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- 2021-06-24 发布
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第
4
课时 余弦定理、正弦定理应用举例
课标阐释
思维脉络
1
.
掌握基线、坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等测量问题中的常用概念
.
(
数学抽象
)
2
.
能够运用正弦定理和余弦定理解决与距离、高度、角度有关的实际问题
.
(
逻辑推理、数学运算
)
激趣诱思
知识点拨
解三角形在现实生活中有着广泛的应用
,
例如在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向
,
并保持一定的航速和航向呢
?
这就需要用到解三角形中关于角度测量这方面的问题
.
再如喜马拉雅山
,
我们怎样测出它的高度
?
这就需要用到解三角形中关于高度测量这方面的问题
.
由此可见学好解三角形知识
,
还能在现实生活中发挥
“
一技之长
”
.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、测量问题中的常用概念
1
.
基线
(1)
定义
:
在测量过程中
,
我们把根据测量的需要而确定的
线段
叫做基线
.
(2)
性质
:
为使测量具有较高的精确度
,
应根据实际需要选取合适的
基线长度
.
一般来说
,
基线越长
,
测量的精确度越
高
.
2
.
坡角与坡度
坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度
,
如图所示
,
α
为坡角
,
坡比
激趣诱思
知识点拨
3
.
仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中
,
目标视线在水平视线上方时叫做仰角
,
目标视线在水平视线下方时叫做俯角
(
如图所示
)
.
激趣诱思
知识点拨
4
.
视角
观察物体的两端
,
视线张开的夹角叫做视角
,
如图所示
.
激趣诱思
知识点拨
5
.
方位角与方向角
(1)
方位角
从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角
.
如点
B
的方位角为
α
,
如图
①
所示
.
(2)
方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于
90°
的水平角
.
如南偏西
60°,
指以正南方向为始边
,
顺时针方向向西旋转
60°,
如图
②
所示
.
图
①
图②
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)
从
A
处望
B
处的仰角为
α
,
从
B
处望
A
处的俯角为
β
,
则
α
,
β
的关系是
(
)
A.
α
>
β
B.
α
=
β
C.
α
+
β
=
90°
D.
α
+
β
=
180°
(2)
若
P
在
Q
的北偏东
37°
方向上
,
则
Q
在
P
的
(
)
A.
东偏北
53°
方向上
B.
北偏东
37°
方向上
C.
南偏西
37°
方向上
D.
南偏西
53°
方向上
激趣诱思
知识点拨
(3)
下图中
,
两个方向对应的方位角分别等于
.
激趣诱思
知识点拨
解析
:
(1)
如图
,
从
A
处望
B
处的仰角
α
与从
B
处望
A
处的俯角
β
是内错角
,
由水平线平行
,
得
α
=
β
.
(2)
如图所示
,
Q
在
P
的南偏西
37°
的方向上
.
(3)
左题图中方向对应的方位角等于
30°,
右题图中方向对应的方位角等于
240°
.
答案
:
(1)B
(2)C
(3)30°,240°
激趣诱思
知识点拨
知识点二、解决实际测量问题的思路和步骤
1
.
基本思路
激趣诱思
知识点拨
2
.
一般步骤
(1)
分析
:
理解题意
,
弄清已知与未知
,
画出示意图
;
(2)
建模
:
根据已知条件与求解目标
,
把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中
,
建立一个解三角形的数学模型
;
(3)
求解利用正弦定理、余弦定理解三角形
,
求得数学模型的解
;
(4)
检验
:
检验所求的解是否符合实际问题
,
从而得出实际问题的解
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
海上有
A
,
B
两个小岛相距
10
海里
,
从
A
岛望
C
岛和
B
岛成
60°
的视角
,
从
B
岛望
C
岛和
A
岛成
75°
的视角
,
则
B
,
C
岛间的距离是
(
)
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
测量距离问题
例
1
如图
,
一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走
,
开始在
A
处
,
经观察
,
在河的对岸有一参照物
C
,
与学生前进方向成
30°
角
,
学生前进
200 m
后到达点
B
,
测得该参照物与前进方向成
75°
角
.
