【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-6双曲线学案 17页

第6讲　双曲线 ‎1．双曲线的定义 条件 结论1‎ 结论2‎ 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2‎ M点的 轨迹为 双曲线 F1、F2为双曲线的焦点 ‎|F1F2|为双曲线的焦距 ‎||MF1|－|MF2||＝2a ‎2a<|F1F2|‎ ‎2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1‎ ‎(a＞0，b＞0)‎ －＝1‎ ‎(a＞0，b＞0)‎ 图 形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)‎ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)‎ ‎3.等轴双曲线及性质 ‎(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎(2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．‎ ‎4．双曲线中一些常用的结论 ‎(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.‎ ‎(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.‎ ‎(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.‎ ‎(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.‎ ‎(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·，其中θ为∠F1PF2.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)‎ ‎(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．(　　)‎ ‎(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)‎ ‎(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1　　　　　　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选B.根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝　①，又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9　②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.‎ ‎ (教材习题改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________．‎ 解析：法一：由题意，得e＝＝＝，解得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.‎ 法二：由题意，得e＝＝，即c＝a，所以b2＝c2－a2＝a2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.‎ 答案：4x±3y＝0‎ ‎ (2016·高考北京卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________．‎ 解析：由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.‎ 答案：1　2‎ ‎　　　　　　双曲线的定义 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于(　　)‎ A．10　　　　　　　　　　 B．8 C．8 D．16 ‎(2)(2018·孝感质检)△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．‎ ‎【解析】　(1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8× ＝8.‎ ‎(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.‎ ‎|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，‎ 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)－＝1(x>3)‎ ‎ 若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．‎ 解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则 解得mn＝16，所以S△PF1F2＝mn＝8.‎ 双曲线定义的应用规律 类型 解读 求方程 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程 解焦点 三角形 利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题 ‎[提醒]　在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)‎ A．48　　　　　　　　　 B．24‎ C．12 D．6‎ 解析：选B.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.‎ ‎2．(2018·湖北武汉调研)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)‎ A．8 B．9‎ C．10 D．12‎ 解析：选B.由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．‎ 所以|PF|＋|PA|的最小值为9.‎ ‎　　　　　　双曲线的标准方程 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2017·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－y2＝1 D．x2－＝1‎ ‎(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，且经过点(4，)，则双曲线的方程为________．‎ ‎【解析】　(1)由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan 60°＝，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．‎ 因为双曲线过点(4，)，所以λ＝16－4×()2＝4，‎ 所以双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ 法二：因为渐近线y＝x过点(4，2)，而<2，‎ 所以点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．‎ 所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ 由已知条件可得解得 所以双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)－y2＝1‎ ‎(1)求双曲线标准方程的答题模板 ‎(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 ‎①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；‎ ‎②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；‎ ‎③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选A.由题意知，双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝2x，所以＝2，即b2＝4a2.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c＝5，即a2＋b2＝25，联立得解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1.‎ ‎2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是(　　)‎ A.－y2＝1 B.－y2＝1‎ C.－＝1 D．x2－＝1‎ 解析：选B.法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，所以－＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.‎ 法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，‎ 解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为－y2＝1.‎ ‎　　　　　　双曲线的几何性质 (高频考点)‎ 双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；‎ ‎(2)求双曲线的渐近线方程；‎ ‎(3)求双曲线的离心率(或范围)．‎ ‎ [典例引领]‎ ‎ 角度一　求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长 ‎ (2018·福建龙岩模拟)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是(　　)‎ A．32 B．16‎ C．84 D．4‎ ‎【解析】　由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.‎ ‎【答案】　B 角度二　求双曲线的渐近线方程 ‎ 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎【解析】　如图所示，连接OA，OB，‎ 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．‎ 由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°.‎ 因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.‎ 因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，‎ 在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，‎ 所以b＝＝＝a，‎ 故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x，即y＝±x.‎ ‎【答案】　A 角度三　求双曲线的离心率(或范围)‎ ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎(2)已知双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2，选择A.‎ ‎(2)在△PF1F2中，由正弦定理知＝，又＝，所以＝，所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，‎ 又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝.由双曲线几何性质知|PF2|>c－a，则>c－a，即e2－2e－1<0，所以10，b>0)的离心率e＝，则它的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选A.由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，可得＝，所以＋1＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.选A.‎ ‎2．(2018·郑州市第二次质量预测)已知双曲线C2与椭圆C1：＋＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C2的离心率为________．‎ 解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知a2＋b2＝4－3＝1，由，解得交点的坐标满足，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S＝4|xy|＝4·＝8··≤8·＝4，当且仅当a2＝1－a2，即a2＝时，取等号，此时双曲线的方程为－＝1，离心率e＝.‎ 答案： ‎　　　　　　直线与双曲线的位置关系 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．‎ ‎【解】　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ 由已知得，a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，‎ 所以双曲线C的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由题意知 所以k的取值范围为.‎ 在本例(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．‎ 解：由(2)得：xA＋xB＝，‎ 所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)‎ ‎＝k(xA＋xB)＋2＝.‎ 所以AB的中点P的坐标为.‎ 设直线l0的方程为：y＝－x＋m，‎ 将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.‎ 因为0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长．‎ 解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，‎ 所以 解得c＝3，b＝，‎ 所以双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，‎ 所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．‎ 联立得5x2＋6x－27＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ 所以|AB|＝× ＝.‎ ‎ 双曲线几何性质的三个关注点 ‎(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；‎ ‎(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；‎ ‎(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．‎ ‎ 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1(a>0.b>0)的两条渐近线方程．‎ ‎ 易错防范 ‎(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．‎ ‎(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.‎ ‎(3)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1　　　　　　　 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A.‎ ‎2．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M：－＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 解析：选C.由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C.‎ ‎3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.‎ 法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.‎ ‎4．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为(　　)‎ A．6 B．3‎ C. D. 解析：选A.设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，依题意知，2a＝2a′＋4c，所以＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′时取“＝”，故选A.‎ ‎5．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选D.不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，所以＝，①‎ 又||＝＝4，c2＝a2＋b2，‎ 所以a2＋2b2＝16，②‎ 由①②可得，a2＝4，b2＝6，‎ 所以双曲线C的方程为－＝1，故选D.‎ ‎6．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n ‎＝________．‎ 解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．‎ 答案：5‎ ‎7．(2018·四川绵阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为c2，则该双曲线的离心率为________．‎ 解析：设M，根据矩形的性质，‎ 得|MO|＝|OF1|＝|OF2|＝c，即x2＋＝c2，‎ 则x＝a，所以M(a，b)．‎ 因为△AMN的面积为c2，所以2×·a·b＝c2，‎ 所以4a2(c2－a2)＝c4，所以e4－4e2＋4＝0，所以e＝.‎ 答案： ‎8．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2＝________．‎ 解析：由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，|F1F2|＝2.设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×2|y0|＝12.故y＝，将P点坐标代入双曲线方程得x＝，不妨设点P，则＝(，)，＝，可得·＝0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝.‎ 答案： ‎9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．‎ 解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，‎ 因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.‎ 设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，‎ 又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.‎ 所以＝3，得a＝3，b＝4，‎ 所以双曲线G的方程为－＝1.‎ ‎10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求此双曲线的方程；‎ ‎(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积．‎ 解：(1)依题意得解得 故双曲线的方程为－x2＝1.‎ ‎(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m>0，n>0，由＝得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.‎ 设∠AOB＝2θ，因为tan＝2，则tan θ＝，从而sin 2θ＝.‎ 又|OA|＝m，|OB|＝n，‎ 所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.‎ ‎1．(2018·长春市质量检测(二))过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　)‎ A．10 B．13‎ C．16 D．19‎ 解析：选B.由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.故选B.‎ ‎2．(2018·石家庄模拟)以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足＝，则S△PMF1－S△PMF2＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．1 D．－1‎ 解析：选A.由题意，知双曲线方程为－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，可得＝，即F1M平分∠PF1F2.‎ 又结合平面几何知识可得，△F1PF2的内心在直线x＝2上，所以点M(2，1)就是△F1PF2的内心．‎ 故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．‎ 解：(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)．‎ 易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6.得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.‎ ‎4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ 解：(1)依题意有＝，c－＝，‎ 因为a2＋b2＝c2，所以c＝2a，‎ 所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，‎ 所以双曲线C的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，‎ 由得2x2－2mx－m2－3＝0，‎ 所以x1＋x2＝m，x1x2＝－，‎ 又因为·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，所以m＝0(舍)或m＝2，‎ 所以x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，‎ 因为·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，所以AD⊥AB，‎ 所以过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，‎ 因为点M的横坐标为1，所以MA⊥x轴，‎ 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