【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式学案 16页

第3讲　两角和与差的三角函数、二倍角公式 考试要求　1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系(C级要求)；二倍角的正弦、余弦、正切公式(B级要求)；‎ ‎2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(C级要求).‎ 知 识 梳 理 ‎1.两角和与差的三角函数公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.‎ ‎(2)cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β.‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2.二倍角公式 ‎(1)sin 2α＝2sin__αcos__α.‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ 注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠kπ＋，且α≠＋(k∈Z).‎ ‎②“倍角”的意义是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角.‎ ‎3.有关公式的逆用、变形等 ‎(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β).‎ ‎(2)cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ sin α±cos α＝sin.‎ ‎4.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)‎ eq lc( c)(avs4alco1(其中tan φ＝f(b,a)))或f(α)＝·cos(α－φ).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)‎ ‎(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β ‎＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)‎ ‎(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ 解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z.‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2.(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.‎ 解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.‎ 答案　 ‎3.(2019·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角，且sin α＝，tan(α＋β)＝－2，则tan β＝________.‎ 解析　由α是第二象限角，且sin α＝，‎ 得cos α＝－，tan α＝－3，‎ 所以tan β＝tan(α＋β－α)＝＝＝.‎ 答案　 ‎4.已知tan α，tan β是方程3x2－7x＋2＝0的两根，则的值为________.‎ 解析　由已知得tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，所以＝＝＝.‎ 答案　 ‎5.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.‎ 解析　∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，‎ ‎∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①‎ cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②‎ ‎①②两式相加可得 sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，‎ ‎∴sin(α＋β)＝－.‎ 答案　－ 考点一　三角函数式的化简 ‎【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.‎ ‎(2)化简：(0<α<π)＝________.‎ 解析　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)‎ ‎＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)‎ ‎＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝.‎ 因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos α.‎ 答案　(1)sin(α＋γ)　(2)cos α 规律方法　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.‎ ‎【训练1】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.‎ ‎(2)化简：＝________.‎ 解析　(1)原式＝·‎ sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·‎ cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝ ‎＝＝cos 2α.‎ 答案　(1)　(2)cos 2α 考点二　三角函数式的求值 角度1　给值求值 ‎【例2－1】 (1)已知sin＝，则cos＝________.‎ ‎(2)(2019·盐城中学月考)已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.‎ 解析　(1)由题意：sin＝sin＝cos＝，‎ 则cos＝cos2＝2cos2－1＝－.‎ ‎(2)∵α∈，cos＝，‎ 则－α∈，‎ ‎∴sin＝－，‎ ‎∵sin＝－，∴sin＝，‎ 又∵β∈，则＋β∈，∴cos＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos＝×－×＝－.‎ 答案　(1)－　(2)－ 角度2　给值求角 ‎【例2－2】 (1)设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，则α－β的值为________.‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.‎ 解析　(1)由cos α＝－，π<α<得sin α＝－.‎ 由tan β＝，0<β<得sin β＝，cos β＝.‎ 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝‎ ×－×＝－.‎ 又由π<α<，0<β<，得 ‎－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.‎ ‎(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ‎＝＝>0，又α∈(0，π)，‎ ‎∴0<α<，又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 答案　(1)　(2)－ 规律方法　1.三角函数求值有三种类型：‎ ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下三种思路；①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的；③将所求角拆分成两个已知角的形式.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”‎ ‎，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角.‎ ‎2.熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等.‎ ‎3.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.‎ ‎【训练2】 (1)已知α∈，cos＝－，则cos α＝________.‎ ‎(2)(2019·苏州暑假测试)已知α∈，β∈，cos α＝，sin(α＋β)＝－，则cos β＝________.‎ 解析　(1)法一　因为α∈，所以α＋∈，‎ 所以sin＝，所以cos α＝cos ‎＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.‎ 法二　cos＝cos αcos－sin αsin＝ cos α－＝－，α∈，解得cos α＝.‎ ‎(2)因为α∈，cos α＝，所以sin α＝.又α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以α＋β∈，故cos(α＋β)＝－，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α ‎＋sin(α＋β)sin α＝－×－×＝－.‎ 答案　(1)　(2)－ ‎(3)已知tan α＝2.‎ ‎①求tan的值；‎ ‎②求的值.‎ 解　①tan＝＝＝＝－3；‎ ‎② ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝1.‎ 考点三　三角变换的简单应用 ‎【例3】 已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A，1＋sin A)是共线向量.‎ ‎(1)求角A；‎ ‎(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.‎ 解　(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，则sin2A＝.‎ 又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.‎ ‎(2)y＝2sin2 B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin＋1.‎ 因为B∈，B＋A>，所以