎①直线AC与直线C1E是异面直线；②A1E一定不垂直于AC1；③三棱锥E—AA1O的体积为定值；④AE＋EC1的最小值为2.‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A.1B.2C.3D.4‎ 答案　C 解析　①因为点A∉平面BB1C1C，所以直线AC与直线C1E是异面直线；②当A1E⊥AB1时，直线A1E⊥平面AB1C1，所以A1E⊥AC1，错误；③球心O是直线AC1，A1C的交点，底面OAA1面积不变，直线BB1∥平面AA1O，所以点E到底面的距离不变，体积为定值；④将矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展开到一个面内，当点E为AC1与BB1的交点时，AE＋EC1取得最小值2，故选C.‎ ‎10.如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，则B1C与AB的位置关系为________.‎ 答案　异面垂直 解析　∵AO⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，‎ ‎∴AO⊥B1C.‎ 又侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BO，‎ 又AO∩BO＝O，‎ ‎∴B1C⊥平面ABO.∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB.‎ 考点三　空间角的求解 方法技巧　(1)对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置.‎ ‎(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影.‎ ‎11.已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的大小为(　　)‎ A.90°B.45°C.60°D.30°‎ 答案　D 解析　设G为AD的中点，连接GF，GE，‎ 则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.‎ 由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，GE∥CD，且GE＝CD＝2，‎ ‎∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角.‎ 又EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.‎ 因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，‎ 由正弦的定义，得sin∠GEF＝＝，‎ 可得∠GEF＝30°.‎ ‎∴EF与CD所成的角的大小为30°.‎ ‎12.(2016·全国Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　A 解析　如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，‎ ‎∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，‎ 又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，‎ 平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，‎ ‎∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.‎ 故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小.‎ 而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，因此∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝，故选A.‎ ‎13.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　C 解析　由题意，初始状态直线AD与直线BC所成的角为0，‎ 当DB＝时，AD⊥DB，AD⊥DC，又DC∩DB＝D，‎ ‎∴AD⊥平面DBC，又BC⊂平面DBC，AD⊥BC，‎ 直线AD与直线BC所成的角为，‎ ‎∴在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为.‎ ‎14.已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是(　　)‎ A.B.C.D. 答案　B 解析　连接BD，AE，过点F作FH⊥BD交BD于H，连接EH，易证FH⊥平面BDD1B1，‎ ‎∴∠FEH是直线EF和平面BDD1B1所成的角.‎ 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，‎ ‎∵E，F分别是棱BB1，AD的中点，‎ ‎∴在Rt△DFH中，DF＝1，∠FDH＝45°，‎ 可得FH＝DF＝.‎ 在Rt△AEF中，AF＝1，AE＝＝，‎ 可得EF＝＝.‎ 在Rt△EFH中，sin∠FEH＝＝，即直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是.‎ ‎1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为(　　)‎ A.2B.4C.6D.12 答案　D 解析　如图所示.‎ 取正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1的中点L，K，Q，连接NL，LK，KQ，QP，‎ 则六边形PQKLNM是过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面，‎ 该六边形是正六边形，其边长为NQ＝2，‎ 其面积为6××(2)2×＝12.‎ ‎2.给出下列命题：‎ ‎①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；‎ ‎②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；‎ ‎③一定存在平面α同时和异面直线a，b都平行.‎ 其中正确的命题为(　　)‎ A.①B.②C.③D.①③‎ 答案　C 解析　①错，c可与a，b都相交；②错，因为a，c也可能相交或平行；③正确，例如过异面直线a，b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即满足条件.‎ ‎3.已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)‎ A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案　B 解析　对A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；‎ 对C，n还可能在平面α内，故C不正确；‎ 对D，n可能平行于平面α，还可能在平面α内，故D不正确；‎ 对B，由线面垂直的定义可知正确.‎ ‎4.(2017·河北张家口期末)在三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　C 解析　如图所示，取AC的中点D，建立空间直角坐标系.‎ 不妨设AC＝2，则A(0，－1，0)，N(0，0，2)，B(－，0，0)，M，‎ ＝(0，1，2)，＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝，‎ 故选C.‎ 解题秘籍　(1)平面的基本性质公理是几何作图的重要工具.‎ ‎(2)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].‎ ‎(3)线面关系的判断要结合空间模型或实例，以定理或结论为依据进行推理，绝不能主观判断.‎ ‎1.