九师联盟3月在线公益联考2020届高三数学（理科）试题 Word版含解析 22页

- 1 - 九师联盟 3 月在线公益联考 高三数学（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.若全集 1, { | 1},U R M x x    则 UC M  ( ) A. {x|x≤1} B. {x|0≤x≤1} C. {x|x≥0} D. {x|x<0 或 x>1} 【答案】B 【解析】 【分析】 首先解分式不等式求出集合 M，再利用集合的补运算即可求解. 【详解】 1, 1 | 0 U R M x xx         或 1x  C { | 0 1}U M x x    . 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的补运算，同时考查了分式不等式的解法，属于基础题. 2.若 13 z ii   （i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数的模是（ ） A. 2 2 B. 20 C. 2 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知等式得   3 1z i i   ，利用复数的乘法法则将复数 z 化为一般形式，可求得复数 z 的 共轭复数，再利用复数的模长公式可求得结果. 【 详 解 】 13 z ii   ，   3 1 4 2z i i i      ， 则 4 2z i  ， 因 此 ， 2 24 2 2 5z   . 故选：C. 【点睛】本题考查复数模的求解，涉及复数的乘法运算、共轭复数以及复数模长公式的应用， 考查计算能力，属于基础题. - 2 - 3.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等．现调研某 行业自由职业者的工资收入情况，对该行业 10 个自由职业者人均年收入 (y 千元 ) 与平均每天 的工作时间 (x 小时 ) 进行调查统计，得出 y 与 x 具有线性相关关系，且线性回归方程为 12 60y x  ，若自由职业者平均每天工作的时间为 5 小时，估计该自由职业者年收入为 （ ） A. 50 千元 B. 60 千元 C. 120 千元 D. 72 千元 【答案】C 【解析】 【分析】 将 5x  代入回归直线即可求得结果. 【详解】令 5x  得： 12 5 60 120y     ，即估计该自由职业者年收入为120 千元. 故选：C . 【点睛】本题考查根据线性回归直线计算预估值的问题，属于基础题. 4.函数 ( )sin( ) x xe e xf x x  的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，由此确定正确选项. - 3 - 【详解】函数  f x 的定义域为   ,0 0,   ，且        sin ( )sinx xx xe e x e e x f xxf x x           ，所以  f x 为奇函数，由此排除 CD 选项.而   0f   ，所以 B 选项错误. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 5.东京夏季奥运会推迟至 2021 年 7 月 23 日至 8 月 8 日举行，此次奥运会将设置 4 100 米男 女混泳接力赛这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动 员参加比赛，按照仰泳 蛙泳 蝶泳 自由泳的接力顺序，每种泳姿 100 米且由 1 名运动 员完成，且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的 4 名运动员名单，其中女运动 员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下 2 名运动员四种泳 姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有（ ） A. 144 种 B. 8 种 C. 24 种 D. 12 种 【答案】B 【解析】 【分析】 由甲只能承担仰泳或者自由泳，可分为两种情况，分别讨论，进而利用分类加法计数原理， 可求出答案. 【详解】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有 1 2 2C  种安排方法，其他两名运动员有 2 2 2A  种安排方法，共计 2 2 4  种方法； 若甲承担自由泳，则乙运动员有 1 2 2C  种安排方法，其他两名运动员有 2 2 2A  种安排方法， 共计 2 2 4  种方法. 所以中国队参赛共有 4 4 8  种不同的安排方法. 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合，考查分类加法计数原理的应用，考查学生的推理能力，属于基 础题. 6.《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是隋唐时代国子监 算学科的教科书.十部书的名称是：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《五曹算经》《孙子 - 4 - 算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《缀术》.小明计划从这十部书 中随机选择两部书购买，则选择到《九章算术》的概率是（ ） A. 1 2 B. 3 10 C. 2 5 D. 1 5 【答案】D 【解析】 【分析】 利用古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】从十部书中随机选择两部书共有 2 9 9(9 1) 2C  种方法，其中选择的两部书中含有《九 章算术》净 的方法为 9 种，所以所求的概率为 9 1 9(9 1) 5 2  . 