(1)
求点
A
与参照物
C
的距离
;
(2)
求河的宽度
.
分析
根据图形
,
先由已知求出
∠
ACB
,
再利用正弦定理求得
AC
的长度
,
最后在直角三角形中求出河的宽度
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角形中与距离有关的问题的求解策略
(1)
解决与距离有关的问题
,
若所求的线段在一个三角形中
,
则直接利用正弦定理、余弦定理求解即可
;
若所求的线段在多个三角形中
,
要根据条件选择适当的三角形
,
再利用正弦定理、余弦定理求解
.
(2)
解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边
,
分析所解三角形中已知哪些元素
,
还需要求出哪些元素
,
灵活应用正弦定理、余弦定理来解决
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1
如图所示
,
为了测定河的宽度
,
在一岸边选定两点
A
,
B
,
望对岸标记物
C
,
测得
∠
CAB=
30°,
∠
CBA=
75°,
AB=
120 m,
则河的宽度为
m
.
解析
:
作
CD
⊥
AB
,
垂足为
D
,
则
CD
即为河的宽度
.
在
△
ABC
中
,
∠
CAB=
30°,
∠
CBA=
75°,
所以
∠
ACB=
75°,
∠
ACB=
∠
ABC
,
所以
AC=AB=
120
m
.
答案
:
60
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
测量高度问题
例
2
如图
,
为了测量河对岸的塔高
AB
,
选取与塔底
B
在同一水平面内的两个测点
C
和
D
,
测得
CD=
200 m,
在点
C
和点
D
测得塔顶
A
的仰角分别是
45°
和
30°,
且
∠
CBD=
30°,
求塔高
AB.
分析
先在
Rt
△
ABC
和
Rt
△
ABD
中
,
用
AB
表示
BC
和
BD
,
再在
△
BCD
中
,
由余弦定理建立方程
,
求得
AB
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
测量高度问题的求解策略
(1)
在测量底部不可到达的建筑物的高度时
,
可以借助正弦定理或余弦定理
,
构造两角
(
两个仰角或两个俯角
)
和一边或三角
(
两个方向角和仰角
)
和一边
,
如图所示
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
解决测量高度问题的一般步骤是
:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2
如图
,
在山顶铁塔上
B
处测得一点
A
的俯角为
α
,
在塔底
C
处测得
A
处的俯角为
β
.
若铁塔高为
m
米
,
则山高
CD
为
米
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
测量角度问题
角度
1
实际测量中的角度问题
例
3
地图测绘人员在点
A
测得某一目标参照物
P
在他的北偏东
30°
的方向
,
且距离他
40
m,
之后该测绘人员沿正北方向行走了
40 m,
达到点
B.
试确定此时目标参照物
P
相对于他的方位角以及他与目标参照物
P
的距离
.
分析
画出图形
,
在三角形中
,
利用余弦定理求出内角的大小以及边的长度
,
从而确定相应的方位角以及距离
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
因为
AB=
40
m,
所以
AB=PB
,
所以
∠
APB=
∠
PAB=
30°,
所以
∠
PBA=
120°
.
因此测绘人员到达点
B
时
,
目标参照物
P
相对于该测绘人员的方位角为
180°
-
120°
=
60°,
且目标参照物
P
与他的距离为
40
m
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
3
如图所示
,
从
A
到
B
,
方位角是
50°,
距离是
470 m;
从
B
到
C
,
方位角是
80°,
距离是
860 m;
从
C
到
D
,
方位角是
150°,
距离是
640 m,
试计算从
A
到
D
的方位角和距离
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度
2
航海与追及中的角度问题
例
4
某渔轮在航行中不幸遇险
,
发出呼救信号
,
我海军舰艇在
A
处获悉后
,
立即测出该渔轮在方位角为
45°,
距离为
10 n mile
的
C
处
,
并测得渔轮正沿方位角为
105°
的方向
,
以
9 n mile/h
的速度向某小岛靠拢
,
我海军舰艇立即以
21 n mile/h
的速度前去营救
,
求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间
.