已知直线a∥平面α，则“直线a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若直线a⊥平面β，直线a∥平面α，可得平面α⊥平面β；若平面α⊥平面β，又直线a∥平面α，那么直线a⊂平面β，直线a⊄平面β都可能成立.如正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BCC1B1，直线AD∥平面BCC1B1，但直线AD⊂平面ABCD；直线AD1∥平面BCC1B1，但直线AD1与平面ABCD不垂直.综上，“直线a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件.‎ ‎2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为(　　)‎ A.6＋4B.6＋2C.3＋4D.3＋2 答案　A 解析　∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点，‎ ‎∴EF∥AD1∥BC1.‎ ‎∵EF⊄平面BCC1，BC1⊂平面BCC1，‎ ‎∴EF∥平面BCC1.‎ 由正方体的边长为4，可得截面是以BE＝C1F＝2为腰，EF＝2为上底，BC1＝2EF＝4为下底的等腰梯形，故周长为6＋4.‎ 故选A.‎ ‎3.(2017·唐山一模)下列命题正确的是(　　)‎ A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B.若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 答案　C 解析　A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；B选项中两垂直平面与l所成的角都是45°；D选项中两平面也可能相交.C正确.‎ ‎4.在如图所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，直线BF与平面AD1E的位置关系是(　　)‎ A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.异面 答案　A 解析　取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，‎ ‎∴BFOE是平行四边形，‎ ‎∴BF∥EO.‎ ‎∵BF⊄平面AD1E，‎ OE⊂平面AD1E，‎ ‎∴BF∥平面AD1E.‎ ‎5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是(　　)‎ A.AD⊥平面BCD B.AB⊥平面BCD C.平面BCD⊥平面ABC D.平面ADC⊥平面ABC 答案　D 解析　∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，‎ ‎∴BD⊥CD.又CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，‎ 故AB⊥平面ADC，∴平面ABC⊥平面ADC.‎ ‎6.已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：‎ ‎①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是(　　)‎ A.①③B.②④C.①④D.②③‎ 答案　C 解析　对于②，平面α与β还可以相交；‎ 对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，‎ 所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.‎ ‎7.如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝CD＝2，BC＝2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为(　　)‎ A.B.C.D. 答案　C 解析　连接BD，OB，则OM∥DB，‎ ‎∴∠PDB或其补角为异面直线OM与PD所成的角.‎ 由条件PO⊥平面ABCD可知，‎ OB＝3，PO＝，BD＝2，PB＝2，‎ 在△PBD中，由余弦定理可得cos∠PDB＝＝.‎ ‎8.如图是一个几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：‎ ‎①直线BE与直线CF异面；‎ ‎②直线BE与直线AF异面；‎ ‎③直线EF∥平面PBC；‎ ‎④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确结论的个数是(　　)‎ A.1B.2C.3D.4‎ 答案　B 解析　画出几何体的图形，如图，‎ 由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，‎ 因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，‎ 所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；‎ ‎②直线BE与直线AF异面，满足异面直线的定义，正确；‎ ‎③由E，F分别是PA与PD的中点可知，EF∥AD，所以EF∥BC.‎ 因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，正确.‎ ‎④因为△PAB与底面ABCD的关系不是垂直关系，‎ BC与平面PAB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确.故选B.‎ ‎9.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________.‎ 答案　平行 解析　由＝，得MN∥BD.‎ 而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，‎ 所以MN∥平面BDC.‎ ‎10.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱AA1，B1C1，C1D1，DD1的中点，则GH与平面EFH所成角的余弦值为______.‎ 答案　 解析　连接B1E，HC1，‎ 平面EFH即平面B1C1HE.‎ 在正方体AC1中，‎ B1C1⊥平面CDD1C1，‎ 故平面B1C1HE⊥平面CDD1C1，过点G作GM⊥C1H于M，则GM⊥平面B1C1HE，则∠C1HG即为GH与平面EFH所成的角，设正方体棱长为2，则GH＝，GC1＝1，HC1＝‎ eq (5)，‎ ‎∴cos∠C1HG＝＝.‎ ‎11.(2016·全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的序号)‎ 答案　②③④‎ 解析　当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.‎ ‎12.(2017·全国Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)‎ 答案　②③‎ 解析　依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.‎ 由题意知，点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.‎ 设直线a的方向向量为a＝(0，1，0)，直线b的方向向量为b＝(1，0，0)，以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0，2π)，则B(cosθ，sinθ，0)，‎ ‎∴＝(cosθ，sinθ，－1)，||＝.‎ 设直线AB与a所成的夹角为α，‎ 则cosα＝＝|sinθ|∈，‎ ‎∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误；‎ 设直线AB与b所成的夹角为β，‎ 则cosβ＝＝|cosθ|.‎ 当直线AB与a的夹角为60°，即α＝60°时，‎ 则|sinθ|＝cosα＝cos60°＝，‎ ‎∴|cosθ|＝，∴cosβ＝|cosθ|＝.‎ ‎∵45°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°.‎ ‎∴②正确，①错误.‎