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7.若执行如图所示的程序框图，则输出 k 的值是( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案. 【详解】 0, 2,s k  4, 6,s k  16, 8,s k  - 5 - 32, 10,s k  52s  ，退出循环，输出 10k  . 故选：B. 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查简单阅读程序框图能力，属于基础题. 8.已知菱形 ABCD 边长为 2， 120BAD   ，点 ,E F 分别在边 ,BC DC 上， 3BC BE ， 2DC DF ，则 AE AF   （ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 结合已知条件，以 ,AB AD   为基底表示出 ,AE AF   ，再根据向量数量积的运算，求得 AE AF  . 【详解】由 1 1 3 3AE AB BE AB BC AB AD            ， 1 1 2 2AF AD DF AD DC AD AB            ，所以 2 21 1 1 1 7 13 2 2 3 6AE AF AB AD AD AB AB AD AB AD                             . 故选：C 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积的运算，属于基础题. 9.将函数 ( ) 2sin(3 )(0 )f x x       图象向右平移 8  个单位长度后，得到函数的图象关 于直线 3x  对称，则函数 ( )f x 在 ,8 8      上的值域是（ ） A. [ 1,2] B. [ 3,2] C. 2 ,12      D. [ 2,2] 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意利用函数 sin( )y A x   的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值 域，求得结果. - 6 - 【详解】解：把函数 ( ) 2sin(3 ) (0 )f x x       图象向右平移 8  个单位长度后， 可得 32sin 3 8y x        的图象； 再根据得到函数的图象关于直线 3x  对称， 33 3 8 2k         ， k Z ， 7 8   ，函数 7( ) 2sin 3 8f x x      . 在 ,8 8      上， 7 53 ,8 2 4x         ， 2sin 3 ,18 2x             ， 故 ( ) 2sin 3 [ 2,2]8f x x        ，即 ( )f x 的值域是[ 2,2] ， 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数 sin( )y A x   的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余 弦函数的值域，属于中档题． 10.已知三棱锥 D ABC 的体积为 2， ABC 是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥 D ABC 的外接球的球心O 恰好是 CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A. 52 3  B. 40 3  C. 25 3  D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】 根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解. 【详解】解：设 D 点到平面 ABC 的距离为 h ，因为O 是 CD 中点， 所以O 到平面 ABC 的距离为 2 h ， 三棱锥 D ABC 的体积 1 1 1 2 2 sin60 23 3 2ABCV S h h        ，解得 2 3h   ， 作OO  平面 ABC ，垂足 O 为 ABC 的外心，所以 2 3 3CO  ，且 32 hOO   ， - 7 - 所以在 Rt CO O 中， 22 13 3OC CO O O    ，此为球的半径， 2 13 524 4 3 3S R       . 故选：A. 【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题． 11.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别是 1 2,F F ，若以线段 1 2F F 为直径的 圆交双曲线C 于点 P ，且 1 2 2 12 PFF PFF  ，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 1 D. 5 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据圆的几何性质求得 1 2 90F PF   ，结合 1 2 2 12 PFF PFF  ，求得 2 1,PF PF ，利用勾 股定理列方程，化简后求得 c a . 【详解】不妨设 P 为双曲线 C 右支上一点．又 点 P 在以线段 1 2F F 为直径的圆上， 1 2 90F PF   ，又 1 2 2 12 PFF PFF  ， 1 2 30PF F   ， 2 1 2 1 2PF F F c   ， 1 2PF a c   ， 又 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F  ， 2 2 2(2 ) (2 )a c c c    ， 2 22 2 0c ac a    1 3c a    （舍）或 1 3c a   ． 