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  • 2021-06-24 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-6双曲线学案

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第6讲 双曲线 ‎1.双曲线的定义 条件 结论1‎ 结论2‎ 平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2‎ M点的 轨迹为 双曲线 F1、F2为双曲线的焦点 ‎|F1F2|为双曲线的焦距 ‎||MF1|-|MF2||=2a ‎2a<|F1F2|‎ ‎2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1‎ ‎(a>0,b>0)‎ -=1‎ ‎(a>0,b>0)‎ 图 形 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0)‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞)‎ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c 的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)‎ ‎3.等轴双曲线及性质 ‎(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线,其标准方程可写作:x2-y2=λ(λ≠0).‎ ‎(2)等轴双曲线⇔离心率e=⇔两条渐近线y=±x相互垂直.‎ ‎4.双曲线中一些常用的结论 ‎(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.‎ ‎(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|max=a+c,|PF2|min=c-a.‎ ‎(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为,异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.‎ ‎(4)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为.‎ ‎(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2=b2·,其中θ为∠F1PF2.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(  )‎ ‎(2)椭圆的离心率e∈(0,1),双曲线的离心率e∈(1,+∞).(  )‎ ‎(3)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(  )‎ ‎(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C:-=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  )‎ A.-=1       B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:选B.根据双曲线C的渐近线方程为y=x,可知= ①,又椭圆+=1的焦点坐标为(3,0)和(-3,0),所以a2+b2=9 ②,根据①②可知a2=4,b2=5,所以选B.‎ ‎ (教材习题改编)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为________.‎ 解析:法一:由题意,得e===,解得=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即4x±3y=0.‎ 法二:由题意,得e==,即c=a,所以b2=c2-a2=a2,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即4x±3y=0.‎ 答案:4x±3y=0‎ ‎ (2016·高考北京卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________;b=________.‎ 解析:由题意知,渐近线方程为y=-2x,由双曲线的标准方程以及性质可知=2,由c=,c2=a2+b2,可得b=2,a=1.‎ 答案:1 2‎ ‎      双曲线的定义 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)设双曲线x2-=1的两个焦点为F1,F2,P是双曲线上的一点,且|PF1|∶|PF2|=3∶4,则△PF1F2的面积等于(  )‎ A.10           B.8 C.8 D.16 ‎(2)(2018·孝感质检)△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.‎ ‎【解析】 (1)依题意|F1F2|=6,|PF2|-|PF1|=2,因为|PF1|∶|PF2|=3∶4,所以|PF1|=6,|PF2|=8,所以等腰三角形PF1F2的面积S=×8× =8.‎ ‎(2)如图,△ABC与内切圆的切点分别为G,E,F.‎ ‎|AG|=|AE|=8,|BF|=|BG|=2,|CE|=|CF|,‎ 所以|CA|-|CB|=8-2=6.‎ 根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为-=1(x>3).‎ ‎【答案】 (1)C (2)-=1(x>3)‎ ‎ 若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|=3∶4”变为“PF1⊥PF2”,其他条件不变,如何求解.‎ 解:设|PF1|=m,|PF2|=n,则 解得mn=16,所以S△PF1F2=mn=8.‎ 双曲线定义的应用规律 类型 解读 求方程 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c的值,从而求出a2,b2的值,写出双曲线方程 解焦点 三角形 利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|-|MF2||=2a(其中2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理,解决焦点三角形问题 ‎[提醒] 在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”,否则轨迹是双曲线的一支;二是“常数”小于|F1F2|,否则轨迹是线段或不存在.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知双曲线x2-=1的两个焦点为F1,F2,P为双曲线右支上一点.若|PF1|=|PF2|,则△F1PF2的面积为(  )‎ A.48          B.24‎ C.12 D.6‎ 解析:选B.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10,故三角形PF1F2为直角三角形,因此S△PF1F2=|PF1|×|PF2|=24.‎ ‎2.