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- 2021-06-24 发布
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第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.4
数乘向量
必备知识
·
探新知
关键能力
·
攻重难
课堂检测
·
固双基
素养作业
·
提技能
素养目标
·
定方向
素养目标
·
定方向
课程标准
学法解读
1.
理解数乘向量的定义及几何意义.
2
.了解数乘向量的运算律.
3
.会判定向量平行、三点共线.
1.
通过学习数乘向量的定义、几何意义及运算律,培养学生的数学抽象、直观想象素养.
2
.通过数乘向量运算律的运用,向量平行及三点共线的判定与应用,培养学生的数学运算和逻辑推理素养.
必备知识
·
探新知
定义:实数
λ
与向量
a
的积是一个
________
,这种运算简称数乘向量,记作
λ
a
.
规定:
(1)
当
λ
≠0
且
a
≠0
时,
|
λ
a
|
=
|
λ
||
a
|
,且
①当
λ
>
0
时,
λ
a
的方向与
a
的方向
________
;
②当
λ
<
0
时,
λ
a
的方向与
a
的方向
________
.
(2)
当
λ
=
0
或
a
=
0
时,
λ
a
=
_____
.
向量的数乘运算
知识点
一
向量
相同
相反
0
思考:
(1)
定义中
“
是一个向量
”
告诉了我们什么信息?
(2)
若把
|
λ
a
|
=
|
λ
||
a
|
写成
|
λ
a
|
=
λ
|
a
|
可以吗?为什么?
提示:
(1)
数乘向量的结果仍是一个向量,它既有大小又有方向.
(2)
不可以,当
λ
<
0
时不成立.
设
λ
,
μ
为实数,则
λ
(
μ
a
)
=
___
____
___
a
;
特别地,我们有
(
-
λ
)
a
=-
(
λ
a
)
=
λ
(
-
a
)
.
思考:
这里的条件
“
λ
,
μ
为实数
”
能省略吗?为什么?
提示:
不能,数乘向量中的
λ
,
μ
都是实数,只有
λ
,
μ
都是实数时,运算律才成立.
向量数乘的运算律
知识点
二
(
λμ
)
如果存在实数
λ
,使得
b
=
λ
a
,则
b
∥
A
.
思考:
“
若向量
b
∥
a
,则存在实数
λ
,使得
b
=
λ
A
.
”
成立吗?
提示:
不成立,若
a
=
0
,
b
≠0
,则
λ
不存在.
向量共线的条件
知识点
三
关键能力
·
攻重难
数乘向量的定义
题型探究
题型
一
设
a
是非零向量,
λ
是非零实数,则以下结论正确的有
________
.
①
|
-
λ
a
|≥|
a
|
;
②
a
与
λ
2
a
方向相同;
③
|
-
2
λ
a
|
=
2|
λ
|
·
|
a
|
.
典例剖析
典例
1
②③
[
分析
]
根据数乘向量的概念解决.
[
解析
]
当
0
<
λ
<
1
时,
|
-
λ
a
|
<
|
a
|
,
①
错误;
②③
正确.
规律方法:
数乘向量与原来向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.
1
.若两个非零向量
a
与
(2
x
-
1)
a
方向相同,则
x
的取值范围为
__
__
__
__
__
.
对点训练
数乘向量的运算
题型
二
典例剖析
典例
2
②③
[
分析
]
根据向量数乘的运算律解决.
规律方法:
λ
a
中的实数
λ
称为向量
a
的系数,数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘,作为新向量的系数.
对点训练
数乘向量的应用
题型
三
角度
1
判断向量共线
已知
a
=
2
e, b
=-
4
e,
判断
a
,
b
是否平行,求
|
a
|∶|
b
|
的值;若
a
∥
b
,说出它们是同向还是反向.
[
分析
]
利用数乘向量的定义解决.
[
解析
]
因为
b
=-
4
e
=-
2(2
e
)
=-
2
a
,所以
a
∥
b
,且
2|
a
|
=
|
b
|
,即
|
a
|
∶
|
b
|
=
1
∶
2.
向量
a
,
b
反向.
典例剖析
典例
3
母题探究:
把本例条件改为
“
a
=
2
e
,
b
=
3
e
,
”
其他条件不变,试判断
a
与
b
是否平行,求
|
a
|
∶|
b
|
的值;若
a
∥
b
,说明它们是同向还是反向.
典例
4
[
分析
]
利用数乘向量的定义解决.
对点训练
典例剖析
典例
4
易错警示
[
辨析
]
解决有关数乘向量的问题,注意向量的方向的对应性.
课堂检测
·
固双基
素养作业
·
提技能
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