故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 12.已知定义域为 R 的函数 ( )f x 满足 ( ) 2 ( 2)f x f x  ，当 [0,2)x 时， - 8 - 2 3 2 1, [0,1) ( ) 1 , [1,2)2 x x x x f x x            ，设 ( )f x 在[2 2,2 )n n 上的最大值为  * na n  N ，则数列  na 的前 n 项和 nS 的值为（ ） A. 15 5 2 n     B. 5 152 2 n     C. 115 5 2 n     D. 15 152 2 n     【答案】D 【解析】 【分析】 求得  f x 在区间     0,2 , 2,4 , 4,6 ,上的最大值，由此求得  f x 在区间[2 2,2 )n n 上 的最大值 na 的表达式，根据等比数列前 n 项和公式求得 nS . 【详解】由题意，可得当 [0,1)x 时， 51 ( ) 4f x„ „ ， [1,2)x 时， 2 ( ) 12 f x„ „ ，当 [0,2)x 时， ( )f x 的最大值为 5 4 ．又由 1( 2) ( )2f x f x  ，当 [2,4)x 时， ( )f x 最大值为 5 1 4 2  ： 当 [4,6)x  时， ( )f x 的最大值为 25 1 4 2     ，…，当 [2 2, 2 )x n n  时， ( )f x 的最大值为 15 1 4 2 n na      ，由等比数列的前 n 项和公式得 1 5 114 2 5 151 2 21 2 n n nS                 ． 故选：D． 【点睛】本小题主要考查分段函数的最值的求法，考查等比数列前 n 项和公式，属于中档题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知随机变量 X 满足  2~ ,X N   ，且 ( 2 2 ) 0.9544P X      „ ，若随机变量 ~ (2019, 4)X N ，则 ( 2023)P X  的值大约是_____． 【答案】0.0228 - 9 - 【解析】 【分析】 根据正态分布的对称性，求得 ( 2023)P X  的值. 【详解】据题设知， (2019 2 2 2019 2 2) 0.9544P X     „ ， 即 (2015 2023) 0.9544P X „ ， 所以 1 1( 2023) [1 (2015 2023)] (1 0.9544) 0.02282 2P X P X       „ ． 故答案为： 0.0228 【点睛】本小题主要考查计算正态分布在给定区间上的概率，属于基础题. 14.已知 na 是公差不为零的等差数列， nS 为其前 n 项和．若 1 2 4, ,S S S 成等比数列，且 5 9a  ， 则数列 na 的前 n 项和为______． 【答案】 2n 【解析】 【分析】 根据等比中项的性质列方程，由此求得数列 na 的公差，进而求得 1a ，从而求得数列 na 的 前 n 项和. 【详解】设等差数列 na 的公差为 ( )d d  0 ，则 1 9 4S d  ， 2 18 7S d  ， 4 36 10S d  ， 2 2 1 4S S S  ，所以 2(18 7 ) (9 4 )(36 10 )d d d    ，整理得 29 18 0d d  ． 0d  ， 2d  ． 5 1 4 9a a d   ，则 1 1a  ， 2 1 ( 1) 2n n nS na d n   ． 故答案为： 2n 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前 n 项和公式，属于基础 题. 15.已知 F 为抛物线 C：x2＝8y 的焦点，P 为 C 上一点，M（﹣4，3），则△PMF 周长的最小值是 _____. 【答案】5 17 【解析】 【分析】 - 10 - △PMF 的周长最小，即求| | | |PM PF 最小，过 P 做抛物线准线的垂线，垂足为Q ，转化为 求| | | |PM PQ 最小，数形结合即可求解. 【详解】如图，F 为抛物线 C：x2＝8y 的焦点，P 为 C 上一点，M（﹣4，3）， 抛物线 C：x2＝8y 的焦点为 F（0，2），准线方程为 y＝﹣2. 过 P 作准线的垂线，垂足为Q ，则有| | | |PF PQ | | | | | | | | | | 5PM PF PM PQ MQ     ， 当且仅当 , ,M P Q 三点共线时，等号成立， 所以△PMF 的周长最小值为 5 2 2( 4) (3 2)     5 17 . 故答案为：5 17 . 【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题. 16.若对于曲线 2xy e x  上的任意一点处的切线 1,l 总存在曲线 y=ax+cosx 上的一点处的切 线 2 ,l 使 1 2 ,l l 则实数 a 的取值范围是___.(其中 e 为自然对数的底数) 【答案】 11, 2     【解析】 【分析】 求出函数导数从而计算直线斜率，根据 1 2 ,l l 确定等式关系，再经过分析即可得到答案. 【详解】由题可知， ' 2xy e  ， 设曲线 2xy e x  上任意一点 1 1,x y 处切线 1l 斜率为 1k ， - 11 - 则 1 1 2xk e  ， 同理可得曲线 cosy ax x  上任意一点 2 2,x y 处切线斜率为 2 sink a x  ，    2 2sin 1,1 , 1, 1x k a a      ， 又 1 2 ,l l 1 2 1k k   ， 12 1sin 2xa x e      ， 1 1 1 ,02 2xe         1 ,0 1, 12 a a       ，即 11 2 1 0 a a        解得 11 2a   ， 所以实数 a 的取值范围为 11, 2     故答案为： 11, 2     【点睛】本题考查函数某点的导数就是该点切线的斜率、集合间的包含关系等，难度一般. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.已知在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 sin sin sin sin a b c B c A B C      ． （1）求角 A 的大小 （2）若 ABC 的外接圆半径为 2，求 ABC 的面积 S 的最大值． 【答案】（1） 3A  ；（2）3 3 ． 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得 cos A的值，进而求得 A 的大小. （2）利用正弦定理求得 a ，利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的取值范围，由此求得三角 - 12 - 形 ABC 面积的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得 a b c b c a b c      ， 化简得 2 2 2b c a bc   ． 由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc     ． 又因为 0 A   ，所以 3A  ． （2）由正弦定理得 2sin a RA  ，则 2 sin 4sin 2 33a R A    ， 由余弦定理得 2 2 212 2 cos 2a b c bc A bc bc bc     … ， 即 12bc„ （当且仅当 b c 时取等号）， 故 1 1 3sin 12 3 32 2 2S bc A   „ （当且仅当b c 时取等号）． 即 ABC 面积 S 的最大值为3 3 ． 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积的最值的求法，属 于中档题. 18.为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之 比为1: 4，且成绩分布在[0,60] 的范围内，规定分数在 50 以上（含 50）的作文被评为“优秀 作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方 图，如图所示.其中 , ,a b c 构成以 2 为公比的等比数列. （1）求 , ,a b c 的值； （2）填写下面 2 2 列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为“获得优秀作文” 与“学生的文理科”有关？ - 13 - 文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计 400 （3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取 2 名学生，记“获得 优秀作文”的学生人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望. 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    .  2P K k… 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 0.005a  ， 0.01b  ， 0.02c  .（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据频率分步直方图和 , ,a b c 构成以 2 为公比的等比数列，即可得解； （2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写 2 2 列联表，再用 2K 的计算公式运算即可； （3）获奖的概率为 20 1 400 20  ，随机变量 1~ 2, 20x B    ，再根据二项分布即可求出其分布列 与期望. 【详解】解：（1）由频率分布直方图可知， 10 ( ) 1 10 (0.018 0.022 0.025) 0.35a b c         ， 因为 , ,a b c 构成以 2 为公比的等比数列，所以 2  4  0.035a a a   ，解得 0.005a  ， 所以 2  0.01b a  ， 4 0.02c a  . - 14 - 故 0.005a  ， 0.01b  ， 0.02c  . （2）获奖的人数为 0.005 10 400 20   人， 因为参考的文科生与理科生人数之比为1:  4 ，所以 400 人中文科生的数量为 1400 805   ， 理科生的数量为 400 80 320  . 由表可知，获奖的文科生有 6 人，所以获奖的理科生有 20 6 14  人，不获奖的文科生有 80 6 74  人. 于是可以得到 2 2 列联表如下： 文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计 80 320 400 2 2 400 (6 306 14 74) 1.32 6.63520 380 80 320K         所以在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科” 有关. （3）由（2）可知，获奖的概率为 20 1 400 20  ， X 的可能取值为 0，1，2， 0 2 0 2 1 19 361( 0) 20 20 400P X C               ， 1 1 1 2 1 19 38 19( 1) 20 20 400 200P X C                ， 2 0 2 2 1 19 1( 2) 20 20 400P X C               ， 分布列如下： X 0 1 2 - 15 - P 361 400 19 200 1 400 数学期望为 361 19 1 1( ) 0 1 2400 200 400 10E X        . 