分析
本题中所涉及的路程在不断变化
,
但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等
,
先设出所用时间
t
,
找出等量关系
,
再解三角形
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
测量角度问题画示意图的基本
步骤
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
本题中其他条件不变
,
将
“
渔轮向小岛靠拢的速度
”
改为
“10 n mile/h”,
将
“
我海军舰艇的速度
”
改为
“
10
n mile/h”,
求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用
典例
如图
,
游客从某旅游景区的景点
A
处下山至
C
处有两种路径
.
一种是从
A
沿直线步行到
C
,
另一种是先从
A
沿索道乘缆车到
B
,
然后从
B
沿直线步行到
C.
现有甲、乙两位游客从
A
处下山
,
甲沿
AC
匀速步行
,
速度为
50 m/min
.
在甲出发
2 min
后
,
乙从
A
乘缆车到
B
,
在
B
处停留
1 min
后
,
再从
B
匀速步行到
C.
假设缆车匀速直线运动的速度为
130 m/min,
山路
AC
长为
1 260 m,
经测量
,
(1)
求索道
AB
的长
;
(2)
问
:
乙出发多少分钟后
,
乙在缆车上与甲的距离最短
?
分析
(1)
利用正弦定理求出
AB
的长
.
(2)
先设出乙出发后所用的时间
t
,
再建立时间
t
与甲、乙间距离
d
的函数关系式
,
利用关系式求最值
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
与函数思想相联系的就是方程思想
.
所谓方程思想
,
就是在解决问题时
,
用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系
,
列出方程
(
组
),
从而求出未知数及各量的值
,
使问题获得解决
,
所设的未知数沟通了变量之间的联系
.
方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件
,
它架设了由已知探索未知的桥梁
.
函数与方程思想在数学中有着广泛的应用
,
本章在利用正弦定理、余弦定理求角或边长时
,
往往渗透着函数与方程思想
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
如
图
,
从山顶
A
望地面上
C
,
D
两点
,
测得它们的俯角分别为
45°
和
30°,
已知
CD=
100 m,
点
C
位于
BD
上
,
则山高
AB
等于
(
)
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
从某电视塔的正东方向的
A
处
,
测得塔顶仰角是
60°,
从电视塔的西偏南
30°
的
B
处
,
测得塔顶仰角为
45°,
A
,
B
间距离为
35 m,
则此电视塔的高度是
(
)
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3
.
一艘轮船从
A
出发
,
沿南偏东
70°
的方向航行
40 n mile
后到达海岛
B
,
然后从
B
出发
,
沿北偏东
35°
的方向航行了
40
n mile
到达海岛
C.
如果下次航行直接从
A
出发到
C
,
那么此船航行的方向和路程分别为
(
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4
.
在
某次军事演习中
,
红方为了准确分析战场形势
,
在两个相距
为
a
的军事基地
C
和
D
处测得蓝方两支精锐部队分别在
A
处和
B
处
,
且
∠
ADB=
30°,
∠
BDC=
30°,
∠
DCA=
60°,
∠
ACB=
45°,
如图所示
,
求蓝方这两支精锐部队之间的距离
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5
.
如图
,
渔船甲位于岛屿
A
的南偏西
60°
方向的
B
处
,
且与岛屿
A
相距
12 n mile,
渔船乙以
10 n mile/h
的速度从岛屿
A
出发沿正北方向航行
,
若渔船甲同时从
B
处出发沿北偏东
α
的方向追赶渔船乙
,
刚好用
2 h
追上
.
(1)
求渔船甲的速度
;
(2)
求
sin
α
的值
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解
:
(1)
在
△
ABC
中
,
∠
BAC=
180°
-
60°
=
120°,
AB=
12
n
mile,
AC=
10
×
2
=
20(n
mile),
∠
BCA=
α
.
由余弦定理
,
得
BC
2
=AB
2
+AC
2
-
2
AB
·
AC
·cos
∠
BAC
=
12
2
+
20
2
-
2
×
12
×
20
×
cos
120°
=
784,
解得
BC=
28
n
mile
.
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