湖北省2020届高三下学期4月线上调研考试数学（理）试题 Word版含解析 28页

www.ks5u.com ‎2020年湖北省高三（4月）线上调研考试 理科数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知实数集R，集合，集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以求出集合，然后进行交集和补集的运算即可．‎ ‎【详解】解：‎ 所以，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知，若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设．由，可得，，，解得，．‎ ‎【详解】解：设.‎ - 28 -‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得.则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算性质、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3.若，则( )‎ A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令求得，再令即可求解结论．‎ ‎【详解】解：因为：，‎ 令可得：；‎ 令可得：；‎ 故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．‎ ‎4.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）.‎ 节气 冬至 小寒 ‎（大雪）‎ 大寒 ‎（小雪）‎ 立春 ‎（立冬）‎ 雨水 ‎（霜降）‎ 惊蛰 ‎（寒露）‎ 春分 ‎（秋分）‎ 清明 ‎（白露）‎ 谷雨 ‎（处暑）‎ 立夏 ‎（立秋）‎ 小满 ‎（大暑）‎ 芒种 ‎（小暑）‎ 夏至 - 28 -‎ 晷影长 ‎（寸 ‎135‎ ‎75.5‎ ‎16.0‎ 已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为( )‎ A. 91.6寸 B. 82.0寸 C. 81.4寸 D. 72.4寸 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为，夏至晷影长为14.8寸，则为，春分的晷影长为，根据等差数列的性质即可求解．‎ ‎【详解】解：由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为，夏至晷影长为14.8寸，则为，‎ 春分的晷影长为；‎ ‎；‎ 即春分的晷影长为72.4．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的应用，属于基础题．‎ ‎5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（ ）‎ - 28 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设f（x），分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数y＝f（x）为增函数，排除C；即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，设f（x），有f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；‎ 设t＝cosx，则y＝﹣2t2+t+1，‎ 在区间[0，]上，t＝cosx为减函数，且0≤t≤1，‎ y＝﹣2t2+t+1，其对称轴为t，开口向下，在区间（﹣∞,）上为增函数，（,+∞）上为减函数，‎ 在区间（0,arccos）上，t＝cosx为减函数，此时t＜1，函数y＝﹣2t2+t+1为减函数，‎ 故函数y＝f（x）为增函数，排除C；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的分析，属于基础题．‎ ‎6.已知，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 28 -‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数和指数函数的性质求解．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．‎ ‎7.设等比数列的公比为q，前n项和为，则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的前项和为．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【详解】解：若时，，‎ 时，，符合题意，是充分条件；‎ 反之也成立，‎ 故“”是“”的充要条件，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质是解决本题的关键．‎ ‎8.如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为( )‎ - 28 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．‎ ‎【详解】解：，F为BC的中点，‎ ‎，‎ 设 ‎，‎ 又，‎ - 28 -‎ ‎，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎9.已知函数，若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式，讨论的取值范围，结合二次函数的图像与性质及一次函数解析式，即可求得a的取值范围.‎ ‎【详解】函数，若存在，且，使得成立，‎ 当，即时，根据二次函数的图像与性质可知存在，且，使得成立，‎ 当时，即时，若存在，且，使得成立，则，解得，所以，‎ 综上所述，的取值范围为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数解析式的应用，分类讨论思想的应用，属于基础题.‎ - 28 -‎ ‎10.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．‎ ‎【详解】如图，‎ 因为A为F1B的中点，所以，‎ 又因为B在圆上，所以0，故OA⊥F1B，‎ 则F1B：y（x+c），‎ 联立，解得B（,），‎ 则OB2＝（）2+（）2＝c2，‎ 整理得：b2＝3a2，‎ ‎∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，‎ - 28 -‎ ‎∴4，e2．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．‎ ‎11.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ）‎ A. 1m B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.‎ ‎【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从爬行一周后回到（记作），作，如下图所示：‎ 由最短路径为，即，‎ 由圆的性质可得，即扇形所对的圆心角为，‎ 则圆锥底面圆的周长为，‎ 则底面圆的半径为，‎ 故选：B.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.