【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生 的阅读理解能力和计算能力，属于中档题． 19.如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90BAC  ， 3AB AC  ， 1 4A A  ，过点 1A 作 平面 ABC 的垂线，垂足为线段 BC 的中点 ,E D 是 1 1B C 的中点． （1）证明： 1 1A D A B ； （2）求二面角 1C AB D  的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）1． 【解析】 【分析】 （1）通过等腰三角形的性质得到 AE BC ，通过 1A E  平面 ABC 得到 1, ,AE A E BC 两两 垂直，由此建立空间直角坐标系，通过计算 1 1 0A D A B   ，证得 1 1A D A B . （2）利用平面 1A BD 和平面 1A BC 的法向量，计算出二面角 1C AB D  的正弦值. 【详解】（1） AB AC ， E 为 BC 的中点， AE BC  ． 又 1AE 平面 ABC ， 1, ,AE AE BC 两两相互垂直． - 16 - 以 1, ,AE BC AE 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 又 3AB AC  ， 90BAC  ， 1 4A A  ， 2 23 3 3 2BC    ， 1 3 2 2 2AE BE BC   ， 2 2 1 3 2 464 2 2A E        ， 1 460,0, 2A       ， 3 20, ,02B       ， 3 2 46,0,2 2D      ， 1 3 2 ,0,02AD         ， 1 3 2 460, ,2 2AB        ， 1 1 3 2 3 2 460 0 0 02 2 2AD AB                  ． 又 1 0AD   ， 1 0A B  ， 1 1AD AB   ，即 1 1A D A B ． （2）设平面 1A BD 的一个法向量  1 1 1, ,m x y z ，则 1 1 1 1 1 1 3 2 0 0 0,2 3 2 460 0.2 2 x y z x y z             令 1 46y  ，则 1 0x  ， 1 3 2z  ， (0, 46,3 2)m  ． 据题设分析知， AE ⊥ 平面 1A BC ， 平面 1A BC 的一个法向量 (1,0,0)n  ． - 17 -  2 2 2 2 2 2 (0, 46,3 2) (1,0,0)cos , 0 | | | | 0 ( 46) (3 2) 1 0 0 m nm n m n                   ， 二面角 1C AB D  的正弦值为 1． 【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推 理能力，属于中档题. 20.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 3 2 ，直线 : 1 0m x y   经过椭圆C 的 上顶点，直线 : 1 0n x   交椭圆C 于 ,A B 两点， P 是椭圆C 上异于 ,A B 的任意一点，直线 ,AP BP 分别交直线 : 4 0l x   于 ,Q R 两点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求证：OQ OR （O 为坐标原点）为定值． 【答案】（1） 2 2 14 x y  ；（2）详见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据直线 m 求得b ，根据离心率以及 2 2 2b c a  求得 ,a c ，由此求得椭圆的标准方程. （2）设出 , ,P A B 的坐标，求得直线 AP 、直线 BP 的方程，由此求得 Q 点和 R 点的纵坐标. 由此求得 Q Ry y 的值，从而求得OQ OR 的值. 【详解】（1）据题设知，点 (0, )b 在直线 : 1 0m x y   上，得 1b  ． 又因为 3 2 c a  ， 2 2 2b c a  ， 0a  ， 所以 2a  ， 3c  ， - 18 - 所以所求椭圆C 的标准方程为 2 2 14 x y  ． （2）设  0 0,P x y ， ( 1, )A t ， ( 1, )B t  ，则有 2 2 0 04 4 0x y   ． 直线 AP 的方程为 0 0 ( 1)1 t yy t xx     ．令 4x   ，整理得  0 0 0 4 3 1Q x t yy x    ． 同理可得点 R 纵坐标  0 0 0 3 4 1Q y x ty x     ， 所以点 ,Q R 的纵坐标之积    0 0 0 0 0 0 4 3 3 4 1 1Q R x t y y x ty y x x             22 2 0 0 2 0 9 4 1 y x t x    ． 又因为 2 2 0 0 11 4y x  ， 2 3 4t  ， 所以         22 20 0 0 2 2 0 0 1 39 1 4 3 14 4 3 1 1Q R x x xy y x x               ， 所以    4, 4, 16 13Q R Q ROQ OR y y y y          ，即OQ OR （O 为坐标原点）为定值． 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力， 属于中档题. 21.