(2018·湖北武汉调研)若双曲线-=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是(  )‎ A.8 B.9‎ C.10 D.12‎ 解析:选B.由题意知,双曲线-=1的左焦点F的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦点为B,则B(4,0),由双曲线的定义知|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|≥4+|AB|=4+=4+5=9,当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等号.‎ 所以|PF|+|PA|的最小值为9.‎ ‎      双曲线的标准方程 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2017·高考天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-y2=1 D.x2-=1‎ ‎(2)若双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点(4,),则双曲线的方程为________.‎ ‎【解析】 (1)由△OAF是边长为2的等边三角形可知,c=2,=tan 60°=,又c2=a2+b2,联立可得a=1,b=,所以双曲线的方程为x2-=1.‎ ‎(2)法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,‎ 所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).‎ 因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,‎ 所以双曲线的标准方程为-y2=1.‎ 法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而<2,‎ 所以点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).‎ 所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).‎ 由已知条件可得解得 所以双曲线的标准方程为-y2=1.‎ ‎【答案】 (1)D (2)-y2=1‎ ‎(1)求双曲线标准方程的答题模板 ‎(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 ‎①与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ(λ≠0);‎ ‎②若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0);‎ ‎③若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为+=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:选A.由题意知,双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=2x,所以=2,即b2=4a2.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点,所以该焦点的坐标为(-5,0),所以c=5,即a2+b2=25,联立得解得a2=5,b2=20,故双曲线的方程为-=1.‎ ‎2.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(  )‎ A.-y2=1 B.-y2=1‎ C.-=1 D.x2-=1‎ 解析:选B.法一:椭圆+y2=1的焦点坐标是(±,0).设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),所以-=1,a2+b2=3,解得a2=2,b2=1,所以所求双曲线方程是-y2=1.‎ 法二:设所求双曲线方程为+=1(1<λ<4),将点P(2,1)的坐标代入可得+=1,‎ 解得λ=2(λ=-2舍去),所以所求双曲线方程为-y2=1.‎ ‎      双曲线的几何性质 (高频考点)‎ 双曲线的几何性质及应用,是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为容易题或中档题.高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题角度:‎ ‎(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长;‎ ‎(2)求双曲线的渐近线方程;‎ ‎(3)求双曲线的离心率(或范围).‎ ‎ [典例引领]‎ ‎ 角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长 ‎ (2018·福建龙岩模拟)已知离心率为的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,则双曲线的实轴长是(  )‎ A.32 B.16‎ C.84 D.4‎ ‎【解析】 由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由S△OMF2=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.‎ ‎【答案】 B 角度二 求双曲线的渐近线方程 ‎ 过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎【解析】 如图所示,连接OA,OB,‎ 设双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),则C(-a,0),F(-c,0).‎ 由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,则∠ACO=∠BCO=∠ACB=×120°=60°.‎ 因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO为等边三角形,所以∠AOC=60°.‎ 因为FA与圆O切于点A,所以OA⊥FA,‎ 在Rt△AOF中,∠AFO=90°-∠AOF=90°-60°=30°,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,‎ 所以b===a,‎ 故双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±x,即y=±x.‎ ‎【答案】 A 角度三 求双曲线的离心率(或范围)‎ ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(  )‎ A.2 B. C. D. ‎(2)已知双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在一点P使=,则该双曲线的离心率的取值范围是________.‎ ‎【解析】 (1)依题意,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx-ay=0.