【数学】2018届一轮复习北师大版第二节三角恒等变换与解三角形学案 15页

第二节 三角恒等变换与解三角形 ‎ ‎ ‎【高考考情解读】‎ ‎1、和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．‎ ‎2、正、余弦定理及解三角形是每年高考的热点问题之一，是解答题的第一题，主要考察三角形中的边角关系的互化、三角形面积的计算等问题。‎ ‎【主干知识】‎ 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式；‎ 2、 倍角公式；‎ 3、 半角公式；‎ 4、 正、余弦定理；‎ 5、 三角形面积公式；‎ 6、 解三角形基本题型：（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解：（2）已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况不唯一；（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；（4）已知三边，利用余弦定理求解。‎ ‎【专项研究】‎ 专项一 三角恒等变换 ‎“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律。‎ 需要关注的易错易混点：‎ ‎(1)三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析．常见的变角方式有：‎ α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；α可视为的倍角；±α可视为(±2α)的半角等等．当然变换形式不惟一，应因题而异．‎ ‎(2)解题前要善于分析题目中所给式子的结构，掌握结构的特点，通过降幂、升幂、常数代换等手段，为使用公式创造条件，这是三角变换的重要策略．‎ 例1、 (2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 例2、设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ ‎ :学_ _ ]‎ 例3、若sin2α= ，sin(β－α)= ，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（ ）‎ A B C 或 D 或 课堂练习：‎ ‎1、已知sin(α＋)＝，则cos(－2α)的值等于____________。‎ ‎2、已知cos α＝，则cos2α＋sin2α的值为________。‎ ‎3、已知α为锐角，且cos＝，则sin α＝________。‎ ‎4、设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________。‎ ‎5、已知α∈，sin α＝，(1)求sin的值；(2)求cos的值．‎ 课后作业：‎ ‎1、【2015高考新课标1，理2】 =( )‎ ‎ A B C D ‎ ‎2、【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A、1 B、‎2 C、3 D、4‎ ‎3、【2016年全国III高考】若 ，则 （ ）‎ A B C 1 D ‎ ‎4、【2016年全国II高考】若，则（ ）‎ A B C D ‎ ‎5、已知tan(π－α)＝，则＝(　　)‎ A B C － D － ‎6、已知cos( +α)= ，且－π＜α＜－，则cos (－α)等于（ ）‎ A B － C D － ‎7、若α∈(0，)，且cos2α+cos(+2α)= ，则tanα=（ ）‎ A B C D ‎8、已知cos(α－)+sinα= ，则sin(α+ )的值为（ C ）‎ A B C － D－ ‎9、【2016陕西二检】已知tanα= ，则sin4α－cos4α的值为（ ）‎ A － B C D － ‎10、【2016沈阳三模】已知θ∈(－，)且sinθ+cosθ=a，其中a∈(0，1)，则tanθ的可能取值是（ ） ‎ A －3 B 3或 C － D －3或－ 答案：【2016陕西二检】已知tanα= ，则sin4α－cos4α的值为（ ）‎ A － B C D － 例1、 解：将θ－转化为(θ+ )－。由题意知sin(θ+ )= ，θ是第四象限角，‎ ‎∴cos(θ+ )＞0，∴cos(θ+ )= ，tan(θ－)=tan(θ+ －)=－ ==－ 例2、解：由tanα= 得 = ，即sinαcosβ=cosα+sinβcosα，所以sin(α－β)= cosα，又cosα=sin(－α)，所以sin(α－β)= sin(－α)，又因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β= －α，所以2α－β= 。故选C。‎ 例3、解：因为α∈[，π]，所以2α∈[，2π]，又sin2α= ，故2α∈[，π]，α∈[，]，所以cos2α= － 。又β∈[π，]，故β－α∈[，]，于是cos(β－α)=－ ，所以cos(α+β)=cos[2α+(β－α)]=cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)= － ×(－ )－×= ，且α+β∈[，2π]，故α+β=。所以选A。‎ 课堂练习：1、－ 2、 3、 4、 ‎ ‎5、解：(1)因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sincos α＋cossin α＝×＋×＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，‎ 所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝×＋×＝－. ‎ 课后作业：DCADC DBCCC ‎ 专项二 解三角形 熟练掌握正、余弦定理及以下变形：‎ ‎（1）正弦定理的各种形式：‎ 形式一：＝＝＝2R；‎ 形式二：sin A＝；sin B＝；sin C＝；(角到边的转换)‎ 形式三：a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C； (边到角的转换)‎ 形式四：S＝absin C＝bcsin A＝acsin B；(求三角形的面积)．‎ ‎（2）余弦定理的各种形式：‎ 形式一：a2＝b2＋c2－2bc·cos A，b2＝a2＋c2－‎2ac·cos B，c2＝a2＋b2－2ab·cos C；‎ 形式二：cos A＝，cos B＝，cos C＝.(角到边的转换)‎ ‎(3)解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图 帮助理解”．‎ 例1、【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，，求的长。‎ 例2、【2016年全国I高考】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若的面积为，求的周长．‎ 例3、【2016年浙江高考】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=‎2a cos B.‎ ‎（1）证明：A=2B；‎ ‎（2）若△ABC的面积，求角A的大小。‎ 例4、【2014浙江卷】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos‎2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sin A＝，求△ABC的面积．‎ ‎[ : ]‎ 课堂练习：‎ ‎1、已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边．若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值为________．‎ ‎2、【2014·安徽卷】 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.‎ ‎(1)求a的值；(2)求sin的值．