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- 2021-06-24 发布
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第2讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程
一、主干知识要记牢
1.指数函数与对数函数的对比表
解析式
y=ax(a>0与a≠1)
y=logax(a>0与a≠1)
图象
定义域
R
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
R
单调性
0<a<1时,在R上是减函数;a>1时,在R上是增函数
0<a<1时,在(0,+∞)上是减函数;a>1时,在(0,+∞)上是增函数
两图象
的对称性
关于直线y=x对称
2.方程的根与函数的零点
(1)方程的根与函数零点的关系
由函数零点的定义,可知函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(2)函数零点的存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的实数根.
二、易错易混要明了
1.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如讨论函数y=ax(a>0,a≠1)的单调性时忽视字母a的取值范围,忽视ax>0;研究对数函数y=logax(a>0,a≠1)时忽视真数与底数的限制条件.
2.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点,不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.
3.函数f(x)=ax2+bx+c有且只有一个零点,要注意讨论a是否为零.
考点一 基本初等函数的图象与性质
3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题
(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.
(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较.
(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.
1.(2018·南充三模)在同一坐标系中,函数y=2-x与y=-log2x的图象都正确的是( A )
A B
C D
解析 因为y=2-x=x,所以函数单调递减,排除B,D. y=x与y=-log2x=x的图象关于y=x轴对称.排除C. 故选A.
2.已知函数f(x)=3x-x,则f(x)( A )
A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数
解析 因为f(x)=3x-x,且定义域为R,所以f(-x)=3-x--x=x-3x
=-3x+x=-f(x),即函数f(x)是奇函数.又y=3x在R上是增函数,y=x在R上是减函数,所以f(x)=3x-x在R上是增函数.
3.(2017·全国卷Ⅰ)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( D )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
解析 令t=2x=3y=5z,∵x,y,z为正数,∴t>1.
则x=log2t=,同理,y=,z=.
∴2x-3y=-==>0,∴2x>3y.
又∵2x-5z=-=
=<0,
∴2x<5z,∴3y<2x<5z.故选D.
考点二 函数的零点
1.判断函数零点个数的方法
直接法
直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数
定理法
利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点
数形
结合法
对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题
2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.
1.(2018·安阳模拟)已知函数f(x)=则函数g(x)=2|x|f(x)-2的零点个数为( B )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 画出函数f(x)=的图象如图,
由g(x)=2|x|f(x)-2=0可得f(x)=,则问题化为函数f(x)=与函数y==21-|x|的图象的交点的个数问题.结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个,应选答案B.
2.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( C )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
解析
方法一 ∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)f(1)<0,故函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是(0,1),选C.
方法二 函数f(x)=ex+x-2的零点,即函数y=ex的图象与y=-x+2的图象的交点的横坐标,作出函数y=ex与直线y=-x+2的图象如图所示,
由图可知选C.
3.(2018·湖北联考)奇函数f(x)是R上单调函数,g(x)=f(ax3)+f(1-3x)有唯一零点,则a的取值集合为{a|a≤0或a>4}.
解析 函数g(x)=f(ax3)+f(1-3x)有且只有一个零点,即方程f(ax3)+f(1-3x)=0有且只有一个根或两相等实数根,∵函数f(x)是奇函数,即f(ax3)=f(-1+3x)有且只有一个根或两相等实数根,又f(x)是R上的单调函数,∴方程ax3=-1+3x,即a=-+有且只有一个根或两相等实数根,作出y=-+的图象:
由图易得a的取值集合{a|a≤0或a>4}.