2019届四川成都市石室中学高三下学期三诊模拟数学（文）试题（解析版） 18页

四川省成都石室中学2019届高三下学期 ‎“三诊”模拟考试数学（文）试题 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】∵集合，‎ ‎，‎ 因此，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查交集运算，涉及一元二次不等式与指数不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.设（是虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算、共轭复数的定义可计算出的值.‎ ‎【详解】，，则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的除法、共轭复数的相关计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为 （）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意可得直线经过点且斜率为1，则其方程为，即，故选A ‎4. 一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为2×，所以几何体体积为，选B．‎ 考点：本题主要考查三视图，几何体的体积计算．‎ 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．‎ ‎5.设，，且，，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式可求出的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出的最小值.‎ ‎【详解】，，且，，，‎ ‎，当且仅当时取等号.‎ ‎，则的最小值是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.若A为不等式组所示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+ y =a扫过A中的那部分区域面积为（ ）‎ A. 2 B. 1‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，不等式组表示的平面区域是,动直线在轴上的截距从变化到1,知是斜边为3等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积,故选D.‎ 考点：二元一次不等式（组）与平面区域 点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．‎ ‎7.函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由周期公式可知函数周期为2，∴AB=2，过P作PC⊥AB与C，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APC与∠BPC的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ．‎ ‎【详解】. ‎ PC⊥AB与C ‎,‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式，属于综合题.‎ ‎8.下列命题中：①若“”是“”的充要条件；‎ ‎②若“，”，则实数的取值范围是；‎ ‎③已知平面、、，直线、，若，，，，则；‎ ‎④函数的所有零点存在区间是.‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误.‎ ‎【详解】①由，可知，所以有，当时，满足，但不成立，所以①错误；‎ ‎②要使“，”成立，则有对应方程的判别式，即，解得或，所以②正确；‎ ‎③因为，，，所以，又，所以根据面面垂直的性质定理知，所以③正确；‎ ‎④因为，，且函数连续，‎ 所以根据零点存在定理可知在区间上，函数存在零点，所以④正确.‎ 所以正确的是②③④，共有三个.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎9.已知数列{}的前n项和满足：，且＝1，那么＝(　 　)‎ A. 1 B. 9 C. 10 D. 55‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ a10＝S10－S9＝(S1＋S9)－S9＝S1＝a1＝1，故选A.‎ ‎10.已知函数，设，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由指数函数与对数函数的特点易得，f(x)=在（0，+∞）上是连续的减函数.‎ 由f(a)·f(b)·f(c)＜0，得f(a)＜0，f(b)＜0，f(c)＜0或f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，‎ ‎∴x0＜a或b＜x0＜c.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.‎ 二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）‎ ‎11.从、、、、中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，则等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出.‎ ‎【详解】由于从、、、、中任取个不同的数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，‎ 其中事件包含的基本事件有：、、、，共种，‎ 由古典概型的概率公式可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题属于简单的古典概型的问题，属于基础题．关键是找准基本事件以及所求事件包含的基本事件总数．‎ ‎12.下图给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等,则这样的值有________个.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：该程序框图是计算分段函数的函数值，从自变量的取值情况看，由三种情况，故应考虑，所得x值，有3个．‎ 考点：本题主要考查程序框图的功能识别，简单方程的求解．‎ 点评：简单题，注意到应考虑，所得x值，一一探讨．‎ ‎13.已知在平面直角坐标系中，，，为原点，且，（其中，，均为实数），若，则最小值是_____. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可化简为，可得出、、三点共线，求出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出的最小值.‎ ‎【详解】（其中，、均为实数），‎ ‎，即，即，，‎ ‎、、三点共线，的最小值即为点到直线的距离，‎ 直线的方程为，即，‎ 因此，的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用向量判断三点共线，同时也考查了点到直线距离公式计算线段长度的最小值，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎14.椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.‎ 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.‎ ‎【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.‎ ‎15.给出下列五个命题：‎ ‎①已知直线、和平面，若，，则；‎ ‎②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；‎ ‎③双曲线，则直线与双曲线有且只有一个公共点；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；‎ ‎⑤过的直线与椭圆交于、两点，线段中点为，设直线斜率为，直线的斜率为，则等于.‎ 其中，正确命题的序号为_______.‎ ‎【答案】④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面平行的判定定理可判断①的正误；结合抛物线的定义及条件可判断②的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断④的正误；利用点差法可判断⑤的正误.