因为直线bx-ay=0被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,所以=,所以3a2+3b2=4b2,所以3a2=b2,所以e===2,选择A.‎ ‎(2)在△PF1F2中,由正弦定理知=,又=,所以=,所以P在双曲线右支上,设P(x0,y0),如图,‎ 又因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=.由双曲线几何性质知|PF2|>c-a,则>c-a,即e2-2e-1<0,所以10,b>0)的离心率e=,则它的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:选A.由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=,可得=,所以+1=,可得=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.选A.‎ ‎2.(2018·郑州市第二次质量预测)已知双曲线C2与椭圆C1:+=1具有相同的焦点,则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C2的离心率为________.‎ 解析:设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意知a2+b2=4-3=1,由,解得交点的坐标满足,由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知,以它们的交点为顶点的四边形是长方形,其面积S=4|xy|=4·=8··≤8·=4,当且仅当a2=1-a2,即a2=时,取等号,此时双曲线的方程为-=1,离心率e=.‎ 答案: ‎      直线与双曲线的位置关系 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为2.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+与双曲线C左支交于A,B两点,求k的取值范围.‎ ‎【解】 (1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0).‎ 由已知得,a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1,‎ 所以双曲线C的方程为-y2=1.‎ ‎(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.‎ 由题意知 所以k的取值范围为.‎ 在本例(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,m),求m的取值范围.‎ 解:由(2)得:xA+xB=,‎ 所以yA+yB=(kxA+)+(kxB+)‎ ‎=k(xA+xB)+2=.‎ 所以AB的中点P的坐标为.‎ 设直线l0的方程为:y=-x+m,‎ 将P点坐标代入直线l0的方程,得m=.‎ 因为0,b>0)的离心率为,点(,0)是双曲线的一个顶点.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线,直线与双曲线交于不同的两点A,B,求AB的长.‎ 解:(1)因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,点(,0)是双曲线的一个顶点,‎ 所以 解得c=3,b=,‎ 所以双曲线的方程为-=1.‎ ‎(2)双曲线-=1的右焦点为F2(3,0),‎ 所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y=(x-3).‎ 联立得5x2+6x-27=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.‎ 所以|AB|=× =.‎ ‎ 双曲线几何性质的三个关注点 ‎(1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;‎ ‎(2)“四线”:两对称轴(实、虚轴)、两渐近线;‎ ‎(3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形;双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形.‎ ‎ 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程-=0就是双曲线-=1(a>0.b>0)的两条渐近线方程.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件.若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a>|F1F2|,则轨迹不存在.‎ ‎(2)区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.‎ ‎(3)双曲线的离心率e∈(1,+∞),而椭圆的离心率e∈(0,1).                                            ‎ ‎1.(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1        B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:选A.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为-=1,故选A.‎ ‎2.(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M:-=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x 解析:选C.由题意可得c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,c2取得最小值,即焦距2c取得最小值,此时双曲线M的方程为x2-=1,所以渐近线方程为y=±2x.故选C.‎ ‎3.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.法一:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C 的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.‎ 法二:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以=(1,0),=(0,-3),所以·=0,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.‎ ‎4.(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+的最小值为(  )‎ A.6 B.3‎ C. D. 解析:选A.设椭圆的长半轴长为a,双曲线的半实轴长为a′,半焦距为c,依题意知,2a=2a′+4c,所以+=+=+=++4≥2+4=6,当且仅当c=2a′时取“=”,故选A.‎ ‎5.(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若=2,且||=4,则双曲线C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:选D.