‎ ‎12.已知函数，、、，且都有，满足的实数有且只有个，给出下述四个结论：‎ ‎①满足题目条件的实数有且只有个；②满足题目条件的实数有且只有个；‎ ‎③在上单调递增；④的取值范围是．‎ 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由，得出，由题意得出为函数的最小值，为函数的最大值，作出函数的图象，结合图象得出，进而对各结论进行验证.‎ ‎【详解】，当时，.‎ 设进行替换，作出函数的图象如下图所示：‎ 由于函数在上满足的实数有且只有个，‎ 即函数上有且只有个零点，‎ - 28 -‎ 由图象可知，解得，结论④正确；‎ 由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；‎ 当时，，‎ 由知，所以在上递增，‎ 则函数在上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③④.故选D．‎ ‎【点睛】本题考查余弦型函数的零点、最值点以及单调性有关命题的判断，解题时要充分计算出对象角的取值范围，并作出图象进行验证，考查推理能力，属于难题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.设曲线y＝ex+1上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1＝0，则点P的坐标是_____．‎ ‎【答案】（0,2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．‎ ‎【详解】由题意得y′＝ex，且切线斜率为1．‎ 设切点为P（x,y），则ex＝1，‎ 所以x＝0，∴y＝e0+1＝2．‎ 故切点坐标为（0,2）．‎ 故答案为：（0,2）‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义的应用，本题利用切点处的导数等于切线斜率构造方程求解，注意掌握．‎ ‎14.某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n - 28 -‎ ‎，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解．‎ ‎【详解】解：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，‎ 所以，‎ 又因为三个社团他都能进入的概率为，‎ 所以①，‎ 因为至少进入一个社团的概率为，‎ 所以一个社团都不能进入的概率为，‎ 所以，即②，‎ 联立①②得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】正确使用相互独立事件及对立事件的概率公式进行计算，是解决此题的关键，属于基础题．‎ ‎15.自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为_____．‎ - 28 -‎ ‎【答案】9600‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意x∈N，y∈N，把运输队所花成本z看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．‎ ‎【详解】设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，‎ 则，且x∈N，y∈N，‎ 目标函数z＝1200x+1800y，‎ 画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：‎ 由图可知，当直线z＝240x+378y经过点B（8,0）时，截距z最小，‎ ‎∵在可行域的整数点中，点（8,0）使z取得最小值，‎ 即zmin＝1200×8+1800×0＝9600，‎ ‎∴每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，‎ 最低成本为9600元，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，根据题意列出不等式组是解题关键，本题属于中档题．‎ - 28 -‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．‎ ‎【详解】解：设的内切圆与相切于D，E，F，‎ 设，‎ 则，‎ 由椭圆的定义，可得，，‎ 即有，‎ 即有：，即，‎ 再由，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ - 28 -‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满.‎ ‎（1）求角B的值；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，可求的值．‎ ‎（2）由，可求得，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎，‎ 解得，可得，‎ 可得，‎ ‎，或.‎ - 28 -‎ ‎（2），由（1）可得，‎ 由正弦定理，‎ 可得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．‎ ‎18.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，，点M是SA的中点，，，.‎ ‎（1）求证：平面SCD；‎ ‎（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ - 28 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接，设，，由已知可得，则，又平面底面，由面面垂直的性质可得平面；‎ ‎（2）过点作的垂线，交延长线于点，连接，可得，则底面，故为斜线在底面内的射影，求解三角形可得，从而，过点作，则底面，可得、、两两垂直，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【详解】解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE，‎ 设，，‎ 依题意，四边形ABED为正方形，‎ 且有,‎ ‎，则.‎ 又平面底面ABCD，平面底面，‎ 平面SCD；‎ ‎（2）解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，‎ 平面底面ABCD，‎ 平面底面，‎ 平面SCD，底面ABCD，‎ 故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，‎ 为斜线SD与底面ABCD所成的角，即.‎ 由（1）得，，在中，，，‎ 在中，，‎ - 28 -‎ 由余弦定理得，‎ ‎，从而，‎ 过点D作，底面ABCD，‎ DB、DC、DF两两垂直，‎ 如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，，‎ 设平面MBD的法向量，‎ 由，‎ 取，得；‎ 设平面SBC的一个法向量为，‎ 由，‎ 取，得.‎ - 28 -‎ ‎.‎ 平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．‎ ‎19.线段AB为圆的一条直径，其端点A，B在抛物线 上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11.