‎ ‎3、【2014·全国卷】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.‎ 课后作业：‎ ‎1、．【2014·天津卷】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．‎ ‎2、【2014·广东卷】 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝_______．‎ ‎3、【2014·福建卷】在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2　，则△ABC的面积等于________．‎ ‎4、【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）在中，已知AB=2，AC=3，A=60º。‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎5、【2016年四川高考】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，求.‎ ‎ ‎ A B C D ‎6、【2014·北京卷】 如图12，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.‎ ‎(1)求sin∠BAD；‎ ‎(2)求BD，AC的长．‎ 例1、 解：如图，设的内角所对边的长分是，由余弦定理得 a2=b2+c2－2bccos∠BAC ‎=(3)2+62－2×3×6×cos=18+36―(―36)=90， 所以。又由正弦定理得。 由题设知，所以。在中，由正弦定理得。‎ 例2、解：(1)由正弦定理得：‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∵∴‎ ⑵ 由余弦定理得： 即 ‎ ‎∴∴ ∴周长为 例3、解：（1）由正弦定理得sinB+sinC=2sinAsinB，故 2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，于是sinB=sin(A－B)。又A，B∈（0，π），故0＜A－B＜π，所以B=π－(A－B)或B=A－B。因此A=π（舍去）或A=2B，所以A=2B。‎ ‎（2）由得，故有，‎ 因，得．又，，所以．‎ 当时，；当时，．综上，或．‎ 例4、解：(1)由题意得－＝sin ‎2A－sin 2B，即sin ‎2A－cos ‎2A＝sin 2B－cos 2B，sin＝sin.由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得‎2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝。‎ ‎(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.由ac.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：‎ ‎(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．‎ ‎2、【2016·新疆二检】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S= (a2+b2－c2)。‎ ‎(1)求角C的大小；(2)求sin‎2A+sin2B的取值范围。‎ ‎3、【2015高考山东，理16】设.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值。‎ ‎4、△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosA=。‎ ‎（1）求cos2+cos‎2A的值；（2）若a=，求△ABC面积的最大值。‎ 答案：‎ 例1、解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.‎ ‎∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．‎ ‎(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cos B＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时等号成立，∴cos B的最小值为。‎ 例2、解：（1）由a=btanA及正弦定理，得 = = ，∴sinB=cosA，即sinB=sin(+A)，又B为钝角，因此+A∈(，π)，故B= +A，即B－A=；‎ ‎（2）由（1）知，C=π－（A+B）=π－（‎2A+ ）=－‎2A＞0，∴A∈(0，)，于是sinA+sinC=sinA+sin(－‎2A)=sinA+cos‎2A=－2sin‎2A+sinA+1=－2(sinA－)2+ ，∵0＜A＜，∴0＜sinA＜，因此＜－2(sinA－)2+ ≤，由此可知sinA+sinC的取值范围是（，].‎ 例3、【解析】⑴ ∵a2+c2=b2+ ac∴a2+c2－b2= ac ∴cosB== =∴∠B=。‎ ‎⑵∵A+B+C=π，∴A+C=∴cosA+cosC=cosA+(－cosA)+ sinA ‎= cosA+ sinA=sin(A+ )，∵A+C=∴A∈(0，)，∴A+ ∈(，π)，∴sin(A+ ‎)的最大值为1。故所求的最大值为1.‎ 课堂练习：‎ ‎1、解：(1)由得，‎ 所以，由正弦定理，得．‎ ‎（2由．‎ 所以的最小值为．‎ ‎【解析】‎ ‎2、解：（I）因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于0＜A＜π，所以A= 。‎ ‎（2）由余弦定理，得a2=b2+c2－2bc·cosA，而a=，b=2，A= ，∴7=4+c2－‎‎2c 即c2―‎2c―3=0，因为c＞0，所以c=3。故△ABC的面积为 bcsinA= 。‎ 课后作业：‎ ‎1、解：(1)由·＝2得c·a·cos B＝2，又cos B＝，所以ac＝6。由余弦定理a2＋c2＝b2＋2accos B，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13。解得或因为a＞c，所以a＝3，c＝2。‎ ‎(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.由正弦定理，得sin C＝sin B＝·＝.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝＝＝.所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.‎ ‎2、解：(1)由题意可知，absinC= ×2abcosC，∴tanC=，∴0＜C＜π，∴C=。‎ ‎(2) sin‎2A+sin2B=－(cos‎2A+cos2B)+1=－[ cos‎2A+cos(2π－‎2A－‎2C)]+1=－[ cos‎2A+cos(+‎2A)]+1=－(cos‎2A－sin‎2A)+1=sin(‎2A－)+1。∵C=，∴－＜‎2A－＜，∴‎ ‎－＜sin(‎2A－)≤1，∴＜sin‎2A+sin2B≤。‎ ‎3、解：（I）由题意知 ‎ 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ；　‎ 单调递减区间是 ‎（2）由f()=sinA－ =0，得sinA= ,由题意知A为锐角，所以cosA= .由余弦定理：‎ a2=b2+c2－2bccosA可得1+ bc= b2+c2≥2bc.即：bc≤2+，当且仅当b=c时等号成立。因此 bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为。‎ ‎4、解：（1）cos2+cos‎2A=+2cos‎2A－1= －+2cos‎2A－1= －×+2×()2－1=－。‎ ‎(2)由余弦定理得()2=a2=b2+c2－2bccosA=b2+c2－bc≥2bc－bc=bc，所以bc≤，当且仅当b=c ‎= 时，bc取得最大值。因为cosA=，A∈(0,π)，sinA=== ，所以（S△ABC）max=bcsinA=××= 。‎