不妨设B(0,b),由=2,F(c,0),可得A,代入双曲线C的方程可得×-=1,即·=,所以=,①‎ 又||==4,c2=a2+b2,‎ 所以a2+2b2=16,②‎ 由①②可得,a2=4,b2=6,‎ 所以双曲线C的方程为-=1,故选D.‎ ‎6.已知双曲线-=1的一个焦点是(0,2),椭圆-=1的焦距等于4,则n ‎=________.‎ 解析:因为双曲线的焦点是(0,2),所以焦点在y轴上,所以双曲线的方程为-=1,即a2=-3m,b2=-m,所以c2=-3m-m=-4m=4,解得m=-1.所以椭圆方程为+x2=1,且n>0,椭圆的焦距为4,所以c2=n-1=4或1-n=4,解得n=5或-3(舍去).‎ 答案:5‎ ‎7.(2018·四川绵阳模拟)设F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,M,N是双曲线C的一条渐近线上的两点,四边形MF1NF2为矩形,A为双曲线的一个顶点,若△AMN的面积为c2,则该双曲线的离心率为________.‎ 解析:设M,根据矩形的性质,‎ 得|MO|=|OF1|=|OF2|=c,即x2+=c2,‎ 则x=a,所以M(a,b).‎ 因为△AMN的面积为c2,所以2×·a·b=c2,‎ 所以4a2(c2-a2)=c4,所以e4-4e2+4=0,所以e=.‎ 答案: ‎8.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的左、右焦点,若△PF1F2的面积为12,则∠F1PF2=________.‎ 解析:由题意可知,F1(-,0),F2(,0),|F1F2|=2.设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×2|y0|=12.故y=,将P点坐标代入双曲线方程得x=,不妨设点P,则=(,),=,可得·=0,即PF1⊥PF2,故∠F1PF2=.‎ 答案: ‎9.已知椭圆D:+=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.‎ 解:椭圆D的两个焦点坐标为(-5,0),(5,0),‎ 因而双曲线中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.‎ 设双曲线G的方程为-=1(a>0,b>0),‎ 所以渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25,‎ 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.‎ 所以=3,得a=3,b=4,‎ 所以双曲线G的方程为-=1.‎ ‎10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求此双曲线的方程;‎ ‎(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=,求△AOB的面积.‎ 解:(1)依题意得解得 故双曲线的方程为-x2=1.‎ ‎(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由=得点P的坐标为.将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1.‎ 设∠AOB=2θ,因为tan=2,则tan θ=,从而sin 2θ=.‎ 又|OA|=m,|OB|=n,‎ 所以S△AOB=|OA||OB|sin 2θ=2mn=2.‎ ‎1.(2018·长春市质量检测(二))过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为(  )‎ A.10 B.13‎ C.16 D.19‎ 解析:选B.由题可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13.故选B.‎ ‎2.(2018·石家庄模拟)以椭圆+=1的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线C,其左、右焦点分别是F1,F2.已知点M的坐标为(2,1),双曲线C上的点P(x0,y0)(x0>0,y0>0)满足=,则S△PMF1-S△PMF2=(  )‎ A.2 B.4‎ C.1 D.-1‎ 解析:选A.由题意,知双曲线方程为-=1,|PF1|-|PF2|=4,由=,可得=,即F1M平分∠PF1F2.‎ 又结合平面几何知识可得,△F1PF2的内心在直线x=2上,所以点M(2,1)就是△F1PF2的内心.‎ 故S△PMF1-S△PMF2=×(|PF1|-|PF2|)×1=×4×1=2.‎ ‎3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于,过右焦点F2的直线l交双曲线于A,B两点,F1为左焦点.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)若△F1AB的面积等于6,求直线l的方程.‎ 解:(1)依题意,b=,=2⇒a=1,c=2,所以双曲线的方程为x2-=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知F2(2,0).‎ 易验证当直线l斜率不存在时不满足题意,故可设直线l:y=k(x-2),由消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k≠±,x1+x2=,x1x2=,y1-y2=k(x1-x2),△F1AB的面积S=c|y1-y2|=2|k|·|x1-x2|=2|k|·=12|k|·=6.得k4+8k2-9=0,则k=±1.所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.‎ ‎4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,右焦点F到直线x=的距离为.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点,已知A(1,0),若·=1,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.‎ 解:(1)依题意有=,c-=,‎ 因为a2+b2=c2,所以c=2a,‎ 所以a=1,c=2,所以b2=3,‎ 所以双曲线C的方程为x2-=1.‎ ‎(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m>0),B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,‎ 由得2x2-2mx-m2-3=0,‎ 所以x1+x2=m,x1x2=-,‎ 又因为·=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1,所以m=0(舍)或m=2,‎ 所以x1+x2=2,x1x2=-,M点的横坐标为=1,‎ 因为·=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0,所以AD⊥AB,‎ 所以过A、B、D三点的圆以点M为圆心,BD为直径,‎ 因为点M的横坐标为1,所以MA⊥x轴,‎ 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.‎