【数学】2019届一轮复习北师大版线性规划学案 6页

‎ 2019年高考数学总复习 ‎ ‎ 线性规划 考点一.求线性目标函数的取值范围 ‎(1)若x,y满足，求 =x+2y的取值范围。‎ 解 作出可行域，作直线l x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6。‎ （2） 若x,y满足，求目标函数的取值范围。‎ 解 在C处取最大值且，在B处取最小值且，故。 ‎ ‎ ‎ ‎（3）M（x，y）为上的动点，点A，求 =•的最大值。‎ 解 =•=，即y=﹣x+ ，直线过点B时， 最大．B（，2），所以 最大值为4。‎ ‎（4）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ‎ 解 当时，，，∴曲线在点处的切线为，‎ ‎ 目标函数，当，时， 取得最大值2。‎ ‎（5）若整数x,y满足，求 =-3x+4y最小值。‎ 解 ‎ 画图虚线（直线上点取不到），目标函数在离A（3,1）最近的整数点（3,2）和（4,1）处值分别为17和16，故最小值为16.‎ 考点二。求非线性目标函数的最值 目标函数时,几何意义 与定点Q（a,b）距离平方（最小值为点到直线距离平方）。‎ ‎(1)若x,y满足　，求 =x2+y2的最大值和最小值。‎ 解 x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为。‎ ‎（2）若x,y满足，求的最小值。‎ 解 表示阴影部分的点与A（2，-1）的距离的最小值，即A到直线的距离 考点三。比值问题 目标函数时,几何意义 点与定点连线的斜率。‎ ‎（1）若x,y满足求 的取值范围.‎ 解 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，‎ 当直线OM过点（，）时，取得最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6. ‎ ‎（2）若x,y满足 ,求的最小值.‎ 解 为点与两点的斜率，点落在时，最小，此时。‎ 考点四。求可行域的面积 ‎（1）求不等式组表示的平面区域的面积。‎ 解 △ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积为1.‎ ‎（2）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，求|AB|的值。‎ 解 画出平面区域，区域内的点在直线x+y-2=0上的投影A（-1,1），B（2，-2），则|AB|=。‎ 考点五。求可行域中整点个数 ‎(1)满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有几个？‎ 解 |x|＋|y|≤2等价于是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个。‎ 考点六。求线性目标函数中参数的取值范围 ‎（1）若满足，的最小值为，求的值。‎ 解 表示的平面区域，平移直线，为使取得最小值，须其经过直线的交点，所以 （2） 若x,y满足，若目标函数的最大值为12，求的最小值。‎ 解 由得，当直线经过点时，最大，所以即所以,当时等号成立.‎ ‎（3）若x,y满足，目标函数 = x+2y仅在(1,1)处取得最小值,求 的范围。‎ 解 当...(1)，当....(2)，取（1）（2）的交集得 2> >-4。‎ ‎（4）x、y满足，使 =x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，求a的值。‎ 解 作直线l x+ay＝0，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1。‎ ‎（5）x,y满足，若 =y-ax取最大值的最优解不唯一，求a的值。‎ 解 目标函数直线与x+y-2=0和2x-y+2=0重合时，最大值最优解不唯一，则a=2或-1.‎ （6） 若不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，求的取值范围。‎ 解 画出平面区域（如图1所示），当时，平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故.或。‎ 考点七。求概率 ‎（1）由的平面区域记为，，的平面区域记为，在中随机取一点，求该点恰好在内的概率。‎ 解 ，，，，由几何概型知，概率为.‎ ‎（2）某校早上8 00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7 30～7 50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，求小张比小王至少早5分钟到校的概率。‎ 解 用 表示小张到校的时间， ，用 表示小王到校的时间， ，则所有可能的结果对应直角坐标平面内的正方形区域 ,记“小张比小王至少早到5分钟”为事件M,则M所对区域为图中的阴影部分   所以.‎ 考点八。实际问题 ‎(1) 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，求甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划。‎ 解 ‎ 设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱,则x,y满足 ，,总获利 =280x+200y.作出不等式组表示的可行域，可知当直线 =280x+200y经过点直线10x+6y=480与x+y=70的交点（15,55）时， 取得最大值。所以此时甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱,故选B.‎ ‎（2）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，求最大利润．‎ 解 设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为 元， =450x+350y， 由题意，x、y满足关系式 ‎0≤x≤8‎ ‎0≤y≤7‎ ‎0＜x+y≤12‎ ‎10x+6y≥72‎ ‎0＜2x﹢y≤19‎ x∈ ，y∈ ‎ 作出相应的平面区域如图阴影部分所示…∴当x=7，y=5时， =450x+350y有最大值4900.‎