‎ ‎（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；‎ ‎（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N点，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的定义可求出，再利用点差法求出直线的斜率，结合直线过圆心，利用点斜式即可求出直线的方程：‎ ‎（2）不妨设，，，，，，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求出，再利用导数的几何意义求出抛物线在，的切线方程，把点，代入切线的方程得，同理可得：，故， 为一元二次方程的两根，再次利用韦达定理得，，所以点到直线的距离，所以，故当时，的面积取得最小值，最小值为27.‎ ‎【详解】解：（1）设，抛物线的焦点为F，‎ - 28 -‎ 则，‎ 又，‎ 抛物线C的方程为：，‎ 由，两式相减得：，‎ 直线AB的斜率为﹣1，‎ 圆M方程：化为坐标方程为：‎ ‎，‎ 直线AB过圆心，‎ 直线AB的方程为：，即；‎ ‎（2）不妨设，‎ 直线l的方程为，‎ 联立方程，消去y得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 抛物线C的方程为，‎ ‎，‎ 抛物线C在的切线方程为：，‎ 又点在切线PN上，‎ 则，即，‎ 同理可得：，‎ 故为一元二次方程的两根，‎ - 28 -‎ ‎，又，‎ ‎，‎ 点N到直线PQ的距离 ‎，‎ ‎，‎ 当时，的面积取得最小值，最小值为27，‎ 面积的取值范围为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若函数在上有两个零点，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于函数为偶函数，故只需求，时的最小值，利用，对分及，，两类讨论，即可求得函数的最小值；‎ ‎（2）只需证，其中，，构造函数，，利用导数结合题意可证得．‎ ‎【详解】解：（1）由于函数为偶函数，要求函数的最小值，‎ - 28 -‎ 只需求时的最小值即可.‎ 因为,‎ 所以，当时，‎ 设，‎ 显然单调递增，而，‎ 由零点存在定理，存在唯一的，使得，‎ 当单减，‎ 当单增，‎ 而，，‎ 即，，单减，‎ 又当，，，单增，‎ 所以；‎ ‎（2）只需证，其中，，‎ 构造函数，，‎ ‎，即单增，‎ 所以，，‎ - 28 -‎ 即当时，，‎ 而，所以，‎ 又，即，‎ 此时，，‎ 由第（1）问可知，在上单增，‎ 所以，，，即证.‎ ‎【点睛】本题考查 利用导数来求曲线某点的切线方程及利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．‎ ‎21.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，列需要检验次；②混合检验，将其（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.‎ ‎（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.‎ ‎（2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.‎ ‎（i）运用概率统计知识，若，试求关于的函数关系式；‎ ‎（ii）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.‎ - 28 -‎ 参考数据：，，.‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）（且）；（ii）的最大值为8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合题意，由排列组合知识及概率公式即可得解；‎ ‎（2）先由已知条件求得关于的函数关系式，再利用导数研究函数的单调性，再结合函数性质即可得解.‎ ‎【详解】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，‎ 则.‎ ‎（2）（i），的取值为1，，，，‎ 所以，‎ 由，得，所以（且）.‎ ‎（ii），，所以，即.‎ 设，，，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减.‎ ‎，，‎ 所以最大值为8.‎ ‎【点睛】本题考查了概率公式及随机变量的期望，重点考查了导数的综合应用，属中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．‎ - 28 -‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．‎ ‎【答案】（1）ρ＝4cosθ；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0，转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．‎ 曲线C2的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线l：y＝kx转换为极坐标方程为θ＝θ0，代入，解得．‎ 代入ρ＝4cosθ，得到ρP＝4cosθ0，‎ 由于|OQ|＝|PQ|，所以ρP＝2ρQ，‎ 故：，解得，，‎ 所以，．‎ 则．‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎23.已知实数a、b满足a2+b2-ab＝3．‎ ‎（1）求a-b的取值范围；‎ ‎（2）若ab＞0，求证：．‎ ‎【答案】（1）﹣2≤a﹣b≤2；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．‎ ‎①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；‎ ‎②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得 ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，‎ 得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；‎ ‎（2）由（1）知0＜ab≤3，可得，‎ 利用配方法即可容易证明.‎ ‎【详解】（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．‎ ‎①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；‎ ‎②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得 ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，‎ 所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，‎ 而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，‎ 所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；‎ ‎（2）由（1）知0＜ab≤3，‎ 因为 当且仅当ab＝2时取等号，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的证明，属于中档题．‎ - 28 -‎ ‎ ‎ - 28 -‎ - 28 -‎