高中数学人教a版选修1-2学业分层测评6分析法及其应用word版含解析 6页

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2021-06-24 发布

高中数学人教a版选修1-2学业分层测评6分析法及其应用word版含解析

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学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．若 a，b∈R，则 1 a3> 1 b3 成立的一个充分不必要条件是( ) A．ab>0 B．b>a C．a 1 b3 ，但 1 a3> 1 b3 不能推出 a 1 b3 的一个充分不必要条件．【答案】 C 2．求证： 7－1> 11－ 5. 证明：要证 7－1> 11－ 5，只需证 7＋ 5> 11＋1，即证 7＋2 7×5＋5>11＋2 11＋1，即证 35> 11， ∵35>11， ∴原不等式成立．以上证明应用了( ) A．分析法 B．综合法 C．分析法与综合法配合使用 D．间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选 A. 【答案】 A 3．(2016·汕头高二检测)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( ) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋b4 2 ≤0 C.a＋b2 2 －1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 【解析】要证 a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0. 【答案】 D 4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边 a， b，c 应满足什么条件( ) A．a2b2＋c2 D．a2≤b2＋c2 【解析】由余弦定理得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc <0， ∴b2＋c2－a2<0，即 b2＋c2b>c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac< 3a”，索的因应是( ) A．a－b>0 B．a－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 【解析】由题意知 b2－ac< 3a⇐b2－ac<3a2 ⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2 ⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0 ⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0 ⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选 C. 【答案】 C 二、填空题 6．(2016·烟台高二检测)设 A＝ 1 2a ＋ 1 2b ，B＝ 2 a＋b(a>0，b>0)，则 A，B 的大小关系为________．【解析】 ∵A－B＝a＋b 2ab － 2 a＋b ＝a＋b2－4ab 2aba＋b ＝ a－b2 2aba＋b ≥0，∴A≥B. 【答案】 A≥B 7．(2016·西安高二检测)如果 a a>b b，则实数 a，b 应满足的条件是________. 【导学号：19220024】【解析】要使 a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需 a3>b3>0，即 a，b 应满足 a>b>0. 【答案】 a>b>0 8．如图 225，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的侧棱垂直于底面，满足________ 时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．图 225 【解析】要证 BD⊥A1C，只需证 BD⊥平面 AA1C.因为 AA1⊥BD，只要再添加条件 AC⊥BD，即可证明 BD⊥平面 AA1C，从而有 BD⊥A1C. 【答案】 AC⊥BD(或底面为菱形) 三、解答题 9．设 a，b>0，且 a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2. 【证明】法一：分析法要证 a3＋b3>a2b＋ab2 成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因 a＋b>0，只需证 a2－ab＋b2>ab 成立，只需证 a2－2ab＋b2>0 成立，即需证(a－b)2>0 成立．而依题设 a≠b，则(a－b)2>0 显然成立，由此命题得证．法二：综合法 a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab. 注意到 a，b>0，a＋b>0，由上式即得 (a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)． ∴a3＋b3>a2b＋ab2. 10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为 a，b，c，其面积为 S，求证：a2＋b2＋c2≥4 3S. 【证明】要证 a2＋b2＋c2≥4 3S，只要证 a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2 3absin C，即证 a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为 2absin(C＋30°)≤2ab，只需证 a2＋b2≥2ab，显然上式成立．所以 a2＋b2＋c2≥4 3S. [能力提升] 1．已知 a，b，c，d 为正实数，且a b a＋b(a>0，b>0) C. a－ a－1< a－2－ a－3(a≥3) D. 2＋ 10>2 6 【解析】对于 A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2 ＋c2≥ab＋bc＋ca；对于 B，∵( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，( a＋b)2＝a＋b，∴ a＋ b> a＋b；对于 C，要证 a－ a－1< a－2－ a－3(a≥3)成立，只需证明 a＋ a－3< a－2＋ a－1，两边平方得 2a－3＋2 aa－3<2a－3＋2 a－2a－1，即 aa－3< a－2a－1，两边平方得 a2－3a1＋ p成立的正整数 p 的最大值是________. 【导学号：19220025】【解析】由 3＋2 2>1＋ p，得 p< 3＋2 2－1，即 p<( 3＋2 2－1)2，所以 p<12＋4 6－4 2－2 3，由于 12＋4 6－4 2－2 3≈12.7，因此使不等式成立的正整数 p 的最大值是 12. 【答案】 12 4．(2016·唐山高二检测)已知 a，b，c 是不全相等的正数，且 0abc. ∵a，b，c 是不全相等的正数， ∴a＋b 2 ≥ ab>0，b＋c 2 ≥ bc>0，a＋c 2 ≥ ac>0， ∴a＋b 2 ·b＋c 2 ·a＋c 2 > a2b2c2＝abc. 即a＋b 2 ·b＋c 2 ·a＋c 2 >abc 成立． ∴logx a＋b 2 ＋logx b＋c 2 ＋logx a＋c 2

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