‎ ‎【详解】①线面平行的前提条件是直线，所以条件中没有，所以①错误；‎ ‎②当定点位于定直线上时，此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误；‎ ‎③因为双曲线的渐近线方程为，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误；‎ ‎④若，，，且与不垂直，‎ 假设，由于，则，这与已知条件矛盾，假设不成立，则与不垂直，所以④正确；‎ ‎⑤设、，中点，则，，‎ 把，分别代入椭圆方程，‎ 得，两式相减得，‎ 整理得，即，所以⑤正确.‎ 所以正确命题的序号为④⑤.‎ 故答案为：④⑤.‎ ‎【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，考查学生的运算能力与推理能力，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）；‎ ‎16.已知向量，，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调减区间；‎ ‎（2）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，，且.求、的长和的面积.‎ ‎【答案】（1），递减区间是；（2），，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平面向量数量积的坐标运算得出，并利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数的最小正周期及单调减区间；‎ ‎（2）利用（1）即可得到，再利用正弦定理即可得到，利用三角形内角和定理即可得到，利用直角三角形含角的性质即可得出边，进而得到三角形的面积.‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎，‎ ‎，所以，，‎ 由，解得，‎ 所以，函数的单调递减区间是；‎ ‎（2），，‎ 为锐角，即，，，解得.‎ 由正弦定理得，，‎ ‎，，，，‎ 因此，的面积为.‎ ‎【点睛】本题综合考查了向量数量积的坐标运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．‎ ‎17.如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）平面平面，,‎ 平面平面，‎ 平面，‎ ‎∵AF在平面内，∴， ‎ 又为圆的直径，∴，‎ ‎∴平面. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知即，‎ ‎∴三棱锥的高是，‎ ‎∴,‎ 连结、，可知 ‎∴为正三角形，∴正的高是， ‎ ‎∴，‎ ‎18.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试人的跳高成绩（单位：）.跳高成绩在以上（包括）定义为“合格”，成绩在以下（不包括）定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队队，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.‎ ‎（1）求甲队队员跳高成绩的中位数；‎ ‎（2）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取人，则人中“合格”与“不合格”的人数各为多少；‎ ‎（3）若从所有“合格”运动员中选取名，用表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试求的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）“合格”有人，“不合格”有人；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将数据从小到大排列，找到中间的两个数，再求平均数即得中位数；‎ ‎（2）根据茎叶图，有“合格”人，“不合格”人，求出每个运动员被抽中概率，然后根据分层抽样可求得结果；‎ ‎（3）根据茎叶图，确定甲队和乙队“合格”的人数，利用古典概型的概率公式可求出的概率.‎ ‎【详解】（1）甲队队员跳高的成绩由小到大依次为、、、、、、、、、、、（单位：），中位数为；‎ ‎（2）根据茎叶图，有“合格”人，“不合格”人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是，‎ 所以选中的“合格”有人，“不合格”有人；‎ ‎（3）由题意得，乙队“合格”有人，分别记为、、、，甲队“合格”有人，分别记为、、、、、、、，‎ 从这人中任意挑选人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，‎ 其中，事件包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查统计知识：求中位数、分层抽样等，同时也考查了古典概型概率的计算，难度不大．‎ ‎19.各项均为正数的数列前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知公比为的等比数列满足，且存在满足，，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，利用数列递推式求出的值，由得出，两式相减，结合数列各项均为正数，可得数列是首项为，公差为的等差数列，从而可求数列 的通项公式；‎ ‎（2）利用，，求出公比，即可求得数列的通项公式．‎ ‎【详解】（1）当时，，整理得，.‎ ‎，，‎ 两式相减得，即，‎ 即，‎ 数列各项均为正数，，，‎ 数列是首项为，公差为的等差数列，故；‎ ‎（2），，‎ 依题意得，相除得 或，所以或，‎ 当时，；当时，.‎ 综上所述，或.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)由已知得∴方程：‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为：‎ 联立消去并整理，得：‎ 则△,‎ 此时设、∴‎ 于是 又直线、、的斜率依次成等比数列，‎ ‎∴‎ 由得：.又由△得：‎ 显然（否则：，则中至少有一个为0，直线、中至少有一个斜率不存在，矛盾！） ‎ 设原点到直线的距离为,则 故由得取值范围可得△面积的取值范围为 ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）若函数与有相同极值点．‎ ‎①求实数的值；‎ ‎②若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，‎ 求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）1； （ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而得函数的最大值；（2）（ⅰ）求导函数，利用函数与有相同极值点，可得是函数的极值点，从而求解的值；（ⅱ）先求出，，，，，再将对于，不等式恒成立，等价变形，分类讨论，即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：（1），‎ 由得，由得，‎ ‎∴在上为增函数，在上为减函数，‎ ‎∴函数的最大值为；‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎（Ⅰ）由（1）知，是函数的极值点，又∵函数与有相同极值点，‎ ‎∴是函数的极值点，∴，解得，‎ 经检验，当时，函数取到极小值，符合题意；‎ ‎（ⅱ）∵，，， ∵， 即，∴，，‎ 由（ⅰ）知，∴，当时，，当时，，‎ 故在减函数，在上为增函数，∵，‎ 而，∴，∴，，‎ ‎①当，即时，对于，不等式恒成立 ‎，‎ ‎∵，∴，又∵，∴，‎ ‎②当，即时，对于，不等式，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，又∵，‎ ‎∴．综上，所求的实数的取值范围为．‎ 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的恒成问题的求解．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了导数在求解函数最大值、最小值等问题中的应用积极函数的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属于难度较大的试题，本题的第2解答中，求出，，，，将对于，不等式恒成立，转化为时，；时，，分别求解实数的取值范围．‎ ‎ ‎