已知函数 ( ) ( )xf x e ax a R   （1）当 a=-2 时，求函数 f(x)的极值； （2）若 ln[e(x+1)]≥2- f(-x)对任意的 x∈[0，+∞)成立，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）不存在极大值，极小值为 2 2ln 2 （2） -2 +， 【解析】 【分析】 （1）将 2a   代入函数解析式，求得导函数  'f x 后结合函数  f x 的单调区间，求得  f x 的极值.（2）化简题目所给不等式为  ln 1 1 0xe ax x     对任意  0,x  成立，构造 函数    ln 1 1xg x e ax x     ，利用导数研究  g x 的单调性、最值，由此求得 a 的取值 - 19 - 范围. 【详解】（1）当 2a   时，   2xf x e x  ，则  ' 2xf x e   ，令 ( )' 0f x = ，解得 1ln 2x  ，当 1ln 2x  时，  ' 0f x  ，  f x 递减，当 1ln 2x  时，  ' 0f x  ，  f x 递增， 所以  f x 在 1ln 2x  处取得极小值 1ln 2 2ln 22f       ，无极大值. （2）由于   xf x e ax  ，所以   xf x e ax   ，又因为    ln 1 2e x f x      对任 意的  0,x  成立，化简得  ln 1 1 0xe ax x     对任意  0,x  成立.构造函数    ln 1 1xg x e ax x      0x  ，  ' 1 1 xg x e a x     ，令  ' 0g x  ，即 1 01 xe a x    ，构造函数    1 01 xh x e xx    ，     ' 2 1 1 xh x e x    ，当 0x  时，  ' 0h x  ，所以  h x 在 0, 上递增，当 0x  时，    min 0 2h x h  . 当 2a  即 2a   时，  ' 0g x  ，此时  g x 在 0, 上递增，      00 0 ln 0 1 1 0g x g e a        符合题意. 当 2a  即 2a   时，存在唯一实数 0x ，使  ' 0 0g x  ，且当  00,x x 时，  ' 0g x  ， 当  0 ,x x  时，  ' 0g x  ，而  0 0g  ，故当  00,x x 时，   0g x  不符合题意. 综上所述，实数 a 的取值范围是 2 + ， 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究不等式恒成 立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分． 22.已知在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 2cos , sin x y      （ 为参数），直线 l 的 参数方程为 ,x t y t    （ t 为参数）. （1）若以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，试 求曲线C 的极坐标方程； - 20 - （2）求直线 l 被曲线C 截得线段的长. 【答案】（1） 2 2 1 3sin     （2） 4 10 5 【解析】 【分析】 （1）直接利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可； （2）联立直线与椭圆方程得到两个交点的坐标，利用两点间的距离公式计算即可. 【详解】（1） 2cos , sin , x y       2 2 2 2cos sin 12 x y          ， 即曲线C 的普通方程为 2 2 14 x y  ， 曲线C 的极坐标方程为 2 2( cos ) ( sin ) 14      ，即 2 2 1 3sin     . （2）直线l 的普通方程为 y x . 解 2 2 1,4 , x y y x      得 2 5 ,5 2 5 ,5 x y     或 2 5 ,5 2 5 ,5 x y       直线 l 被曲线C 截得线段的长 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 4 10 5 5 5 5 5d                              . 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，以及弦长的计算，考查学生 的计算能力，是一道容易题. 23.已知实数 , ,x y z 满足 2 4x y z   . （1）求 2 2 2x y z  的最小值； （2）若 y = x+ z ，求 xz 的最大值. 【答案】（1） 8 3 （2） max( ) 4xz  【解析】 - 21 - 【分析】 （1）直接利用柯西不等式即可得到； （2）将 y = x+ z 代入 2 4x y z   中得到 4x z   ，再利用基本不等式即可得到 xz 的 最大值. 【详解】（1）因为  2 2 2 2 2 2 21 ( 2) 1 ( 2 )x y z x y z        … ，当且仅当 1 2 1 x y z  时 等号成立， 即  2 2 2 26 ( 2 )x y z x y z   … ，当且仅当 1 2 1 x y z  时等号成立. 又因为 2 4x y z   ， 所以 2 2 2 8 3x y z  … ，当且仅当 2 3x  ， 4 3y   ， 2 3z  时等号成立. 即 2 2 2x y z  的最小值为 8 3 . （2）因为 2 4x y z   ， y = x+ z ， 所以 2( ) 4x x z z    ， 所以 4x z   . 又因为 2 2 x zxz      ， 所以 4xz  ，即 max( ) 4xz  ，当且仅当 2x z   时，等号成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式求函数的最值，考查学生的运算求解能力， 是一道容易题. - 22 -